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高一物理竞赛
第6讲
刚体力学
物理
竞赛
刚体
力学
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高一物理竞赛第6讲 刚体力学,高一物理竞赛,第6讲,刚体力学,物理,竞赛,刚体,力学
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第六讲 刚体动力学本讲提纲1. 刚体动力学描述方式。2. 转动惯量的理解以及转动定律的运用。3. 寇尼西定理的运用。说明：学习刚体力学最重要的是把刚体的几个基本概念建立起来：转动惯量，质心，力矩，力矩冲量，角加速度。质心动能，相对质心动能等等。概念清晰了，对于公式的记忆和使用并不难，完全类比质点力学体系就可以了。某种程度上本讲也是对质点力学体系的一次很好的复习。 比较难的问题是联立平动方程与转动方程处理的问题，不过初学的同学做起来不痛快仅仅是因为不熟练而已，本讲整体上不算难。知识模块第一部 转动惯量 描述刚体运动的方法与参数引入：刚体就是不考虑形状改变的物体，生活中刚体旋转的例子很多，我们本讲带领大家学习这些现象背后的规律。首先我们注意观察刚体的旋转的描述方式，不难发现刚体上每一个点都在绕着一个轴运动，所有的点角速度一致。进一步的分析陀螺的运动我们会发现，我们用鞭子抽打，让陀螺越转越快，刚体的动力学也可以用伽利略的观点“力是改变运动状态的原因”去理解。只不过，我们如何去定量描述呢？知识点睛1. 转动惯量：先研究一个很简单的问题：一跟长为L的轻杆，一段可以围绕着固定点O无阻力的转动，另一端用一个外力F垂直作用在上面，现在在距离O点r远处固定一个质量为m的质点，质点的运动情况如何？ 首先我们去描述这种运动，质点做圆周运动，F的作用点与质点位移x，速度v，加速度a并不一样，但是它们的转动角度，角速度，角加速度（有些参考书用，不过这个字母太容易和a弄混）是一样的。复习一下它们的关系： 且 注意r为到圆周运动圆心的距离。那么解答这个问题并不难，可以使用牛顿定律进行计算，注意到轻杆受合外力为零，所以质点对杆的力必然向下，设这个力大小为N，根据力矩平衡： (想不起为什么了？)再隔离质点，由牛顿定律知道： N=ma代入得： 写成这样的式子原因是因为这根杆角加速度一致，用这个参数更加能高效率的描述这种加速转动。从这个方程我们可以看出来，F实质是一个转动体系的外作用，但决定转动加速度的是其力矩。同时mr2这部分是转动体系的一种属性量，其大小会牵制外力矩的导致的角加速度。形象的结论就是质点距离圆心越远，相同的力矩对质点的角加速度就越小。这种性质和质点力学中的质量很相似，所以我们也把mr2叫做质点相对与一个点的转动惯量。显然相同的质点对不同位置的转动惯量一般不同。 总结就是：质点相对于某点的惯量(用J表示)定义为： J=mr2对于很多质点的情况，我们不妨看成上面的轻杆上有很多质点每个质点mi依次对杆的力为Ni，同样的推导有：每一个质点有： Ni=miai最后得到：对于质量连续分布的钢体，上面的求和会变为积分，设总外力矩为M，则： （这个式子与F=ma逻辑结构完全一样）其中部分为惯量J，实际计算一般都是把dm转化为密度与dr的关系，再对含着r的式子积分。2. 描述转动问题首先我们要了解运动有很多种，并不仅仅是简单的平动与定轴转动两种。如下图：我们先对一种简单的情况加以分析，刚体的平面平行运动：刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。