高一物理竞赛第1讲 运动学教师版

写在竞赛课堂之前亚里士多德开启了理性分析世界的物理学的第一篇章，虽然，他的篇章中多数内容都是错误的。例如，他认为自然界应该有四种基本“元素”：风，火，土，水组成，例如他认为重的东西下落的快，例如，他认为地球是静止不动的等等。后来，历史逐渐纠正了这些错误。但是不得不否认，亚里士多德的分析问题的一些基本思想：分析问题的基本构成，分析事物间的联系，抽象物理量等等都为后人的工作打下了良好的基础。伽利略是个热爱实验的好童鞋，他用假想的逻辑性很强的实验，验证了并不是重的东西就下落的快；他亲自设计实验，设计建造计时器，研究了困扰世人几个世纪的落体问题，给出了匀加速运动的公式。这些工作都透露着物理的理性之光：严密的逻辑推理和尽量精确的实验验证。突然有一天，伽利略童鞋挂了，同一天，牛顿牛童鞋出生了。然而，他写的书自然哲学的数学原理的发表，远远要比他的出生更为重要。因为，他第一次以用占据当时数学制高点的微积分，解释了当时的物理学前沿：天体运动。在他的严密的逻辑推理+数学推演下，人眼所能见到的一切，似乎都有了可计算的答案。就连牛顿自己所相信的“上帝”似乎都不再具备存在的价值。就在一切都按照牛顿给出的“三大定律”和“万有引力定律”所构建的完美机械世界中运行的时候，一个在欧洲的专利局小职员，对这个世界的一个基本性质提出了质疑：爱因斯坦发表文章，质疑时间的绝对性，并且以另一种他认为是绝对的东西作为基本原理，开辟了另一片物理世界的天空。在爱因斯坦的理论框架中，牛顿的理论仅仅是速度很小的一种粗略的近似。后来，前仆后继的各种人又相继的给出了更多对于我们能见到的，看不到的，感受得到的，感受不到的万事万物的运行机制的解释。他们运用着理性之光，通过分析总结，假设，实验，修正，再实验验证的方式不断的重塑着人类对于一切的认识。这群人，就是物理学家。Physics is what physicists do.物理解决的是“一切”问题，物理学家想要的是“一切”的答案。例如：我们从哪里来？我们是由什么构成的？时间是什么？我们能“穿越”么？物理学家不满足于数学家给出的“这个东西是可算的，我们证明了”的答案。物理学家也不会纠结于工程师们纠结的“如何能精确的连续打出99999个直径为1.00mm的孔”。物理学家希望能够给人类的智慧贡献更多：经济，心理，金融，工程，医学，甚至看似对立的宗教踏入高中物理竞赛课堂之前，童鞋们所经历的“物理”神马的，都只是真正的理性训练之前的“浮云”。在这里，你将面对的是真正的高端的启迪智慧的物理学。在这里，你将收获的将不仅仅是知识，题目，答案，分数。你们将接过之前所有物理学家们奋斗传来的理性的火炬，并用它照亮人类的未来。第1讲运动学温馨寄语物理研究的第一个最基本的问题就是运动，我们本讲的主要目的就是学会用严密的数学语言描述运动，并且依据运动本身的特有性质：例如矢量特性，相对性等处理一些实际问题。并且引入一个物理竞赛的基本方法：微元法（微积分的爸爸）。方法技巧板块一 运动的描述这部分涉及一些高考难度的运动学基础知识，和描述运动的量的矢量性：物体的位置随时间的变化，成为机械运动研究机械运动内在规律的科学，叫做动力学运动学时研究物体运动状态及其变化的描述，而不管这种变化的原因为了能够更好的研究物体的运动状态，我们需要定义位置，速度，加速度等等的物理量运动随时间的变化可以通过运动学方程来研究概念与方法任何物体都有一定的大小和形状，为使问题简化，我们可以采用抽象的方法：若物体的大小和形状在所研究的现象中不起作用或所起作用可以忽略不计，我们就可以把物体看作一个没有大小和形状、具有同等质量的点，称为质点。质点突出了“物体具有质量”和“物体占有位置”这两个根本性质。质点是一个理想模型。在物理学中常常用理想模型来代替实际的研究对象，这样抽象的目的是简化问题和便于作较为精确的描述。