贵州省遵义市2015-2016学年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年贵州省遵义市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z（ 1 i） =1+i，则复数 z=（ ） A 1 B 1 C i D i 2命题 “ x R， x”的否定是（ ） A xR， x B x R， x2=x C xR， x D x R， x2=x 3为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分 段的间隔为（ ） A 50 B 40 C 25 D 20 4阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 T 的值为（ ） A 29 B 30 C 31 D 32 5容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表 分组 10， 20） 20， 30） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间 10， 40的频率为（ ） A “1 x 2”是 “x 2”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 3x+4y=0，则双曲线离心率e=（ ） A B C D 8设某大学的女生体重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根据一组样本数据（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =下列结论中不正确的是（ ） 第 2 页（共 15 页） A y 与 x 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心（ ， ） C若该大学某女生身高增加 1其 体重约增加 若该大学某女生身高为 170可断定其体重必为 函数 f（ x） =3x2+2x 的极值点的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D无数个 10下面几种推理是合情推理的是（ ） （ 1）由圆的性质类比出球的有关性质； （ 2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180； （ 3）某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分； （ 4）三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得凸多边形内角和是（ n 2） 180 A（ 1）（ 2） B（ 1）（ 3） C（ 1）（ 2）（ 4） D（ 2）（ 4） 11设 椭圆 的左、右焦点， P 为直线 x= 上一点， 底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） A B C D 12设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x）f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 二、填空题 :本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 . 13曲线 y=2x+1 在点（ 1， 0）处的切线方程为 _ 14在区间 2， 3上随机选取一个数 X，则 X 1 的概率为 _ 15已知函数 f（ x） = +2 f（ x）在区间 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 _ 16用长为 18m 的钢条围成一个长方体框架，要求长方形的长与宽之比为 2： 1，则该长方体的体积最大值为 _ 三、解答题 :本大题共 6 小题 ,共 70 分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17如图：是 y=f（ x） = 2导函数 y=f（ x）的简图，它与 x 轴的交点是（ 1，0）和（ 3， 0） （ 1）求 y=f（ x）的极小值点和单调减区间； （ 2）求实数 a 的值 第 3 页（共 15 页） 18已知命题 p：方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：关于 x 的方程m+3=0 无实根，若 “p q”为假命题， “p q”为真命题，求实数 m 的取值范围 19 20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如图所示 （ ）求频数直方图中 a 的值； （ ）分别球出成绩落在 50， 60）与 60， 70）中的学生人数 20已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上有一点 P（ 4， m）到焦点的距离为 6 （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）若抛物线 C 与直线 y=2 相交于不同的两点 A、 B，且 点横坐标为 2，求 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 B 两点， 周长为 6 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）当直线 斜率为 1 时，求 面积 22已知函数 f（ x） =a R） （ 1）当 x=1 时，函数 f（ x）取得极值，求函数的单调区间； （ 2）当 x e， +）时， f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2015年贵州省遵义市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z（ 1 i） =1+i，则复数 z=（ ） A 1 B 1 C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 z（ 1 i） =1+i，得 ，然后利用复数代数形 式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 z（ 1 i） =1+i， 得 = ， 则复数 z=i 故选： C 2命题 “ x R， x”的否定是（ ） A xR， x B x R， x2=x C xR， x D x R， x2=x 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题 【解答】 解：根据全称命题的否定是特称命题， 命题的否定是 ： R， = 故选： D 3为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为（ ） A 50 B 40 C 25 D 20 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的定义，即可得到结论 【解答】 解： 从 1000 名学生中抽取 40 个样本， 样本数据间隔为 1000 40=25 故选： C 4阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 T 的值为（ ） 第 5 页（共 15 