确定瞬心的方法有两种：如左图所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如右图 所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速度，则在与速度垂直的直线上，与A点距离为的点即为瞬心。注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。ABSAS由于质心很容易与力学原理结合，多数情况下，我们选取用质心的运动再叠加整个刚体相对质心的转动来描述复制的转动。比如高台跳水，无论人在空中做的动作多么花哨,人体的质心运动的轨迹一定是一个斜抛的抛物线，因为根据质心系牛顿定律，人质心处的加速度等于外力与质量之比，不考虑阻力的话这个加速度一定为g。再比如一个轮子在地面上滚动，从运动的角度，很容易用轮心的平动叠加轮子相对于轮心处的转动去描述。正好质心的加速度一定之受外力（比如地面的摩擦）影响。附录：一些常见物体的转动惯量例题精讲：【例1】 一根质量为m长为l的细长均匀棒绕端点轴转动惯量是否与绕着质心旋转的惯量相同？【补充公式】平行轴定理对不同的转轴，刚体的转动惯量不同，实验和计算都表明，如果几个轴相互平行，其中的一个轴过质心，刚体对此轴的转动惯量最小。若用Jc表示刚体对通过质心轴的转动惯量，对另一个与此平行并相距为d的定轴的转动惯量则为：J=Jc+md2。【例2】 试将一根质量为m的均匀细长木棒两端用绳水平掉起来，在剪断一边绳子的一瞬间，另一端绳子上拉力为多少?（转动惯量值请查讲义前面附录）【例3】 证明一个轮子在粗糙水平地面上做纯滚运动，理论上其永远不会停下。【问题】为什么实际总是停下了呢？滚动摩擦的本质原因是什么？【例4】 求一个质量为m，半径为R的球，沿着倾角为的斜面无滑动滚下的加速度，并讨论实现上述现象的必要条件。【拓展题】如果斜面摩擦因数为且很小，球的加速度多大？【例5】 一定滑轮的质量为m，半径为r，转动惯量为I，通过一轻绳两边系质量为m1和m2的物体，绳不能伸长，绳与滑轮也无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。知识模块第二部 力矩的时间累积效应知识点睛1.角动量定理刚体的转动定理研究了力矩在某一瞬时对刚体转动状态的影响，如果在某一变化过程中，力矩变化比较复杂，那么，用刚体的转动定律求解问题就变得比较困难。因此，与质点动力学问题类似，我们可以考察在一个Dt时间范围内，力矩对刚体转动状态的影响，这样，就把对刚体运动过程的跟踪变成了对刚体始末状态的研究，使问题得到简化。这种讨论力矩在一段时间范围内的累积对刚体运动状态的影响，通常称为力矩的时间累积效应。尽管研究力或力矩的瞬时效应和累积效应只是从不同侧面上对物体动力学规律的研究，但是，研究累积效应，不仅可以使某些中间过程十分复杂的问题得到简化处理，更为重要的是，累积效应可以得到守恒定律，而守恒定律是与物理规律的对称性相联系的。因此，在某种程度上，累积效应的研究更为重要。冲量矩作用于刚体上的力矩与力距作用时间的乘积，称为冲量矩，其数学表示为 角动量与角动量定理下面定量讨论冲量矩对刚体转动状态的影响。 对式两端积分其中，J1、w1和J2、w2分别表示始末状态的转动惯量与角速度。定义刚体绕定轴转动的角动量为那么上面的推导表明：冲量矩是改变刚体转动状态的原因，冲量矩改变刚体转动状态的程度由角动量的改变量来度量。这样，这两式就把改变刚体运动状态的原因和改变的量度联系了起来，成为关于刚体运动规律的基本动力学方程。2.刚体的角动量守恒定律当外力冲量矩的矢量和为零时，刚体的角动量保持不变，这一定律，称为角动量守恒定律。其数学表述为: 对有固定转轴的刚体，如果所受冲量矩的矢量和为零，那么，这个刚体将在转动惯性下继续作匀角速度转动。