质点只是一例，以后还要用到光滑斜面、理想气体、点电荷等理想模型，要注意理解和学会这种科学的研究方法。在下列情况下，一个实际物体都可视为质点：在所研究的问题中，大小、形状和内部结构可以不计的物体；、物体平动时，任一点的运动状态都相同。所以，在研究的问题中，大小可以不计的平动物体；、若一个物体既有平动又有转动，而在所研究的问题中，转动可以不计，该物体也可视为质点。若研究地球绕太阳公转时，地球可视为质点；而研究地球上重力加速度随纬度的变化时，地球则不可视为质点。又如研究一根弹簧的形变，弹簧即使很短也不可视为质点；物质的分子和原子都很小，但在研究其内部的振动和转动时，视为质点就没有意义了。有了质点我们还不能直接定义机械运动，为了正确的确定物体位置及其变化，必须事先选取另外一个假定为不动的物体作为参照才有意义这个选来作为参照的物体叫做参照物为了定量的描述物体的运动，还需要在参照系上建立坐标系，来描绘空间中的位置，（有时再加上时间）作为研究物体运动时所参照的物体（批次不做相对运动的物体群），称为参考系坐标系实质上是由实物构成的参考系的一个数学的抽象最常用的坐标系就是直角坐标系；有时候也是用极坐标系用坐标表示就可以得到图像位移和路程运动物体的位置发生变化，用位移来描述，位移这个物理量常用或有时也用。位移可这样定义：位移=末位置初位置。可表示为：（式中S是位移，为初时刻和末时刻的位置矢量）。位移S这个物理量既有大小又有方向,且合成与分解符合平行四边形定则，具有这种性质的物理量在物理学上叫做矢量。运动质点在一段时间内位移的大小就是从初位置到到末位置间的距离，其方向规定为：总是从初位置到指向末位置。注意：若质点沿直线从A点运动到B点，则位移S就是末位置B点的坐标减去初位置A点的坐标如右图所示。、若质点在平面内或空间内，从A点运动到B点，则这段时间内的位移S可用或坐标系中初位置和末位置坐标、表示，如左下图所示。运动质点在一段时间内所经过的轨迹的长度叫做路程。在上述沿直线运动（不往复）的情况下，位移的大小等于路程。可通过右上图体会一下位移与路程的区别与联系。时刻和时间时刻指某一瞬时，是与某一状态相对应的物理量。如第n秒初、第n秒末，并不是同一时刻；而第（n1）秒末与第n秒初，第n秒末与第（n+1）秒初则是同一时刻。时间指两时刻的间隔，是与是与某一过程相对应的物理量。注意第n秒内与前n秒内不是同一段时间。速度平均速度 在变速直线运动中，各时刻物体运动的快慢不同，可用平均速度粗略描述一段时间内运动的快慢和方向。在一段时间内内，质点的位移为S，则位移S（或）与时间（或）的比值，叫做平均速度：或；平均速度的方向与位移的方向相同。由于作变速直线运动的物体，在各段路程上或各段时间内的平均速度一般来说是不相同的。故一提到平均速度必须明确是哪段位移上或哪一段时间内的平均速度。瞬时速度（又称即时速度）要精确地如实地描述质点在任一时刻地邻近时间内变速直线运动的快慢，应该把取得很短，越短，越接近客观的真实情况，但又不能等于零，因为没有时间间隔就没有位移，就谈不上运动的快慢了，实际上可以把趋近于零，在这极短时间中，运动的变化很微小，实际上可以把质点看作匀速直线运动，在这种情况下，平均速度可以充分地描述该时刻附近质点地运动情况。我们把趋近于零，平均速度所趋近的极限值，叫做运动质点在时刻的瞬时速度。用数学式可表示为：，它具体表示时刻附近无限小的一段时间内的平均速度，其值只随而变，是精确地描述运动快慢程度的物理量。以后提到的速度总是指瞬时速度而言。平均速度、瞬时速度都是矢量。描述质点的运动，有时也采用一个叫“速率”的物理量；速率是标量，等于运动质点所经过的路程与经过该路程所用时间的比值，若质点在时间内沿曲线运动，通过的路程S（即曲线的长度），则S与的比值叫在时间内质点的平均速率，可表示为。例如在某一时间内，质点沿闭合曲线环形一周，显然质点的位移等于零，平均速度也为零，而质点的平均速率是不等于零的。