云南省楚雄州2015-2016学年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年云南省楚雄州高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|0 x 3，则 A B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 0） C（ 0， 2） D（ 2， 3） 2 =（ ） A 1+2i B 1+2i C 1 2i D 1 2i 3已知命题 p、 q， “p 为真 ”是 “p q 为假 ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 =（ 1， 1）， =（ 1， 2）则（ 2 + ） =（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 5等差数列 公差为 2，若 等比数列，则 前 10 项和 ） A 110 B 99 C 55 D 45 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） A B C D 1 7过抛物线 y=2焦点且垂直于它的对称轴的直线被它切得的弦长为（ ） A 2 B 1 C 一个算法程序如图所示，则输出的 n 的值为（ ） 第 2 页（共 16 页） A 6 B 5 C 4 D 3 9已知函数 f（ x） =2x+b 在区间（ 2， 4）内有唯一零点，则 b 的取值范围是（ ） A R B（ ， 0） C（ 8， +） D（ 8， 0） 10若函数 f（ x） =区间（ 1， +）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B（ ， 1 C 2， +） D 1， +） 11设 双曲线 （ a 0， b 0）的两个焦点，点 P 在双曲线上，若 =0 且 | | |=2c= ），则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 12已知函数 f（ x）是定义在（ 3， 3）上的奇函数，当 0 x 3 时， f（ x）的图象如图所示，则不等式 f（ x） x 0 的解集是（ ） A（ 1， 0） （ 0， 1） B（ 1， 1） C（ 3， 1） （ 0， 1） D（ 1， 0） （ 1， 3） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_ 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 _ 第 3 页（共 16 页） 15已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（ x， y）的四组观测值并制作了如下的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 = x+60，其中 的值没有写上当 x 等于 5 时，预测 y 的值为 _ x 18 13 10 1 y 24 34 38 64 16在数列 ， n，且 递减数列，则 的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共 70 分 明过程或演算步骤） 17已知直线 l 的参数方程是 （ t 为参数），圆 C 的极坐标方程为 =2+ ） （ ）求圆心 C 的直角坐标； （ ）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值 18已知向量 =（ 1）， =（ ）， f（ x） =（ ） （ ）求函数 f（ x）的单调增区间； （ ）已知锐角 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c其面积 S= ， f（ A ）= ， a=3，求 b+c 的值 19 M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和 6 名女生，这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在 180 分以上者到 “甲部门 ”工作； 180 分以下者到 “乙部门 ”工 作 （ ）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值； （ ）如果用分层抽样的方法从 “甲部门 ”人选和 “乙部门 ”人选中共选取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是 “甲部门 ”人选的概率是多少？ 20如图，五面体中，四边形 矩形， 面 ， B= ， E=2， P、 Q、 M 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 第 4 页（共 16 页） 21设椭圆 + =1（ a b 0），过 M（ 2， ）、 N（ ， 1）两点， （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）若直线 y=（ k 0）与圆 x2+相切，并且与 椭圆 E 相交于两点 A、 B，求证： 22已知函数 f（ x） =a（ x ） x R） （ 1）若 a=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ x）处的切线方程； （ 2）若函数 f（ x）在其定义域内为增函数，求 a 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2015年云南省楚雄州高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|0 x 3，则 A B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 0） C（ 0， 2） D（ 2， 3） 【考点】 并集及其运算 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=x| 1 x 2， B=x|0 x 3， A B=x| 1 x 3， 故选： A 2 =（ ） A 1+2i B 1+2i C 1 2i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 分子分母同乘以分母的共轭复数 1+i 化简即可 【解答】 解：化简可得 = = = = 1+2i 故选： B 3已知命题 p、 q， “p 为真 ”是 “p q 为假 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要 