如果绕固定转动的物体不是刚体，其质量的空间分布可以随时间变化，那么，当这个物体的转动惯量增大时，其角速度将减小；反之，当这个物体的转动惯量减小时，其角速度将增大。但是，无论转动惯量和角速度如何变化，它们的乘积始终保持不变。例如，芭蕾舞或花样滑冰运动员总是先伸开双臂旋转，然后在收拢双臂和腿，以减小转动惯量(转轴通过自身质心)，获得更大的角速度，在整个过程中，运动员的角动量始终是守恒的；跳水运动员在起跳时，总是向上甚至手臂，跳到空中做翻滚动作时，又收拢腿与手臂，同样是为了减小转动惯量，而在入水前，必须伸展身体，以减小角速度度，让身体竖直入水来控制溅起的水花。这样的例子还有龙卷风，越往里就旋转越快也是这个道理。对绕同一转轴旋转的质点系，如果所受外力的冲量矩矢量和为零，质点系的角动量也守恒，也就是说，质点系内部的质点，可能由于受到内力的作用而获得角动量，那么，一定有别的质点获得反向的角动量，从而保持质点系总角动量不变。例如:，静止在地面上的直升飞机起飞时，顶部螺旋桨因为转动而获得了角动量，机身必然获得反向的角动量，为防止机身旋转，通常在直升机尾部加上一个侧向叶片，以保证机身总角动量为零。从高楼掉下的猫，由于重心的原因，起初掉下时其背部向下，在下落过程中，猫不断旋转尾巴，使身体获得一个反向角动量，这样，当它着地时，就会背部向上，避免摔伤。与能量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自然界最普遍适用的基本定律之一。从对称性的角度看，角动量守恒对应物理规律的空间旋转变换不变性。 例题精讲【例6】 质量为m、长为l的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平固定轴自由转动， 棒原来静止在平衡位置上.现有一质量为M的小球以速度v在同一平面面内飞来，正好于棒下端相碰，设碰撞为完全非弹性，求碰后瞬间角速度 【例7】 如图，两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行，两圆柱质量、半径分别为M1、M2和R1、R2，开始时各自的角速度分别为w1、w2，现将它们缓慢移近使之接触。求两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。讨论：连接体的角动量守恒问题。如果将例题中两圆柱看作为一个系统，容易看出，该系统受外力的冲量矩为零，那么，该系统的角动量应守恒吗？设逆时针方向转动的角动量为正，顺时针转动的角动量为负，则系统初始状态的角动量L1为(1)系统末状态的角动量L2为 (2)可得(3)上式在一般情况下并不一定等于零，也就是说，该系统尽管没有受到外力矩的作用，但角动量并不一定守恒！事实上，产生力矩的内力是两个圆柱体之间的摩擦力，它们是一对作用力和反作用力，但分别对两个圆柱体产生的力矩是不相同的，因此，它们产生的冲量矩的代数和并不为零，因此在转动过程中，角动量并不守恒。问题的关键是两个圆柱体并不是绕同一固定轴在转动。上面关于质点系角动量守恒的前提条件要么是所有力产生的冲量矩的矢量和为零，要么是在绕同一固定轴转动情况下可以只考虑外力矩是否为零，离开了这两个条件，角动量守恒定律不一定成立。【例8】 如图，质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动，设阻力可以忽略不计。质量为m的人，站在台的边缘绕台奔跑一周。求相对与地面而言，人和转台各转了多少角度？知识模块第三部 力矩的空间累积效应知识点睛1. 力矩做功如图，在绕定轴转动的任意形状得刚体中取微元，外力矩对微元做功为 两边积分：如果恒定力矩做功则 2. 