2016年内蒙古通辽市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年内蒙古通辽市高考数学一模试卷（文科） 一、单项选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每个小题只有一个选项符合题意） 1已知集合 A=2， a， B=x|1 x 4，若 AB=2，则实数 a 的值不可能为（ ） A 1 B 3 C 4 D 5 2复数 z= 3+（ 1+i） 2 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3设向量 与 的夹角为 60，且 ，则 等于（ ） A B C D 6 4 于（ ） A B C D 5双曲线 =1 的左焦点到右顶点的距离为（ ） A 1 B 2 C 4 D 5 6已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ） A A=2 B =2 C f（ 0） =1 D = 7若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=4x+y 的最大值为（ ） A 6 B 10 C 12 D 15 8 P 为抛物线 4y 上一点， A（ 1， 0），则点 P 到此抛物线的准线的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为（ ） A B C D 9执行如图程序框图若输入 n=20，则输出的 S 值是（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 10下列函数中，既是奇函数，又在（ 1， +）上递增的是（ ） A y=6x B y=2x C y= y=3x 11若体积为 4 的长方体的一个面的面积为 1，且这个长方体 8 个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 表面积的最小值为（ ） A 12 B 16 C 18 D 24 12设函数 f（ x） = |x|， g（ x） =4x+1），若对任意 R，都存在 R，使 f（ =g（ 则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， 4 B（ 0， 4 C（ 4， 0 D 4， +） 二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分， 共 20 分） 13若函数 f（ x） =2x 5，且 f（ m） =3，则 m=_ 14已知某人 1 5 月收到的快件数分别为 1， 3， 2， 2， 2，则这 5 个数的方差 _ 15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 _ 16设 内角 A， B， C 所对边的长分别是 a， b， c，且 b=3， c=1， A=2B，则 _ 第 3 页（共 18 页） 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分，解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤） 17设 等比数列 前 n 项和， ， （ 1）求 （ 2）若 ， 等差数列，求 n 的值 18某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（ （ ，（ 经过数据处理，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 （ 3 6 25 x （ y z （ 2 计 n ）求频率分布表中未知量 n， x， y， z 的值； （ ）从样本中视力在（ （ 所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于 概率 19如图，四棱锥 P ，底面 正方形， 四棱锥 P 高，B=2，点 M， N， E 分别是 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求四面体 体积 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，直线 l： y=x+2 与以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 O 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 与直线 y=k 1）在第一象限的交点为 A， B（ ， 1），若 = ，求 k 的值 21设函数 f（ x） = ，其中 a 0 （ 1）求曲线 g（ x） =f（ x） +点（ 1， g（ 1）处的切线方程； （ 2）若 f（ x） +f（ a） 0 对 x （ ， 0恒成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 ，圆周上过点 C 的切线与 延长线交于点 E，过点 B 作平行线交 延长线于点 P 第 4 页（共 18 页） （ 1）求证： C （ 2）若 ，求 长 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在直角坐标系 ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，圆 N 的方程为 2 6 8 （ 1）求圆 N 的直角坐标方程； （ 2）判断直线 l 与圆 N 的位置关系 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x a|+|x 2| （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 14 的解集； （ 2）若 f（ x） x R 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2016 年内蒙古通辽市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每个小题只有一个选项符合题意） 1已知集合 A=2， a， B=x|1 x 4，若 AB=2，则实数 a 的值不可能为（ ） A 1 B 3 C 4 D 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 由不等式的性质和交集性质得到 a 1 或 a 4 【 解答】 解： 集合 A=2， a， B=x|1 x 4， AB=2， a 1 或 a 4， 实数 a 的值不可能为 3 故选： B 2复数 z= 3+（ 1+i） 2 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简复数 z，求出复数 z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解：由 z= 3+（ 1+i） 2， 得 z= 3+2i 则复数 z= 3+（ 1+i） 2 在复平面内 对应的点的坐标为：（ 3， 2），位于第二象限 故选： B 3设向量 与 的夹角为 60，且 ，则 等于（ ） A B C D 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量数量积的定义计算 【解答】 解： 故选： B 4 于（ ） A B C D 【考点】 两角和 