条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据复合命题真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：若 p 为真，则 p 且假命题，则 p q 为假成立， 当 q 为假命题时，满足 p q 为假，但 p 真假不确定， p 为真不一定成立， “p 为真 ”是 “p q 为假 ”的充分不必要条件 故选： A 4已知 =（ 1， 1）， =（ 1， 2）则（ 2 + ） =（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 ，将式子展开计算 【解答】 解： =2， =5， = 1 2= 3 第 6 页（共 16 页） =2 + =4 3=1 故选： C 5等差数列 公差为 2，若 等比数列，则 前 10 项和 ） A 110 B 99 C 55 D 45 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 等比数列，可得 =（ ）（ 4），解得： 利用求和公式即可得出 【解答】 解： 等比数列， =得 =（ ）（ 4），化为： 则 前 10 项和 10+ 2=110 故选： A 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） A B C D 1 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中 底面 ， B=据此即可得到体积 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中 底面 ， C， C=1 因此 V= = = 故选 B 第 7 页（共 16 页） 7过抛物线 y=2焦点且垂直于它的对称轴的直线被它切得的弦长为（ ） A 2 B 1 C 考点】 抛物线的简单性质 【分析】 抛物线方程化为标准方程，即可得出结论 【解答】 解：抛物线 y=2标准方程为 y，焦点坐标为（ 0， ）， y= 时， x= ， 过抛物线 y=2焦点且垂直于它的对称轴的直线被它截得的弦长为 故选： D 8一个算法程序如图所示，则输出的 n 的值为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的 n 值是多少 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，得； m=1， n=0， m 100， m=0+201=1； n=1， m 100， m=1+211=3； n=2， m 100， m=2+223=14； n=3， m 100， m=3+2314=115； n=4， m 100，输出 n=4 第 8 页（共 16 页） 故选： C 9已知函数 f（ x） =2x+b 在区间（ 2， 4）内有唯一零点，则 b 的取值范围是（ ） A R B（ ， 0） C （ 8， +） D（ 8， 0） 【考点】 函数的零点；二次函数的性质 【分析】 由题意知，函数 f（ x） =2x+b 在区间（ 2， 4）内有唯一零点，必须满足 f（ 2）f（ 4） 0 即可，转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答 【解答】 解：由题意可知：函数 f（ x） =2x+b 在区间（ 2， 4）内有唯一零点， f（ 2） f（ 4） 0， （ 22 2 2+b）（ 42 2 4+b） 0， 8 a 0， 则 b 的取值范围（ 8， 0） 故选 D 10若函数 f（ x） =区间（ 1， +）单 调递增，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B（ ， 1 C 2， +） D 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 f（ x） =k ，由于函数 f（ x） =区间（ 1， +）单调递增，可得 f（ x） 0 在区间（ 1， +）上恒成立解出即可 【解答】 解： f（ x） =k ， 函数 f（ x） =区间（ 1， +）单调递增， f（ x） 0 在区间 （ 1， +）上恒成立 ， 而 y= 在区间（ 1， +）上单调递减， k 1 k 的取值范围是 1， +） 故选： D 11设 双曲线 （ a 0， b 0）的两个焦点，点 P 在双曲线上，若 =0 且 | | |=2c= ），则双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质；向量在几何中的应用 【分析】 由勾股定理得 （ 2c） 2=|+|=| 2| | |，得到 e 1=0，解出 e 【解答】 解：由题意得， 直角三角形， 第 9 页（共 16 页） 由勾股定理得 （ 2c） 2=|+|=| 2| | |=44 ， e 1=0 且 e 1， 解方程得 e= ， 故选 A 12已知函数 f（ x）是定义在（ 3， 3）上的奇函数，当 0 x 3 时， f（ x）的图象如图所示，则不等式 f（ x） x 0 的解集是（ ） A（ 1， 0） （ 0， 1） B（ 1， 1） C（ 3， 1） （ 0， 1） D（ 1， 0） （ 1， 3） 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由 f（ x） x 0，得 f（ x） x 0，由图象知，当 x （ 0， 3）时不等式的解，根据奇函数性质可得 x （ 3， 0时不等式的解 【解答】 解： f（ x） x 0 即 f（ x） x 0，所以 f（ x） x 0， 由图象知，当 x （ 0， 3）时，可得 0 x 1， 由奇函数性质得，当 x （ 3， 0时，可得 1 x 0， 综上，不等式 f（ x） x 0 的解集是（ 1， 0） （ 0， 1）， 故选 A 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 根据题意，首先用列举法列举从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案 【解答】 解：从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随机取两个数， 有（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 3， 4），共 6 种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（ 1， 2），（ 2， 4）； 则其概率为 = ； 故答案为： 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 8 第 10 页（共 16 页） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时，直线 y= 