高二物理竞赛班第5讲-电磁动力学问题-教师版

第5讲电磁动力学问题本讲导学本讲的动力学问题相对第一讲中刚接触电磁感应时候要复杂，使用的数学技巧更多. 开设这个专题主要是给大家开阔视野，了解竞赛中较难题的命题思路与思维方式. 如之前的课程依然有问题可以先保证知识体系的巩固与完善，本讲例题不一定能在课堂上保证都完全掌握，需要课后认真研读解题过程，提高解题能力. 知识点睛一 电磁感应学基本观点总提示：1产生电动势的方式：1）.磁通量变化会在电路中产生电动势（总原则）. 2）.导棒切割磁感线会有电动势（具体情况1）. 3）.线圈围绕垂直磁感线的轴旋转会有电动势（具体情况2）. 4）.磁场强度变化会产生涡旋电场，涡旋电场顺着电路分布会有电动势（具体情况3）5）.线圈中电流变化会产生电动势（具体情况4）2.有了电动势在回路中的电流还得依赖基尔霍夫定律处理1）部分电路的电流用寻路法列示解决2) 两点间电势差必须知道这段导线上的局部电动势3）电压表读数之类的问题不需要知道局部电动势，只需要了解回路总电动势即可. 3.力的提示：1).电流通过导棒会受磁场力.2).线圈通过电流会受磁场力矩3).带电粒子在涡旋场中同时受电场力与洛伦兹力. 4能量的总结：1）.安培力与切割电动势总功为零2）.线圈中通电有磁场能. 3）.变化的磁场产生电场能实际由磁场能转变而成. 总结的这些仅仅能帮助大家看到问题都把物理量和物理规律想清楚，实际的问题需要的还是大家通过严谨的状态分析向过程分析的转变. 需要把握住问题受力与电路的特点，是直接一个过程方程搞定，还是从状态开始列微分方程然后求积分.这都得根据实际的量化条件来决定. 例题选讲Rr2RI2I【例1】 一个长的螺线管包括了另一个同轴的螺线管（它的半径R是外面螺线管的一半）. 它们的线圈单位长度具有相同的圈数，且初始时都没有电流. 在同一瞬间，电流开始在两个螺线管中线性增长. 在任意时刻，里边的螺线管中的电流为外边螺线管中的两倍，它们的方向相同. 由于增长的电流，一个初始静止的处于两个螺线管中间的带电粒子，开始沿着一根圆形的轨道运动（见图）. 问圆的半径r为多少？答案：V0【例2】 人类在宇宙空间发现了一片特殊区域，它的形状可以近似看成一个无限长圆柱，半径为R. 在此区域内存在强磁场（可以认为匀强），磁场方向沿圆柱中心轴. 如图所示. 由于能量衰竭，它的磁感应强度正逐渐减小，已测得变化率为B/t=-k，为了探测它，人类计划发射探测器，探测器没有发动机，但自身带电，带电量Q（Q很大）计划中，探测器以0的初速度正对圆柱中心发射，然后在时间t后，在相对于圆柱转过角（45的地方擦柱边而过. 为了实现这个计划，0必须为多大？【解析】柱外涡旋电场强度由于方向始终为切向，故为两条等势线，则探测器由，与由切向初速为0转至有等效性，故可计算点的速度据切向动量定理：（为角加速度），得则【例3】 如图，一个电容容值为C，本来不带电，一个质量为m的导棒，放于水平光环水平导轨上，导轨间距为L，以速度v匀速运动，整个空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，突然合上开关，计算导棒稳定后的速度【提示】状态方程且，整理后面的表达式积分得且，所以得：【例4】 相距为的平行金属导轨放在高的水平桌面上，一根质量为的金属棒垂直地跨在导轨上，匀强磁场的磁感应强度竖直向上，如图所示，当接通时，金属棒因受到磁场力的作用而被水平抛出，落地点与抛出点之间的水平距离，求接通后，通过金属棒的总电荷量（取）【解析】开关接通后金属棒中有到方向的电流，在竖直向上的磁场中受到水平向右的安培力，加速一段时间后，获得一定的速度水平抛出，而在金属棒加速的这段时间内，金属棒中有电流通过从闭合到金属棒离开轨道这段时间内，金属棒中有一定的电荷量通过在金属棒离开轨道平抛的过程中，平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合运动用平抛的高度算出时间，即由求出从水平方向求初速度，即由求出接通电源加速的过程中，金属棒受到的安培力恒定不变，若设加速时间为，则由动量定理有，即，而这段时间内通过金属棒的电荷量为【例5】 距地面h高处水平放置距离为L的两条光滑金属导轨，跟导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为的电池、电容为C的电容器及质量为m的金属杆，如图，单刀双掷开关S先接触头1，再扳过接触头2，由于空间有竖直向下的强度为B的匀强磁场，使得金属杆水平向右飞出做平抛运动. 金属杆有一定电阻，因此电容不一定完全放电. 测得其水平射程为s，问电容器最终电量为多少，有多少能量转换成了热能？【解析】先由电池向电容器充电，充得电量. 之后电容器通过金属杆放电，放电电流是变化电流，安培力也是变力. 