页） A 29 B 30 C 31 D 32 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量 T， S 的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果 【解答】 解：模拟执行程序，可得： T=0， S=0，不满足条件 T S，执行循环， S=5， n=2， T=2，不满足条件 T S，执行循环， S=10， n=4， T=6，不满足条件 T S，执行循环， S=15， n=6， T=12，不满足条件 T S，执行循环， S=20， n=8， T=20，不满足条件 T S，执行循环， S=25， n=10， T=30，满足条件 T S，退出循环， 执行输出语句，输出 T=30 故选： B 5容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表 分组 10， 20） 20， 30） 30， 40） 40， 50） 50， 60） 60， 70） 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间 10， 40的频率为（ ） A 考点】 频率分布表 【分析】 先求出样本数据落在区间 10， 40频数，然后 利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可 【解答】 解：由频率分布表知： 样本在 10， 40上的频数为 2+3+4=9， 故样本在 10， 40上的频率为 9 20= 故选： B 6 “1 x 2”是 “x 2”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 第 6 页（共 15 页） 【分析】 设 A=x|1 x 2， B=x|x 2，判断集合 A， B 的包含关系，根据 “谁小谁充分，谁大谁必要 ”的原则，即可得到答案 【解答】 解 ：设 A=x|1 x 2， B=x|x 2， AB， 故 “1 x 2”是 “x 2”成立的充分不必要条件 故选 A 7已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 3x+4y=0，则双曲线离心率e=（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线渐近线方程得 b= a，从而可求 c，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线方程为 3x+4y=0， b= a， c= = a， e= = 故选： A 8设某大学的女生体重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根据一组样本数据（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =下列结论中不正确的是（ ） A y 与 x 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心（ ， ） C若该大学某女生身高增加 1其体重约增加 若该大学某女生身高为 170可断定其体重必为 考点】 回归分析的初步应用 【分析】 根据回归方程为 =0，可知 A， B， C 均正确，对于 D 回归方程只能进行预测，但不可断定 【解答】 解：对于 A， 0，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，故正确； 对于 B，回归直线过样本点的中心（ ， ），故正确； 第 7 页（共 15 页） 对于 C， 回归方程为 = 该大学某女生身高增加 1正确； 对于 D， x=170， =170 这是预测值，不正确 故选 D 9函数 f（ x） =3x2+2x 的极值点的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D无数个 【考点】 函数在某点取得极值的条件 【分析】 先求出导数 f（ x），进而判断其单调性，即可得出答案 【解答】 解：函数定义域为（ 0， +），且 f（ x） =6x+ 2= ， 由于 x 0， g（ x） =62x+1 中 = 20 0， g（ x） 0 恒成立，故 f（ x） 0 恒成立，即 f（ x）在 定义域上单调递增，无极值点 故选 A 10下面几种推理是合情推理的是（ ） （ 1）由圆的性质类比出球的有关性质； （ 2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180； （ 3）某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分； （ 4）三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得凸多边形内角和是（ n 2） 180 A（ 1）（ 2） B（ 1）（ 3） C（ 1）（ 2）（ 4） D（ 2）（ 4） 【考点】 合情推理 的含义与作用 【分析】 本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义 【解答】 解：（ 1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质 （ 2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180推出所有三角形的内角和都是 180，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程 （ 3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程 （ 4）为归纳推 理 故选 C 11设 椭圆 的左、右焦点， P 为直线 x= 上一点， 底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） A B C D 第 8 页（共 15 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用 底角为 30的等腰三角形，可得 |根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率 【解答】 解： 底角为 30的等腰三角形， | P 为直线 x= 上一点 故选 C 12设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x）f（ x） 0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析】 由已知当 x 0 时总有 x） f（ x） 0 成立，可判断函数 g（ x） = 为减函数，由已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，可证明 g（ x）为（ ， 0） （ 0， +）上的偶函数，根据函数 g（ x）在（ 0， +）上的单调性和奇偶性，模拟 g（ x）的图象，而不等式 f（ x） 0 等价于 xg（ x） 0，数形结合解不等式组即可 【解答】 解：设 g（ x） = ，则 g（ x）的导数为： g（ x） = ， 当 x 0 时总有 x） f（ x）成立， 即当 x 0 时， g（ x）恒小于 0， 当 x 0 时，函数 g（ x） = 为减函数， 又 g（ x） = = = =g（ x）， 第 9 页（共 15 页） 函数 g（ x）为定义域上的偶函数 又 g（ 1） = =0， 函数 g（ x）的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式 f（ x） 0xg（ x） 0 或 ， 0 x 1 或 x 1 故选： A 二、填空题 :本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 . 