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55. 2019年华中师大附中高三期中检测数学理 2019 年华 师大附中 期中 检测 学理

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华中师大一附中 2018201820192019 学年度上学期高三期中检测 数学（理）试题答案解析 【题号】1 【答案】D 【解题思路】 133133 13 124| 24xxxxAxx 1122422121|1xxxxBx x 2,AB 【知识点、能力点】考查解绝对值不等式；指数不等式的运算；集合的运算. 【题号】2 【答案】A【解题思路】211221111,111i iziiiiziizii 虚部为1，故选A.【知识点、能力点】考查虚数的共轭及虚数的除法运算法则. 【题号】3 【答案】B【解题思路】1tan4213tantan14422tantan3114411tantan2244sincostan13 12sincostan13 1【知识点、能力点】考查正切两角和的运算，齐次式化简求值. 【题号】4 【答案】B【解题思路】由题意知225,5255ACANAPmABACmABANmABANBPN、 、三点共线21,1mm . 【知识点、能力点】考查向量的线性运算，三点共线定理 【题号】5 【答案】C 【解题思路】平移之后的解析式为 sin 2sin 263f xxx2sin 2cos 2sin 2sin 23633xxxx 3【知识点、能力点】三角函数的平移变换、诱导公式的运用 【题号】6 【答案】C 【解题思路】1111=+.+3 14 25 32nn原式111111111.2324352nn111112212nn31114212nn【知识点、能力点】裂项相消法 【题号】7 【答案】A 【解题思路】错，p 或 q 中有一个为假命题时，p 且 q 则为假命题 【知识点、能力点】命题及其相关知识，难度低 【题号】8 【答案】D 【解题思路】0120=sinx1dxx原式021cos |14x 1 1244 【知识点、能力点】积分 【题号】9 【答案】C 【解题思路】 原式可化为2222log 3log 32log 3xy，即222log 32log 3xy，22xy 111 111 213232 2322222yxxyxyxyxy， 当且仅当222yxxyxy，即2 2222xy时等号成立，故11xy最小值为322。【知识点、能力】对数运算，均值不等式中“换一法” 【题号】10 【答案】B 【解题思路】 原式可化为 0xf xx，令 g xxfx，0x时， 0gx， g x单调递减 fx是奇函数，222333afg， 22222bffg ， 11lnlnln3ln3ln333cffg20ln323， 2ln323ggg，即acb 【知识点、能力】导数-构造新函数，导数与单调性的关系，奇函数的性质 【题号】11 【答案】D 【解题思路】 B，cosB 3sinB 2sinB30 2603090A，因为锐角三角形， 由正弦定理得sin3sincosBcosC4Rsin AsinBBsinCC，即24 sinsinsin3RABBC=1R，得。 ac 2sin A2sinC 2sin A2sinA603sin A 3cosA 2 3sinA3060 A301203,2 3 ac【知识点、能力】正弦定理，三角恒等变换，辅助角公式，值域 【题号】12 【答案】A 【解题思路】 原式整理得lnyxy ex2 1a， 由导数判断出，1,xe时，ln xb a1 a,axe1,02,4和时， g y2 1yy e0,2单调递减； 在区间时， 2 1yg yy e由导数判断出， 在区间单调递增； 21 ge， 00g， 42ge， 3164ge，由题意知函数1z be a,a zg这条水平线与图像恒有 3 个交点 y有图像知31614aeaee，即316 3,aee【知识点、能力】利用导数判断函数单调性及图像，零点与方程， 【题号】13 aab0aab 【答案】，即2cos0aa b，由1a ， 2b 可得2cos2，故a在b上的投影为2cos2a. 【解题思路】 从题干中条件aab入手，根据向量数量积的运算公式求解出a与b夹角的余弦值，再由投影的定义计算即可。 【知识点、能力点】本题主要考察向量数量积的定义及投影的概念，属基础题。 