高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第3讲 数学归纳法及其应用课件 理.ppt

第3讲数学归纳法及其应用,考试要求1.数学归纳法的原理，a级要求；2.利用数学归纳法证明一些简单的数学命题，b级要求.,知识梳理,1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当_时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,第一个值n0(n0n*),nk1,2.数学归纳法的框图表示,诊断自测,1.判断正误(在括号内打“”或“”),(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.(),解析等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n1，则当n1时，最大分母为5.,答案1aa2,解析nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k1)2.比较上述两个式子，nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2.,答案(k21)(k22)(k23)(k1)2,考点一用数学归纳法证明等式,规律方法用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明.,【训练1】求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nn*).,证明(1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立.(2)假设当nk(kn*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1).当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1)(2k1).这就是说当nk1时，等式成立.根据(1)(2)知，对nn*，原等式成立.,考点二用数学归纳法证明不等式,当n1时，已证命题成立.假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么,规律方法用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.,考点三归纳猜想证明,【例3】(2015江苏卷)已知集合x1，2，3，yn1，2，3，n(nn*)，设sn(a，b)|a整除b或b整除a，ax，byn，令f(n)表示集合sn所含元素的个数.,(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.,解(1)y61，2，3，4，5，6，s6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1，2，3，4，5，6；若a2，则b1，2，4，6；若a3，则b1，3，6，所以f(6)13.(2)当n6时，,(tn*).,规律方法“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性.,【训练3】(2016徐州调研)在数列an中，已知a120，a230，an13anan1(nn*，n2).,思想方法,1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误.,有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.,2.归纳假设的作用,在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.,易错防范,1.数学归纳法证题时初