13曲线 y=2x+1 在点（ 1， 0）处的切线方程为 x y 1=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导函数，取 x=1 得到函数在 x=1 处的导数，直接代入直线方程的点斜式得答案 【解答】 解：由 y=2x+1，得 y=32 y|x=1=1 曲线 y=2x+1 在点（ 1， 0）处的切线方程为 y 0=1 （ x 1） 即 x y 1=0 故答案为： x y 1=0 14在区间 2， 3上随机选取一个数 X，则 X 1 的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，利用长度比求概率 【解答】 解：在区间 2， 3上随机选取一个数 X， 则 2 X 3， 则 X 1 的概率 P= = ， 故答案为： 第 10 页（共 15 页） 15已知函数 f（ x） = +2 f（ x）在区间 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 a 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由题意， f（ x）在区间 上是增函数可化为 在恒成立，从而再化为最值问题 【解答】 解： f（ x）在区间 上是增函数， 在 恒成立， 即 在 恒成立， x+ 在 上是减函数， ， 即 故答案为： a 16用长为 18m 的钢条围成一个长方体框架，要求长方形的长与宽之比为 2： 1，则该长方体的体积 最大值为 3 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；基本不等式 【分析】 根据题意知，长方体的所有棱长和是 18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可 【解答】 解：设该长方体的宽是 x 米，由题意知，其长是 2x 米，高是 3x 米，（ 0 x ） 则该长方体的体积 V（ x） =x2x（ 3x） = 6 由 V（ x） = 188x=0，得到 x=1， 当 0 x 1 时， V（ x） 0；当 1 x 时， V（ x） 0， 即体积函数 V（ x）在 x=1 处取得极大值 V（ 1） =3， 也是函数 V（ x）在定义域上的最大值 所以该长方体体积最大值是 3 故答案为： 3 三、解答题 :本大题共 6 小题 ,共 70 分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17如图：是 y=f（ x） = 2导函数 y=f（ x）的简图，它与 x 轴的交点是（ 1，0）和（ 3， 0） 第 11 页（共 15 页） （ 1）求 y=f（ x）的极小值点和单调减区间； （ 2）求实数 a 的值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）先利用其导函数 f（ x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值（注意是在定义域内研究其单调性） （ 2）由图知， f（ 1） =0 且 f（ 3） =0，代入导函数解析式得到关于 a 的方程，解出即可 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） = 2导函数 y=f（ x）的图象可知：导函数 f（ x）小于 0 的解集是（ 1， 3）； 函数 f（ x） = 2 x=1， x=3 处取得极值，且在 x=3 的左侧导数为负右侧导数为正 即函数在 x=3 处取得极小值，函数的单调减区间为（ 1， 3） （ 2）由于 f（ x） = 2导函数 f（ x） =4x+3由（ 1） 知， f（ 1） =0且 f（ 3） =0 则 解得 a=1 则实数 a 的值为 1 18已知命题 p：方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：关于 x 的方程m+3=0 无实根，若 “p q”为假命题， “p q”为真命题，求实数 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 先将命题 p， q 化简，然后由 “p q”为假命题， “p q”为真命 题得出 p， q 恰有一真一假，分类讨论即可 【解答】 解： 方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， m 2； 关于 x 的方程 m+3=0 无实根， 44（ 2m+3） 0，解得 1 m 3， “p q”为假命题， “p q”为真命题 p， q 恰有一真一假， 若 “p 真 q 假 ”，则 ，即 m 3， 第 12 页（共 15 页） 若 “p 假 q 真 ”，则 ，即 1 m 2， 综上，实数 m 的取值范围是（ 1， 2 3， +） 19 20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如图所示 （ ）求频数直方图中 a 的值； （ ）分别球出成绩落在 50， 60）与 60， 70）中的学生人数 【考点】 频率分布直方图 【分析】 （ I）根据所有小矩形的面积之和为 1 求 a 的值； （ 据频率 =小矩形的高 组距求得成绩落在 50， 60）与 60， 70）的频率，再利用频数 =样 本容量 频率求得人数 【解答】 解：（ I）由频率分布直方图得：（ 2a+3a+7a+6a+2a） 10=1a= （ 绩落在 50， 60）与 60， 70）的频率分布为 10+10= 成绩落在 50， 60）与 60， 70）中的学生人数为 20 （人） 20已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上有一点 P（ 4， m）到焦点的距离为 6 （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）若抛物线 C 与直线 y=2 相交于不同的两点 A、 B，且 点横坐标为 2，求 【考点】 抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 【分析】 （ ）由题意设：抛物线方程为 准线方程为 x= ，根据抛物线的大于可得： 4+ ，进而得到答案（ ）联立直线与抛物线的方程得 4k+8） x+4=0，根据题意可得 =64（ k+1） 0 即 k 1 且 k 0，再结合韦达定理可得 k 的值 【解答】 解：（ ）由题意设抛物线方程为 准线方程为 x= ， P（ 4， m）到焦点的距离等于 A 到其准线的距离， 4+ p=4 抛物线 C 的方程为 x 第 13 页（共 15 页） （ ）由 消去 y，得 4k+8） x+4=0 直线 y=2 与抛物线相交于不同两点 A、 B，则有 k 0， =64（ k+1） 0，解得 k 1 且 k 0， 又 =2， 解得 k=2， 或 k= 1（舍去） k 的值为 2 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 B 两点，