【题号】14 【答案】 na和 nb为等差数列，31119117151132aaaabbb，又2121nnnnaSbT，112111212 21 1433 21265aSbT，故原式=3 431292 65130. 【解题思路】 先由等差数列的性质2 ,2mnpmnpaaa“若则”化简所求，进而根据等差数列的结论2121nnnnaSbT及已知条件计算求解即可。 【知识点、能力点】本题主要考察等差数列的性质及相关结论，属中档题。 【题号】15 【答案】由余弦定理知2223 323 3 cos303xx ，解得x 3 或 6 【解题思路】 根据题干画出几何图形，找到三角形中的边角关系，利用余弦定理列方程求解即可。 【知识点、能力点】本题主要考察余弦定理及方位角，属基础题。 【题号】16 【答案】因为数列 na是递减数列，故函数 214,34txf xx与函数 241518,4f xtxt xtx 都是减函数，且 234fff。所以，2204421493 41518493 41518164 41518ttttttttttttt ，解得112t 。 【解题思路】 根据题干数列 na是递减数列，找出对应函数的单调性，及连接点处的值的大小关系，得关于t的限制条件，解出即可。 【知识点、能力点】本题主要考察函数单调性及数列性质，属较难题。 【题号】17 【答案】（1）因为na为等差数列，所以142313aaaa又2340,a a 所以23,a a是方程213400xx的两实数根. 又公差0,d 所以23aa所以235,8aa所以解得,所以31nan； 又公比的等比数列中，所以，当且仅当时成立，此时公比23111,42bqqb所以1n( )2nb （2）由11( ) ,cn(3n1)( )22nnan3n1,bn ，由12+nncT c c ， 12111T2 ( )5( ) (31)( )222nnn 111112( )5( )(3 n 1) ( )2222nT23n nc由-得， 的前n项和15(3Tn5)( ) .2nn【解题思路】（1）由2340,a a 142313,a aaad 0,解出235,aa8,再利用等差数列得通项公式得11 5,2d8,aad得12,ad3,进而得出3an1;n又公比(0qq1)b n的等比数列中231111 1,b , , 60 32 20 8 2b1b 可得35111,2832b1b b ，得公比31112qq ,42bb所以1n( ) .2nb （2）c n利用等差数列与等比数列通项公式之积得到新数列，再利用裂项相消法解出新数列 n的前项和15(3Tn5)( ) .2nn【知识点、能力点】（1）考查等差数列、等比数列通项公式求法； （2）n求数列前项和方法中的裂项相消法。【题号】18 【答案】（1） sin23 cos213sin23cos22sin 23f xxxxxx由32+22232kxk解得71212kxk，故 f x的单调递减区间为7,1212kkkZ； （2）由2sin326AfA可得3sin2A，A为锐角，3A， 又7a ，由正弦定理可知7142sin3sin3aRA，又sinsinsinabcABC，且 13sinsin314BC，13bc ，由余弦定理知：2222cosabcbcA2223bcbcbcbc，22223137120bcbca，40bc. 【解题思路】 （1）借助倍角公式及辅助角公式将 f x的解析式化简为sinAx的形式，进而求解出单调减区间；（2）由题干326Af可求出3A，进而根据正弦定理求解出bc的值，最后通过余弦定理求出bc的值. 【知识点、能力点】本题综合考察三角变换、三角函数及解三角的知识，属中档题. 【题号】20 【答案】 （1）ADOOPOCACOC AD取中点，连接，依据题意可知PAD，ACD 都是正三角形，所以，OP AD，又OCOOPOC 平面POC，OP平面POC，所以AD 平面POC， PC POCAD PCBCADBC PC又平面，所以，因为/，所以，即PCB90，从而PBC 为直角三角形；OP ADPAD ABCDPAD（2）（向量法）由（1）知，又平面平面，平面平面ABCD ADPO PADPO ABCDO，平面，所以平面，以为原点，建立空间直角坐标系O xyz如图所示， 则0,0, 3P，0, 1,0A，0,1,0D，3,0,0C，3,0,3PC ，由3,0,3PMPC可得点3 ,0, 33M，设平面MAD的法向量, ,nx y z，则33303330n AMxyzn DMxyz解得10xzy，令z，得1,0,n，显然平面PAD的一个法向量3,0,0OC ，依题意 22312 5cos,513n OCn OCn OC，解得13或1 （舍去），所以当13时，二面角PADM的余弦值为2 55， （传统法）由（1）可知AD 平面POC，所以AD OM，AD OP，所以POM为二面角PADM的平面角，即2 5cos5POM，在POM 中，5sin5POM，3PO ，4OPM，所以3 10sinsinsincoscossin44410PMOPOMPOMPOM， 由正弦定理可得sinsinPMPOPOMPMO，即353 10510PM，解得63PM ，又226PCPOOC，所以13PMPC，所以当13时，二面角PADM的余弦值为2 55。 