根据动量定理： 其中=s/t，h=gt综合得电容器最终带电量【例6】 如图所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架，框架的上端接有一电容为C的电容器框架上有一质量为m，长为l的金属杆平行于地面放置，与框架接触良好无摩擦，离地面的高度为h，强度为B的匀强磁场与框架平面相垂直，开始时电容器不带电，自静止起将棒释放，求1） 不计各处电阻，棒落到地面的时间. 2） 如考虑总电阻R，整个过程电阻上发热多少？【提示】加速度恒定1)2）【例7】 如图所示，顶角=45的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r导体棒与导轨接触点的为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触，t=0时，导体棒位于顶角O处，求： （1）t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向。（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式。（3）导体棒在Ot时间内产生的焦耳热Q。（4）若在t0时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。【解析】：（1）0到时间内，导体棒的位移，时刻，导体棒的有效长度，导体棒的感应电动势，回路总电阻，电流强度为，电流方向。（2）。（3）时刻导体棒的电功率=，。（4）撤去外力后，设任意时刻导体棒的坐标为，速度为，取很短时间或很短距离，在，由动能定理得=（忽略高阶小量） 得 = 扫过的面积： 得。 或 设滑行距离为，则即解之（负值已舍去） 得【例8】 如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动. 两杆的电阻皆为R. 杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行. 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B. 现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？【解析】用E和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知 (1)(2)令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则(3)令a1和a2分别表示ab杆、cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知(4) (5)(6)由以上各式解得(7)(8)【例9】 在竖直向下的磁感应强度的匀强磁场中，水平放置一金属框架，框架上有两条匀质可动导体棒和，长度均为，总电阻，导轨电阻不计，它们跟导轨间的摩擦阻力分别为，且恒定不变，如图所示，若用一与垂直的水平拉力拉向右运动，当和都达匀速时，将有多大?这时和的速度之差为多大?(取)【解析】 和都达到匀速运动时，它们各自受力均平衡，它们一定受安培力作用因此，回路中必有电流，总电动势不为零根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和平衡条件建立方程组即可求解设、受到的安培力分别为和，对由平衡条件有；对由平衡条件有：，因流经、的电流相等，故，解得：回路中的总电动势为，电流，解得【一题多变】本题只需要做个状态分析即可，所以不难，如果把题改为：开始两棒都是静止的，突然给ab棒一个恒力F=0.06N，1） 当cd启动时候ab运动状态如何2） 系统最终稳定的情况如何？【例10】 如图所示，有一个连通的，上、下两层均与水平面平行的“”型的光滑金属平行导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为的匀质金属杆和，开始时两根金属杆与轨道垂直，在“”型导轨的右侧空间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，杆在磁场中，杆在磁场之外设两导轨面相距为，平行导轨宽为，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为现在有同样的金属杆从左侧半圆形轨道的中点从静止开始下滑，在下面与金属杆发生碰撞,设碰撞后两杆立刻粘在一起并向右运动求：（1）回路内感应电流的最大值；（2）在整个运动过程中，感应电流最多产生的热量；（3）当杆与杆的速度之比为时，受到的安培力大小【解析】（1）从圆环上滑到平行轨道上的速度设为，有：解得：、碰撞过程动量守恒：解得：、结合后，刚进入磁场时的感应电动势最大，电流也最大最大电动势：总电阻为：最大电流：（2）、进入磁场后，、减速、加速，最终达到共速（设为），此后保持匀速由系统（、）的动量守恒得：解得：由能量守恒，整个过程感应电流产生的最多热量为：（3）设的速度为，则、的速度为，同理，由于三杆系统符合动量守恒条件：解得整个电路的总电动势为电路中的电流所受的安培力的大小为【例11】 