所以平均速度的大小与平均速率不能等同看待。当质点沿直线单一方向运动时平均速度的大小等于平均速率。而瞬时速率就是瞬时速度的大小，而不考虑方向。加速度在变速直线运动中，速度改变的快慢一般是不同的，为了研究速度随时间而改变的特征，有必要引入加速度这个概念：速度的变化量和所用时间的比值叫做加速度。仿前面定义速度的方法，若运动物体在时刻的速度为（初速度）,在时刻的速度为（末速度）,那么在这段时间里，速度的变化量（也叫速度的增量）是，与的比值称为这段时间内的平均加速度，可表示为：，平均加速度只能粗略描述速度改变的快慢程度。跟平均速度引导到瞬时速度的过程相似，选取很短的一段时间，当趋近于零时，平均加速度的极限值，叫做运动质点在时刻的瞬时加速度。用数学式可表示为：。若质点做匀速直线运动，它的加速度大小和方向恒定不变，则平均加速度就是瞬时加速度,通常=0，时间可用末时刻表示,则加速度定义式为：，注意这不是加速度的决定因素，根据牛顿第二定律可知，一个质点的加速度是由它受到的合外力和它的质量共同决定，牛顿第二定律的表达式所表示的是加速度的决定式即。上式是矢量式，其中都是矢量。加速度的方向就是质点所受合外力的方向，对匀变速运动，加速度的方向总是跟速度变化量的方向一致。加速度的大小和方向跟速度的大小和方向没有必然联系。速度与加速度的关系，不少同学有错误认识，复习过程中应予以纠正。、加速度不是速度，也不是速度变化量，而是速度对时间的变化率，所以速度大，速度变化大，加速度都不一定大。、加速度也不是速度大小的增加。一个质点即使有加速度，其速度大小随时间可能增大，也可能减小，还可能不变。（两矢量同向，反向、垂直）二 矢量和标量只有大小没有方向的量叫做标量通常手写矢量用（带箭头的字母来表示）矢量的大小用“绝对值”来表示：矢量的运算： 1 加减法：平行四边形法则 坐标系中：把对应的坐标相加减2 矢量的数乘： 坐标系中：根据矢量运算方法：分别可以把位移，速度，加速度向着各个方向投影，用其分量描述。例如我们的速度就可以定义为：其中代表三个方向上的单位矢量，是无单位的量。引入单位矢量是因为总的速度不等于各个方向速度大小直接相加，而必须用勾股定理计算合成的速度。加速度的坐标定义法也一样，这里展开了。物理的图像物理量之间的关系可以用函数来表达，这些函数关系也可以通过他们的图像来理解比如图，图，等等研究这些图像时候要注意横纵坐标的意义，不同图线的物理意义，图线中包围的面积的意义等等矢量的分析也可以通过作图来理解，注意矢量的方向，大小例题精讲【例题1】 一质点做直线运动，前一半位移的运动速度恒为，整段运动的平均速度为，设其后一半位移的速度大小不变，求该速度大小【解析】 设前一半位移为，后一半位移的速度为，则，即，所以【答案】【例题2】 一个运动员参加400米跑决赛，他的成绩是问，他在整个过程中的平均速度是多少？平均速率是多少？他在跑到50米的时候的瞬时速度大概是多少？【解析】 平均速度是，平均速率是，跑到50米时候速度大概为【例题3】 如图是一质点的速度时间图象，质点在前内的位移和路程各是多少？在前内的位移和路程各是多少？【解析】 前内物体运动方向为正方向，后内物体运动方向为负方向，物体在内是做往返直线运动图象中图线与横轴包围的面积的绝对值之和为总路程，代数之和为总位移从图中可知，前内的位移为前内通过的路程是前内的路程是前内的位移是【答案】 见解析【点评】 在速度一时间坐标内，速度图线与横轴围成的面积为位移在横轴上方速度方向与正方向一致，故速度大于零，所以位移也大于零由于质点是在做直线运动，所以位移大小就等于路程；在横坐标下方的速度表示与正方向相反，即本题表示质点做往返运动，故总位移等于上下面积的代数和而路程为上下面积绝对值的和【例题4】 一个质点运动的图象如图所示，则相对应的图象是（ ）【答案】 C【例题5】 请画出下面几种情况的v-t图，并且讨论里面的斜率、截距、焦点等的物理含义。