刚体的动能定理如果刚体具有一定的转动速度，则刚体就具备了对外做功的能力，称这种由于刚体运动而具有的能量为刚体的动能。如果力矩作用于刚体一段空间距离，那么刚体转动的速度(或动能)也将发生变化，因此，刚体动能的数学表述可以由力矩做功的多少来推得(任何能量的数学表述总是通过做功对其改变量的大小来推得的)。即 两端积分 定义：绕固定转轴转动的刚体动能 上面推导表明：合外力矩所做的功，等于刚体动能的增量，这一结论，称为刚体的动能定理；当合外力矩做功为零时，刚体的动能守恒。3.寇尼西定理根据刚体动能定理与前面例题附录的平行轴定理，很容易推导出一个公式：既一个指点系的总动能，总是等于质心速度对应平动动能加上整个质点指点系相对与质心的动能。这个原理非常极其特别的有用，建议大家记住。 例题精讲【例9】 如图质量、半径相同的(a).圆柱，(b).薄球壳，(c).球体从相同光滑斜面的相同高度由静止无相对滑动下滑。求质心所获得的速度。【例10】 如图，半径为R的乒乓球与水平桌面的摩擦系数为m，开始时，用手按球的上左侧，使球的质心以vc0的初速度向正x方向运动，并具有逆时针方向的初始角速度w0，设。试分析乒乓球以后的运动情况。课后归纳把平动的物理量定义与方程与转动的做个对比写出来！课后练习1.把一个刚体悬挂于天花板下，其相对于悬挂点的转动惯量为J，其重力为G，重心在悬挂点下方h处，计算其做小幅振动时的周期。mmO2.质量分别为m和2m，半径分别为r和2r的两个匀质圆盘，同轴地粘在一起，可绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑转动，在大小盘边缘都绕有绳子，绳下端都挂一质量为m的重物，如图，求(1)圆盘的转动惯量；(2)盘的角加速度。阅读材料超导体在温度和磁场都小于一定数值的条件下，许多导电材料的电阻和体内磁感应强度都突然变为零的性质。具有超导性的物体叫做“超导体”。1911年荷兰物理学家卡曼林-昂尼斯（18531926年）首先发现汞在4.173K以下失去电阻的现象，并初次称之为“超导性”。现已知道，许多金属（如锡、铝、铅、钽、铌等）、合金（如铌锆、铌钛等）和化合物（如Nb3Sn、Nb3Al等）都是可具有超导性的材料。物体从正常态过渡到超导态是一种相变，发生相变时的温度称为此超导体的“转变温度”（或“临界温度”）。现有的材料仅在很低的温度环境下才具有超导性，其中以Nb3Ge薄膜的转变温度最高（23.2K）。1933年迈斯纳和奥森费耳德又共同发现金属处在超导态时其体内磁感应强度为零，即能把原来在其体内的磁场排挤出去；这个现象称之为迈斯纳效应。当磁场达到一定强度时，超导性就将破坏，这个磁场限值称为“临界磁场”。目前所发现的超导体有两类。第一类只有一个临界磁场（约几百高斯）；第二类超导体有下临界磁场Hc1和上临界磁场Hc2。当外磁场达到Hc1时，第二类超导体内出现正常态和超导态相互混合的状态，只有当磁场增大到Hc2时，其体内的混合状态消失而转化为正常导体。现在已制备上临界磁场很高的超导材料（如Nb3Sn的Hc2达22特斯拉，Nb3Al0.75Ge0.25的Hc2达30特斯拉），用以制造产生强磁场的超导磁体。超导体的应用目前正逐步发展为先进技术，用在加速器、发电机、电缆、贮能器和交通运输设备直到计算机方面。1962年发现了超导隧道效应即约瑟夫逊效应，并已用于制造高精度的磁强计、电压标准、微波探测器等。近两年来，中国、美国、日本在提高超导材料的转变温度上都取得了很大的进展。1987年研制出YBaCuO体材料转变温度达到90100K，零电阻温度达78K，也就是说过去必须在昂贵的液氦温度下才能获得超导性，而现在已能在廉价的液氮温度下获得。