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 A（ 3， 2） 将 A（ 3， 2）的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=2 3+2=8即 z=2x+y 的最大值为 8 故答案为： 8 15已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到（ x， y）的四组观测值并制作了如下的对照 表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 = x+60，其中 的值没有写上当 x 等于 5 时，预测 y 的值为 70 x 18 13 10 1 y 24 34 38 64 【考点】 线性回归方程 【分析】 样本点的中心为（ 10， 40），代入回归直线方程，求出 ，再由 x 等于 5 时，预测y 的值 【解答】 解：由题意， = （ 18+13+10 1） =10， = （ 24+34+38+64） =40， 线性回归直线方程为 = x+60， 40=10 +60， = 2， x 等于 5 时，预测 y 的值为（ 2） （ 5） +60=70 故答案为： 70 第 11 页（共 16 页） 16在数列 ， n，且 递减数列，则 的取值范围为 （ ， 3） 【考点】 数列的函数特性 【分析】 由于 递减数列，可得 可得出 【解答】 解： 递减数列， （ n+1） 2+（ n+1） n， 化为 2n+1，对于 n N*都成立， 2 1+1=3 的取值范围为（ ， 3） 故答案为：（ ， 3） 三、解答题（本大题共 70 分 明过程或演算步骤） 17已知直线 l 的参数方程是 （ t 为参数），圆 C 的极坐标方程为 =2+ ） （ ）求圆心 C 的直角坐标； （ ）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 （ I）先利用三角函数的和角公 式展开圆 C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 x， y， 2=x2+行代换即得圆 C 的直角坐标方程，从而得到圆心 C 的直角坐标 （ 求切线长的最小值，转化为求直线 l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线 l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可 【解答】 解：（ I） ， ， 圆 C 的直角坐标 方程为 ， 即 ， 圆心直角坐标为 （ 直线 l 的普通方程为 ， 圆心 C 到直线 l 距离是 ， 直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 18已知向量 =（ 1）， =（ ）， f（ x） =（ ） （ ）求函数 f（ x）的单调增区间； 第 12 页（共 16 页） （ ）已知锐角 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c其面积 S= ， f（ A ）= ， a=3，求 b+c 的值 【考点】 余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）根据数量积积的定义，求出 f（ x）的表达式，即可求函数 f（ x）的单调增区间； （ ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理即可得到结论 【解答】 解：（ ） =（ 1）， =（ ）， =（ ）， f（ x） =（ ） =（ ， ， 得 ， k Z 即函数的单调性递增区间为： （ ） ， ， 0 ， 0 2A ， ，即 A= ， = ， 由余弦定理得 a2= 2， 9=b2+ （ b+c） 2=b2+31， b+c= 19 M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和 6 名女生，这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在 180 分以上者到 “甲部门 ”工作； 180 分以下者到 “乙部门 ”工作 （ ）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值； 第 13 页（共 16 页） （ ）如果用分层抽样的方法从 “甲部门 ”人选和 “乙部门 ”人选中共选取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是 “甲部门 ”人选的概率是多少？ 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 ；众数、中位数、平均数 【分析】 （ ）利用中位数、平均值的意义即可得出； （ ）利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）男生共 14 人，中间两个成绩是 175 和 176，它们的平均数为 因此男生的成绩的中位数是 女生的平均成绩 = =181 （ ）用分层抽样的方法从 “甲部门 ”和 “乙部门 ”20 人中抽取 5 人，每个人被抽中的概率是= 根据茎叶图， “甲部门 ”人选有 8 人， “乙部门 ”人选有 12 人 所以选中的 “甲部门 ”人选有 =2 人， “乙部门 ”人选有 =3 人 记选中的 “甲部门 ”的人员为 中的 “乙部门 ”人员为 B， C， D从这 5 人中选 2 人的所以可能情况为： （ （ B），（ C），（ D），（ B），（ C），（ D），（ B， C），（ B，D），（ C， D），共 10 种 其中至少有 1 人是 “甲部门 ”人选的结果有 7 种 因此，至少有 1 人是 “甲部门 ”人选的概率是 20如图，五面体中，四边形 矩形， 面 ， B= ， E=2， P、 Q、 M 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 【考点】 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）利用矩形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明； （ ）利用平行四边形的判定定理和性质定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理即可得出 第 14 页（共 16 页） 【解答】 证明：（ ）连接 四边形 矩形， Q 为 中点 Q 为 中点又在 ， P 为 中点， 面 面 平面 （ ） M 是 中点， B= ， 又 四边形 平行四边形， E=2， 又 ， 0 平面 又 D=A， 平面 21设椭圆 + =1（ a b 0），过 M（ 2， ）、