与差的余弦函数 【分析】 利用诱导公式，两角差的余弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可计算求值 【解答】 解： = =80+130） 第 6 页（共 18 页） = 故选： C 5双曲线 =1 的左焦点到右顶点的距离为（ ） A 1 B 2 C 4 D 5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b，由 c= ，可得 c，即可得到左焦点和右顶点，进而得到它们的距离 【解答】 解：双曲线 =1 的 a=2， b= ， c= =3， 可得右顶点为（ 2， 0），左焦点为（ 3， 0）， 可得左焦点到右顶点的距离为 5 故选： D 6已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ） A A=2 B =2 C f（ 0） =1 D = 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，可得函数解析式，进而可求 f（ 0）的值，从而得解 【解答】 解：根据函数的图象可知， A=2， T= + =， = =2， 再根据 f（ ） =22 +） =0，且 0 ， = ， 第 7 页（共 18 页） f（ x） =22x+ ）， f（ 0） =22 =1， 综上， D 选项错误 故选： D 7若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=4x+y 的最大值为（ ） A 6 B 10 C 12 D 15 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=4x+y 得 y= 4x+z， 平移直线 y= 4x+z， 由图象可知当直线 y= 4x+z 经过点 A 时，直线 y= 4x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 A（ 4， 1）， 代入目标函数 z=4x+y 得 z=4 4 1=15 即目标函数 z=4x+y 的最大值为 15 故选： D 8 P 为抛物线 4y 上一点， A（ 1， 0），则点 P 到此抛物线 的准线的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 第 8 页（共 18 页） 【分析】 通过抛物线方程可知焦点 F（ 0， 1），利用两点间距离公式可知 | ，通过抛物线定义可知点 P 到准线的距离 d 与 | 等，进而可得结论 【解答】 解： 抛物线方程为 4y， 焦点 F（ 0， 1）， 又 A（ 1， 0）， | = ， 由抛物线定义可知点 P 到准线的距离 d 与 |等， d+| | ， 故选： D 9执行如图程序框图若输入 n=20，则输出的 S 值是（ ） A B C D 【考点】 循环结构 【分析】 模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列 的求 10 项和，由裂项法即可求值 【解答】 解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列 的求10 项和 S= + + + = + + + 第 9 页（共 18 页） = （ 1 + ） = 故选： A 10下列函数中，既是奇函数，又在（ 1， +）上递 增的是（ ） A y=6x B y=2x C y= y=3x 【考点】 函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据导数符号判断函数单调性的方法，奇函数的定义，二次函数图象的对称性，以及正弦函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A y=6x， y=3（ 2）； 时， y 0，即该函数在 上递 减； 该函数在（ 1， +）上不递增，即该选项错误； B y=2x 的图象不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误； C y=（ 1， +）上没有单调性， 该选项错误； D y=3x，（ x） 3 3（ x） =（ 3x）； 该函数为奇函数； y=3（ 1）， x 1 时， y 0； 该函数在（ 1， +）上递增， 该选项正确 故选： D 11若体积为 4 的长方体的一个面的面积为 1，且这个长方体 8 个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 表面积的最小值为（ ） A 12 B 16 C 18 D 24 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设长方体的三度为 a， b， c，则 ， ，可得 c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球 O 表面积的最小值 【解答】 解：设长方体的三度为 a， b， c，则 ， ， c=4 长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以 2r= =3 ， 当且仅当 a=b 时， r 的最小值为 所以球 O 表面积的最小值为： 48 故选： C 12设函数 f（ x） = |x|， g（ x） =4x+1），若对任意 R，都存在 R，使 f（ =g（ 则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， 4 B（ 0， 4 C（ 4， 0 D 4， +） 【考点】 函数的值 【分析】 求出 f（ x）， g（ x）的值域，则 f（ x）的值域为 g（ x）的值域的子集 【解答】 解： f（ x） = |x| 0， f（ x）的值域是（ ， 0 设 g（ x）的值域为 A， 对任意 R，都存在 R，使 f（ =g（ 第 10 页（共 18 页） （ ， 0 A 设 y=4x+1 的值域为 B， 则（ 0， 1 B 显然当 a=0 时，上式成立 当 a 0 时， =16 4a 0，解得 0 a 4 当 a 0 时， 1，即 1 1 恒成立 综上， a 4 故选 A 二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分 ，共 20 分） 13若函数 f（ x） =2x 5，且 f（ m） =3，则 m=3 【考点】 有理数指数幂的化简求值；函数的值 【分析】 由题意化为方程 f（ m） =2m 5=3，从而解得 【解答】 解：由题意知， f（ m） =2m 5=3， 解得， m=3； 故答案为： 3 14已知某人 1 5 月收到的快件数分别为 1， 3， 2， 2， 2，则这 5 个数的方差 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 利用公式求出该组数据的平均数，再求它们的方差 【解答】 解：数据 1， 3， 2， 2， 2 的平均数为 = （ 1+3+2+2+2） =2， 该组数据的方差 （ 1 2） 2+（ 3 2） 2+（ 2 2） 2+（ 2 2） 2+（ 2 2） 2= 故答案为： 15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 作出三棱锥的直观图，计算各棱长 【解答】 解：作出三棱锥的直观图如图所示： 第 11 页（共 18 页） 由三视图可知 底面 ， ， ， ， 三棱锥的最长棱的棱长为 故答案为： 16设 