1988年又研制出CaSrBiCuO体和CaSrTlCuO体，使转变温度提高到114115K。课后调查 代课教师： 通过今天学习，你觉得：1. 本讲讲义内容设置：A 太难太多，吃不透B 难度稍大，个别问题需要下去继续思考C 稍易，较轻松D 太容易，来点给力的2. 本节课老师讲解你明白了：A .40%以下B .40%到80%C .80%以上但不全懂D .自以为都懂了3有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无） 14 高一物理竞赛班第6讲学生版 讲述高端的真正的物理学 第六讲 刚体动力学本讲提纲1. 刚体动力学描述方式。2. 转动惯量的理解以及转动定律的运用。3. 寇尼西定理的运用。说明：学习刚体力学最重要的是把刚体的几个基本概念建立起来：转动惯量，质心，力矩，力矩冲量，角加速度。质心动能，相对质心动能等等。概念清晰了，对于公式的记忆和使用并不难，完全类比质点力学体系就可以了。某种程度上本讲也是对质点力学体系的一次很好的复习。 比较难的问题是联立平动方程与转动方程处理的问题，不过初学的同学做起来不痛快仅仅是因为不熟练而已，本讲整体上不算难。知识模块第一部 转动惯量 描述刚体运动的方法与参数引入：刚体就是不考虑形状改变的物体，生活中刚体旋转的例子很多，我们本讲就是带领大家学习这些现象背后的规律。首先我们注意观察刚体的旋转的描述方式，不难发现刚体上每一个点都在绕着一个轴运动，所有的点角速度一致。进一步的分析陀螺的运动我们会发现，我们用鞭子抽打，让陀螺越转越快，刚体的动力学也可以用伽利略的观点“力是改变运动状态的原因”去理解。只不过，我们如何去定量描述呢？知识点睛1. 转动惯量：先研究一个很简单的问题：一跟长为L的轻杆，一段可以围绕着固定点O无阻力的转动，另一端用一个外力F垂直作用在上面，现在在距离O点r远处固定一个质量为m的质点，质点的运动情况如何？ 首先我们去描述这种运动，质点做圆周运动，F的作用点与质点位移x，速度v，加速度a并不一样，但是它们的转动角度，角速度，角加速度（有些参考书用，不过这个字母太容易和a弄混）是一样的。复习一下它们的关系： 且 注意r为到圆周运动圆心的距离。那么解答这个问题并不难，可以使用牛顿定律进行计算，注意到轻杆受合外力为零，所以质点对杆的力必然向下，设这个力大小为N，根据力矩平衡：再隔离质点，由牛顿定律知道： N=ma代入得： 写成这样的式子原因是因为这根杆角加速度一致，用这个参数更加能高效率的描述这种加速转动。从这个方程我们可以看出来，F实质是一个转动体系的外作用，但决定转动加速度的是其力矩。同时mr2这部分是转动体系的一种属性量，其大小会牵制外力矩的导致的角加速度。形象的结论就是质点距离圆心越远，相同的力矩对质点的角加速度就越小。这种性质和质点力学中的质量很相似，所以我们也把mr2叫做质点相对与一个点的转动惯量。显然相同的质点对不同位置的转动惯量一般不同。 总结就是：质点相对于某点的惯量(用J表示)定义为： J=mr2对于很多质点的情况，我们不妨看成上面的轻杆上有很多质点每个质点mi依次对杆的力为Ni，同样的推导有：每一个质点有： Ni=miai最后得到：对于质量连续分布的钢体，上面的求和会变为积分，设总外力矩为M，则： （这个式子与F=ma逻辑结构完全一样）其中部分为惯量J，实际计算一般都是把dm转化为密度与dr的关系，再对含着r的式子积分。2. 描述转动问题首先我们要了解运动有很多种，并不仅仅是简单的平动与定轴转动两种。如下图：我们先对一种简单的情况加以分析，刚体的平面平行运动：刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。