光滑平行异形导轨与如图所示，轨道的水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，段轨道宽度是段轨道宽度的倍，轨道足够长，将质量相同的金属棒和分别置于轨道上的段和段，将棒从距水平轨道高为的地方由静止释放，使其自由下滑，求棒和的最终速度【解析】本题考查感应电动势的大小、闭合电路欧姆定律、机械能守恒、动量定理等知识，是一道力、电综合题棒下滑过程机械能守恒，滑至水平轨道有一定的速度，切割磁感线，回路中产生感应电流为逆时针方向，由左手定则可以判断，棒受安培力向左，棒受安培力向右，所以棒做减速运动，棒做加速运动因轨道宽是轨道宽的倍，所以当棒速度是棒速度的倍时，回路中的磁通量不再变化，即此时回路中无感应电流，则不再受安培力，速度不再变化即为最终速度棒下滑过程，由机械能守恒有 ，棒减速、棒加速的过程，由动量定理有对棒，对棒且有，式联立求解得， 【提示】部分优秀学生多的班最好别这么讲了，分别列微分方程解吧。【例12】 位于竖直平面内的矩形平面导线框. 长为，是水平的，长为，线框的质量为，电阻为.其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界和均与平行，两边界间的距离为，磁场的磁感应强度为，方向与线框平面垂直，如图预16-4所示. 令线框的边从离磁场区域上边界的距离为处自由下落，已知在线框的边进入磁场后，边到达边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值. 问从线框开始下落到边刚刚到达磁场区域下边界的过程中，磁场作用于线框的安培力做的功. 【解析】设线框的边刚到达磁场区域上边界时的速度为，则有 （1）边进入磁场后，按题意线框虽然受安培力阻力作用，但依然加速下落设边下落到离的距离为时，速度达到最大值，以表示这个最大速度，这时线框中的感应电动势为线框中的电流作用于线框的安培力为 （2）速度达到最大的条件是安培力由此得 （3）在边向下运动距离的过程中，重力做功，安培力做功，由动能定理得将（1）、（3）式代入得安培力做的功 （4）线框速度达到后，做匀速运动当边匀速向下运动的距离为时，边到达磁场的边界，整个线框进入磁场在线框边向下移动的过程中，重力做功，安培力做功，但线框速度未变化，由动能定理 （5）整个线框进入磁场后，直至边到达磁场区的下边界，作用于整个线框的安培力为零，安培力做的功也为零，线框只在重力作用下做加速运动. 所以，整个过程中安培力做的总功 （6）科技史发电机史话19世纪初期，科学家们研究的重要课题，是廉价地并能方便地获得电能的方法. 1820年，奥斯特成功地完成了通电导线能使磁针偏转的实验后，当时不少科学家又进行了进一步的研究：磁针的偏转是受到力的作用，这种机械力，来自于电荷流动的电力. 那么，能否让机械力通过磁，转变成电力呢？著名科学家安培是这些研究者中的一个，他实验的方法很多，但犯了根本性错误，实验没有成功. 另一位科学家科拉顿，在1825年做了这样一个实验：把一块磁铁插入绕成圆筒状的线圈中，他想，这样或许能得到电流. 为了防止磁铁对检测电流的电流表的影响，他用了很长的导线把电表接到隔壁的房间里. 他没有助手，只好把磁铁插到线圈中以后，再跑到隔壁房间去看电流表指针是否偏转. 现在看来，他的装置是完全正确的，实验的方法也是对头的，但是，他犯了一个实在令人遗憾的错误，这就是电表指针的偏转，只发生在磁铁插入线圈这一瞬间，一旦磁铁插进线圈后不动，电表指针又回到原来的位置. 所以，等他插好磁铁再赶紧跑到隔壁房间里去看电表，无论怎样快也看不到电表指针的偏转现象. 要是他有个助手，要是他把电表放在同一个房间里，他就是第一个实现变机械力为电力的人了. 但是，他失去了这个好机会. 又过了整整6年，到了1831年8月29日，美国科学家法拉第获得了成功，使机械力转变为电力. 他的实验装置与科拉顿的实验装置并没有什么两样，只不过是他把电流表放在自己身边，在磁铁插入线圈的一瞬间，指针明显地发生了偏转. 他成功了. 手使磁铁运动的机械力终于转变成了使电荷移动的电力. 法拉第迈出了最艰难的一步，他不断研究，两个月后，试制了能产生稳恒电流的第一台真正的发电机. 标志着人类从蒸汽时代进入了电气时代. 一百多年来，相继出现了很多