【解题思路】（1）欲证PBC 为直角三角形，由题干中的点线面关系可知，可通过证明AD 平面POC，再证明BC PC即可。 （2）（向量法）根据题意建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面MAD的法向量1,0,n，面PAD的一个法向量3,0,0OC ，再根据22312 5cos,513n OCn OCn OC，解得13或1 （舍去），所以当13时，二面角PADM的余弦值为2 55， （传统法）由（1）可知AD 平面POC，可知POM为二面角PADM的平面角，则2 5cos5POM，再通过2 5cos5POM，即可计算出13PMPC【知识点、能力点】点线面的位置关系，正弦定理及有关二面角平面角的问题 【题号】21 【答案】 方法一：（1）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意， 所以设直线AB的方程为ykxb，带入方程24yx得：222240k xkbxb，122422kbxxk，得：2bkk，直线AB的方程为21yk xk，AB中点得横坐标为1，AB中点得坐标为21,k， AB的中垂线方程为12131yxxkkkk ，AB的中垂线经过点0,2，故32k，得32k ，直线AB的方程为3126yx（2）由（1）可知AB的中垂线方程为13yxkk ，3,0M， 直线AB的方程为22220k xkyk，M到直线AB的距离222423221kkkdkkk，由2222204k xkykyx得，222204kykyk，124yyk，212282kyyk，22122214+111kkAByykk，22114 11AMBSkk，设211tk，则01t ，234248Stttt ，2128St ，由0S ，得63t ，348Stt 在60,3上递增，在6,13上递减，当63t 时，S有最大值，得3t 时，max16 69S，直线AB的方程为3310xy 方法二：（1）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，当AB不垂直于x轴时，根据题意设AB的中点为1,Qt，则21212121244AByyyykyyxxt，有P，Q两点得AB的中垂线斜率为2kt ，由221tt ，得43t ， 直线AB的方程为3126yx（2）由（1）知直线AB的方程为21ytxt ，AB的中垂线方程为12tytx ，中垂线交x轴于点3,0M，点M到直线AB得距离为222444tdtt，由2214ytxtyx 得：2224820xxt，122xx，221224tx x，221224144ABxxttt， 322222211221616 644444224439SAB dttttt当243t 时，max16 69S，直线AB的方程为3310xy 【解题思路】方法一：（1）设直线AB的方程为ykxb，与24yx联立，利用韦达定理结合122xx求出直线AB得方程为21yk xk，AB中点得坐标为21,k，AB的中垂线经过点0,2，可求出AB的斜率，从而求出直线AB的方程； （2）依题意，直线AB的方程为22220k xkyk，利用点到直线的距离公式可求出M到直线AB的距离，联立直线AB的方程与抛物线的方程，结合韦达定理求出AB，于是可得到面积表达式，通过导数法，可求出AMB的面积的最大值及直线AB的方程。 方法二：（1）设AB的中点为1,Qt，可求得2ABkt，由221tt 可求得t，继而可求得直线AB的方程为3126yx（2）依题意可得直线AB的方程，继而点M到直线AB得距离为222444tdtt，从而可得面积表达式，利用基本不等式即可求出AMB 的面积的最大值及直线AB的方程。 【知识点、能力点】韦达定理，点到直线得距离公式，根据导数求最值，基本不等式 xf【题号】22 【答案】 解：（1）xeaxaxfxea 当a 0时，0fx恒成立fx为增函数，无极小值 0