确定瞬心的方法有两种：如左图所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如右图 所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速度，则在与速度垂直的直线上，与A点距离为的点即为瞬心。注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。ABSAS由于质心很容易与力学原理结合，多数情况下，我们选取用质心的运动再叠加整个刚体相对质心的转动来描述复制的转动。比如高台跳水，无论人在空中做的动作多么花哨,人体的质心运动的轨迹一定是一个斜抛的抛物线，因为根据质心系牛顿定律，人质心处的加速度等于外力与质量之比，不考虑阻力的话这个加速度一定为g。再比如一个轮子在地面上滚动，从运动的角度，很容易用轮心的平动叠加轮子相对于轮心处的转动去描述。正好质心的加速度一定之受外力（比如地面的摩擦）影响。附录：一些常见物体的转动惯量例题精讲：【例1】 一根质量为m长为l的细长均匀棒绕端点轴转动惯量是否与绕着质心旋转的惯量相同？已知波动方程如下，求波长、周期和波速。【解析】 绕端点： 绕质心：绕端点更多。【说明】有的班教会了积分，就推一下，有的班可能学生不大会用，定性分析一下就行。本题的目的旨在让学生注意惯量的大小转轴有关。【补充公式】平行轴定理对不同的转轴，刚体的转动惯量不同，实验和计算都表明，如果几个轴相互平行，其中的一个轴过质心，刚体对此轴的转动惯量最小。若用Jc表示刚体对通过质心轴的转动惯量，对另一个与此平行并相距为d的定轴的转动惯量则为：J=Jc+md2。【例2】 试将一根质量为m的均匀细长木棒两端用绳水平掉起来，在剪断一边绳子的一瞬间，另一端绳子上拉力为多少?（转动惯量值请查讲义前面附录）【解析】 设张力为T，质心处加速度ac，由牛顿定律：mg-T=mac以左端为转轴，所以，又联立解得：或者选取质心为轴列方程，不过要注意到，此时的线加速度与角加速度关系必须换系重推一遍。【例3】 证明一个轮子在粗糙水平地面上做纯滚运动，理论上其永远不会停下。【解析】 设摩擦力为f，则轮心加速度为f/m，但是以最低点为轴，发现外力矩为零，所以角加速度为零，显然矛盾，所以f必为零。【例4】 求一个质量为m，半径为R的球，沿着倾角为的斜面无滑动滚下的加速度，并讨论实现上述现象的必要条件。【解析】 设静摩擦为f，由牛顿定律轮心为轴，由于惯性力过轴，所以注意到平动参考系不改变角速度，所以联立得：且又因为不滑动，所以所以【拓展题】如果斜面摩擦因数为且很小，球的加速度多大？【例5】 一定滑轮的质量为m，半径为r，转动惯量为I，通过一轻绳两边系质量为m1和m2的物体，绳不能伸长，绳与滑轮也无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。【解析】 如图，建立图示坐标系，隔离物体进行受力分析，由牛顿定律列出方程(1) (2) (3)因为绳与滑轮无相对滑动，存在约束条件 (4)联立求解方程(1)(4)，可得 (5)， (6)如果系统中既有物体平动又有物体转动，通常对转动物体，存在线量与角量的连接条件；转动物体与其它物体接触处，存在摩擦力，转动物体两侧施予与之接触的物体的作用力是不同的。如本题中，滑轮左右两边绳子的张力不再相等。知识模块第二部 力矩的时间累积效应知识点睛1.角动量定理刚体的转动定理研究了力矩在某一瞬时对刚体转动状态的影响，如果在某一变化过程中，力矩变化比较复杂，那么，用刚体的转动定律求解问题就变得比较困难。