内角 A， B， C 所对边的长分别是 a， b， c，且 b=3， c=1， A=2B，则 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得 ，整理得 a=6余弦定理可解得 a 的值，可求 值 【解答】 解： A=2B， ， b=3， c=1， 可得： ，可得： a=6 由余弦定理可得： a=6 ， a=2 ， = 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17设 等比数列 前 n 项和， ， （ 1）求 （ 2）若 ， 等差数列，求 n 的值 【考点】 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 （ 2）由 ， 等差数列，可得 2（ ） =a3+利用等比数列的通项公式 及其前 n 项和公式即可得出 第 12 页（共 18 页） 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q， ， q= =3 n 1 = （ 2） ， 等差数列， 2（ ） =a3+ 3n 1+10=32+34， 化为 3n=34， 解得 n=4 18某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力， 将调查结果分组，分组区间为（ （ ，（ 经过数据处理，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 （ 3 6 25 x （ y z （ 2 计 n ）求频率分布表中未知量 n， x， y， z 的值； （ ）从样本中视力在（ （ 所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于 概率 【考点】 等可能事件的概率；频率分布表 【分析】 （ I）根据题意，由（ 组频数为 2，频率为 得 ，解可得n 的值，进而由 ，可得 x 的值，由频数之和为 50，可得 y 的值，由频率、频数的关系可得 z 的值； （ 样本视力在（ 3 人为 a， b， c，样本视力在（ 2 人为 d， e；由题意列举从 5 人中任取两人的基本事件空间 ，可得其基本事件的数目，设事件 A 表示 “抽取的两人的视力差的绝对值低于 由 可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案 【解答】 解：（ I）由表可知，样本容量为 n， 由（ 组频数为 2，频率为 ，得 n=50 由 0； y=50 3 6 25 2=14， ， （ 样本视力在（ 3 人为 a， b， c；样本视力在（ 2 人 为 d， e 第 13 页（共 18 页） 由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为： =（ a， d），（ a， e），（ b， d），（ b， e），（ c，d），（ c， e），（ a， b），（ a， c），（ b， c），（ d， e） ，共 10 个基本事件； 设事件 A 表示 “抽取的两人的视力差的绝对值低于 则事件 A 包含的基本事件有：（ a，b），（ a， c），（ b， c），（ d， e），共 4 个基本事件； P（ A） = = ， 故抽取的两人的视力差的绝对值低于 概率为 19如图，四棱锥 P ，底面 正方形， 四棱锥 P 高，B=2，点 M， N， E 分别是 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求四面体 体积 【考点】 平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定 【分析】 （ 1）由点 M， N， E 分别是 中点，得 此能证明平面 平 面 （ 2）由已知得 平面 ，由此能求出四面体 体积 【解答】 证明：（ 1） 点 M， N， E 分别是 中点， C=A， E=N， 面 面 平面 平面 解：（ 2） 四棱锥 P ，底面 正方形， 四棱锥 P 高， B=2，点 M， N， E 分别是 中点 平面 ， =2， 四面体 体积 V= = = 第 14 页（共 18 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，直线 l： y=x+2 与以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 O 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设椭圆 C 与直线 y=k 1）在第一象限的交点为 A， B（ ， 1），若 = ，求 k 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）求得圆 O 的方程，运用直线和相切的条件： d=r，求得 b，再由离心率公式和a， b， c 的关系，可得 a，进而得到椭圆方程； （ 2）设出 A 的坐标，代入椭圆方程，求得交点 A 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ， 又圆 O 的方程为 x2+y2= 因为直线 l： x y+2=0 与圆 O 相切， 故有 b= = ， 由 （ 即 所以椭圆 C 的方程为 + =1； （ 2）设点 A（ 0， 0），则 y0= 由 ，解得 ， = + = ， k= （ k=0 舍去） 第 15 页（共 18 页） 21设函数 f（ x） = ，其中 a 0 （ 1）求曲 线 g（ x） =f（ x） +点（ 1， g（ 1）处的切线方程； （ 2）若 f（ x） +f（ a） 0 对 x （ ， 0恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 g（ x）的导数，计算 g（ 1）， g（ 1），求出切线方程即可； （ 2）问题转化为即 a x （ ， 0恒成立，令 h（ x） = x （ ，0，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） g（ x） =f（ x） +x2+ x 0）， g（ x） =32x+ ， g（ 1） =2， g（ 1） =0， 切线方程是： y=2（ x 1），即 2x y 2=0； （ 2） 函数 f（ x） = ，其中 a 0， 若 f（ x） +f（ a） 0 对 x （ ， 0恒成立， 即 a 0 对 x （ ， 0恒成立， 即 a x （ ， 0恒成立， 令 h（ x） = x （ ， 0， h（ x） = x+1）， 令 h（ x） 0，解得 ： x 1，令 h（ x） 0，解得： 1 x 0， h（ x）在（ ， 1）递增，在（ 1， 0递减， h（ x） h（ 1） = ， a ， 解得： a （ 1+ ） 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 ，圆周上过点 C 的切线与 延长线交于点 E，过点 B 作平行线交 延长线于点 P （ 1）求证： C （ 2）若 ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明： 可证明 C （ 2）由题意可得 AA（ B），即可解得 值 【解答】 解：（ 1）证明： 圆 O 的直径， 0 又 第 16 页（共 18 页） P 圆 O 的切线， P， ，即 C （ 2）解： 圆 O 的切线， ， ， AA（ B）， 20=）， 选修 4标系与参数方程 23已