1) 匀速运动的车开向一个静止在车前方的小朋友；2) 匀速运动的车开向一个以小一点的速度同向行使的小朋友；3) 车的初始速度为，经过时间，均匀的减少到0；开向一个以小一点的速度同向行使的小朋友；4) 初始速度为（较大，均匀减小）的车，一个速度（较小，和前面的用同样的变化率，均匀增大）同向行使的小朋友；如果经过时间恰能相遇。求经过多少时间汽车能刚好停下来？【例题6】 一路灯距地面的高度为，身高为的人以速度匀速行走，如图所示. 试证明人的头顶的影子做匀速运动. 求人影的长度随时间的变化率. 如果人是在太阳下面行走，他的头顶的影子如何运动.【解析】 设时刻，人位于路灯的正下方处，在时间，人走到处，根据题意有过路灯和人头顶的直线与地面的交点为时刻人头顶影子的位置，如图所示，为人头顶影子到点的距离由几何关系，有解得因与时间成正比，故人头顶的影子做匀速运动. 太阳下面的光始终以一个角度射过来，影子在地面也是和人的头完全一样的速度运动【例题7】 一只锅牛从地面开始沿竖起电杆上爬，它上坡爬的速度v与它离地面的高度h之间满足的关系是，其中常数，.求它上爬所用的时间.【解析】 因蜗牛运动的时间是由每一小段时间累加而成，即. 由，得. 故图像为一条直线，如图所示.图中阴影部分面积即为所求的时间，即代入数据得.注：对本题也可用微元法处理，即将蜗牛运动的20cm 分成足够多的n个小段，再分别求出蜗牛通过各小段所用的时间，然后累加求和显然这样做十分繁琐（具体解法如下）方法技巧板块二 微元法分析物理问题介绍微元法的基本思想微元法：为了分析清楚物理量之间的关系，尤其是定量的关系，往往采用微元法也就是分析，经历了一段极小的时间，改变了一个小长度，或者一个小角度之后，有什么变化利用几何的知识，就可以解决问题了微元法的好处是把曲线变成直线，非线性变成线性，非理想模型变成理想模型，把线性的变量变成常量这个也是微积分的一个基本思想知识补充：1. 累加求和：我们用符号来表示累加求和，用法如下：其中可以理解成是一个变量，只能整数的从变到常用的一些结论如下：（思考一下如何证明？） （思考一下如何证明？）注：平方和有个巧妙的带有故事的证明：老村长想要嫁女儿，但是希望女婿聪明，于是立石碑，三角形，上面写着“如果能把石碑上的数字之和求出，就可以娶本村最漂亮的，也就是村长的女儿为妻”一个牧童1516岁的小帅哥只会放羊，也想娶老婆，放羊的时候就看着石碑，想算，但是看了几天都不懂。没吃东西，算不出来，很生气就踢石碑，石碑转了一下，他似乎发现了什么，又踢，石碑又转。他饿的严重，看到三次石碑的影子重合于是他把三次看到的在同一个位置上的数字加起来，发现都是，一共有个位置，所以他就算出了最后的答案。2. 无穷大和无穷小物理中经常会遇到这两个概念。字面上大家可以理解这两个概念，但是大家有没有想过这些问题：（1）无穷大与无穷大可以比较大小么？（2）无穷小和无穷小可以比较大小么？（3）都“无穷小”了，我们是否可以“忽略”呢？无穷大和无穷小的阶数：当两个无穷大的数的比值也是无穷大的话，显然分子上那个无穷大就更“大”一些。当两个无穷小乘积之后，得到的数字也显然更加“小”一些。因此我们可以规定是一个一般的数字，当时，就是无穷小，可以理解为2阶无穷小，就是3阶无穷小当，则就是无穷大，可以理解为2阶无穷大，就是3阶无穷大在高中物理中，通常2阶无穷小，就可以相对于一般常数忽略。有时，我们对结果要求不高，1阶就可以忽略。最粗略的讲，就好比甲有100万元，乙有1块钱，那么可以认为乙“没有钱”。思考：相对于2阶无穷大，一个普通常数，可以忽略么？【例题8】 两根筷子、如图放置，它们与水平线夹角分别为，它们交点为问： 当不动，匀带以水平向右移动时，交点的速度大小如何，方向如何？ 