因此，与质点动力学问题类似，我们可以考察在一个Dt时间范围内，力矩对刚体转动状态的影响，这样，就把对刚体运动过程的跟踪变成了对刚体始末状态的研究，使问题得到简化。这种讨论力矩在一段时间范围内的累积对刚体运动状态的影响，通常称为力矩的时间累积效应。尽管研究力或力矩的瞬时效应和累积效应只是从不同侧面上对物体动力学规律的研究，但是，研究累积效应，不仅可以使某些中间过程十分复杂的问题得到简化处理，更为重要的是，累积效应可以得到守恒定律，而守恒定律是与物理规律的对称性相联系的。因此，在某种程度上，累积效应的研究更为重要。冲量矩作用于刚体上的力矩与力距作用时间的乘积，称为冲量矩，其数学表示为 角动量与角动量定理下面定量讨论冲量矩对刚体转动状态的影响。 对式两端积分其中，J1、w1和J2、w2分别表示始末状态的转动惯量与角速度。定义刚体绕定轴转动的角动量为那么上面的推导表明：冲量矩是改变刚体转动状态的原因，冲量矩改变刚体转动状态的程度由角动量的改变量来度量。这样，这两式就把改变刚体运动状态的原因和改变的量度联系了起来，成为关于刚体运动规律的基本动力学方程。2.刚体的角动量守恒定律当外力冲量矩的矢量和为零时，刚体的角动量保持不变，这一定律，称为角动量守恒定律。其数学表述为: 对有固定转轴的刚体，如果所受冲量矩的矢量和为零，那么，这个刚体将在转动惯性下继续作匀角速度转动。如果绕固定转动的物体不是刚体，其质量的空间分布可以随时间变化，那么，当这个物体的转动惯量增大时，其角速度将减小；反之，当这个物体的转动惯量减小时，其角速度将增大。但是，无论转动惯量和角速度如何变化，它们的乘积始终保持不变。例如，芭蕾舞或花样滑冰运动员总是先伸开双臂旋转，然后在收拢双臂和腿，以减小转动惯量(转轴通过自身质心)，获得更大的角速度，在整个过程中，运动员的角动量始终是守恒的；跳水运动员在起跳时，总是向上甚至手臂，跳到空中做翻滚动作时，又收拢腿与手臂，同样是为了减小转动惯量，而在入水前，必须伸展身体，以减小角速度度，让身体竖直入水来控制溅起的水花。这样的例子还有龙卷风，越往里就旋转越快也是这个道理。对绕同一转轴旋转的质点系，如果所受外力的冲量矩矢量和为零，质点系的角动量也守恒，也就是说，质点系内部的质点，可能由于受到内力的作用而获得角动量，那么，一定有别的质点获得反向的角动量，从而保持质点系总角动量不变。例如:，静止在地面上的直升飞机起飞时，顶部螺旋桨因为转动而获得了角动量，机身必然获得反向的角动量，为防止机身旋转，通常在直升机尾部加上一个侧向叶片，以保证机身总角动量为零。从高楼掉下的猫，由于重心的原因，起初掉下时其背部向下，在下落过程中，猫不断旋转尾巴，使身体获得一个反向角动量，这样，当它着地时，就会背部向上，避免摔伤。与能量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自然界最普遍适用的基本定律之一。从对称性的角度看，角动量守恒对应物理规律的空间旋转变换不变性。 例题精讲【例6】 质量为m、长为l的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平固定轴自由转动， 棒原来静止在平衡位置上.现有一质量为M的小球以速度v在同一平面面内飞来，正好于棒下端相碰，设碰撞为完全非弹性，求碰后瞬间角速度 【解析】 设角速度，由角动量守恒定律：解得【例7】 如图，两个均匀圆柱各自绕其中心轴转动，转轴相互平行，两圆柱质量、半径分别为M1、M2和R1、R2，开始时各自的角速度分别为w1、w2，现将它们缓慢移近使之接触。求两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度。【解析】 在两圆柱体之间的摩擦力作用下，两圆柱最终运动状态一定是侧面上质点的线速度相等，此时，它们表面没有相对滑动，角速度大小相等，方向相反。