当不动，匀速以水平向左移动时，交点的速度大小如何方向如何？ 当向左，向右的交点速度大小如何方向如何？思考：如果不是，而是，结果半会怎样？【解析】 微元法： 如图所示，过小时间，则运动到则有得 同理【例题9】 一只锅牛从地面开始沿竖起电杆上爬，它上坡爬的速度v与它离地面的高度h之间满足的关系是，其中常数，.求它上爬所用的时间.【解析】 （微元法）将蜗牛运动的分成足够多的个小段则蜗牛通过各小段所用的时间所以蜗牛爬上20m所用的时间【例题10】 三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形，三角形的边长为60cm第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去，同时，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬了多少路程？课后思考题：它们经过的路线可以用怎样的方程来描述？若将蜗牛视为质点，那么它们在相遇前，绕着它们的最终相遇点转了多少圈？【解析】 解法一：（相对速度法）将蜗牛2的速度矢量在指向蜗牛1的方向和与之垂直的方向上分解（见图）则两只蜗牛彼此靠近的相对速度为，因此它们将在60cm/（7.5cm/min）=8 min后相遇事实上，8 min后三只蜗牛将相遇在一起，由于它们的实际速度为5 cm/min，因此在相遇前，它们爬过的路程为40 cm解法二：（分速度法）将速度矢量在其他坐标系中分解可以得到相同的结果，比如以蜗牛为原点，指向三角形的中心为一个坐标轴，其垂直方向为另一个坐标轴，如图所示很明显，最终蜗牛们将在中心点相遇，而在此坐标系中的速度矢量的分解可以得到蜗牛将以恒定的速度爬向中心点同时，围绕中心爬行的速度为可以很容易计算出蜗牛在初始状态距离中心点，因此它们将在后相遇解法三：边长经历了非常小的一段时间之后，变成了：所以边长减小的“速度”就是：所以总的时间应该为模拟轨迹如下:线速度不变,角速度逐渐增加,半径不断减小的运动:【例题11】 一个半径为的环（环心为）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为）以速度从前一环的旁边经过试求当两环环心相距为时，两环上部的交点的运动速度两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的【解析】 解法一 用微量元法求解设两环心相距为时间的位置如图中的实线所示，自此时刻起，经历一段极短的时间很小，故图中的三点是相距很近的（为使图中相对位置清楚，图中的位移是夸大了的），则，可以近似地看成是与弦，重合的故这段时间内，动环的位移可用表示，交点的位移可用弦表示，其大小分别为，所以上式中为交点的移动速度又以表示等腰的底角，且视为一小段弦，则由图中有，又在等腰中，有，即以式代入式有解法二 由速度的分解求解仍如图所示，由于交点是在不动的环上由点移至点，故交点的移动速度必沿不动圆环的切线方向；另一方面，可以从水平方向来考察交点的运动当交点由多动至时，由于交点在水平方向上的坐标总是与两环心连线中点的坐标相同，则在任何一段时间内此交点的水平位移总是在环心的水平位移的一半，即此交点速度的水平分量是由上一解法中已得出的方向与水平方向的夹角为，则有故得1. 如图所示，岸高为，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向夹角为时，收绳速率为，则该位置船的速率为多大？【答案】 2.一只兔子向着相距为S的大白菜走去。若它每秒所走的距离，总是从嘴到白菜剩余距离的一半。试分析兔子是否可以吃到大白菜？兔子平均速度的极限值是多少？励志小故事灰常牛B的亚里士多德亚里士多德（前384前322年），古希腊斯吉塔拉人，世界古代史上