角速度大小满足(1)其中，w1、w2分别表示圆柱体M1和M2的末态角速度。由角动量定理(2) (3)圆柱的转动惯量， (4)联立求解方程(1)(4)得，(5)讨论：连接体的角动量守恒问题。如果将例题中两圆柱看作为一个系统，容易看出，该系统受外力的冲量矩为零，那么，该系统的角动量应守恒吗？设逆时针方向转动的角动量为正，顺时针转动的角动量为负，则系统初始状态的角动量L1为(6)系统末状态的角动量L2为 (7)由(5)(7)式可得(8)(8)式在一般情况下并不一定等于零，也就是说，该系统尽管没有受到外力矩的作用，但角动量并不一定守恒！事实上，产生力矩的内力是两个圆柱体之间的摩擦力，它们是一对作用力和反作用力，但分别对两个圆柱体产生的力矩是不相同的，因此，它们产生的冲量矩的代数和并不为零，因此在转动过程中，角动量并不守恒。问题的关键是两个圆柱体并不是绕同一固定轴在转动。上面关于质点系角动量守恒的前提条件要么是所有力产生的冲量矩的矢量和为零，要么是在绕同一固定轴转动情况下可以只考虑外力矩是否为零，离开了这两个条件，角动量守恒定律不一定成立。【例8】 如图，质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动，设阻力可以忽略不计。质量为m的人，站在台的边缘绕台奔跑一周。求相对与地面而言，人和转台各转了多少角度？【解析】 将人和转台看作为一个系统，该系统没有受到外力矩的作用，角动量守恒。已知开始时系统的角动量等于零，应用角动量守恒定律，有 (1)式中，I和I分别表示转台和人对转台中心轴转动惯量，w和w1分别表示相应的角速度。因为， (2)将(2)代入(1)，可得 (3)人相对于转台的角速度为 (4)人在转台上奔跑一周所需要的时间为 (5)于是，人相对于地面所转过的角度为(6)转台所转过的角度为 (7)容易看出，q+f=2p。注意，在比较综合一点的问题中，动力学问题经常与相对运动问题结合在一起，这时，要注意各物理量所对应的参考系。知识模块第三部 力矩的空间累积效应知识点睛1. 力矩做功如图，在绕定轴转动的任意形状得刚体中取微元，外力矩对微元做功为 两边积分：2. 刚体的动能定理如果刚体具有一定的转动速度，则刚体就具备了对外做功的能力，称这种由于刚体运动而具有的能量为刚体的动能。如果力矩作用于刚体一段空间距离，那么刚体转动的速度(或动能)也将发生变化，因此，刚体动能的数学表述可以由力矩做功的多少来推得(任何能量的数学表述总是通过做功对其改变量的大小来推得的)。即 两端积分 定义：绕固定转轴转动的刚体动能 上面推导表明：合外力矩所做的功，等于刚体动能的增量，这一结论，称为刚体的动能定理；当合外力矩做功为零时，刚体的动能守恒。3.寇尼西定理根据刚体动能定理与前面例题附录的平行轴定理，很容易推导出一个公式：既一个指点系的总动能，总是等于质心速度对应平动动能加上整个质点指点系相对与质心的动能。这个原理非常极其特别的有用，建议大家记住。 例题精讲【例9】 如图质量、半径相同的(a).圆柱，(b).薄球壳，(c).球体从相同光滑斜面的相同高度由静止无相对滑动下滑。求质心所获得的速度。【解析】 将地球、斜面、m看作为系统，由机械能守恒无滑动的条件圆柱、薄球壳、球体的转动惯量分别为圆柱：，薄球壳：，球体：圆柱、薄球壳、球体的质心获得的速度分别为，【例10】 如图，半径为R的乒乓球与水平桌面的摩擦系数为m，开始时，用手按球的上左侧，使球的质心以vc0的初速度向正x方向运动，并具有逆时针方向的初始角速度w0，设。试分析乒乓球以后的运动情况。【解析】 开始使乒乓球与桌面的接触点P具有初速度，乒乓球向右平动，一边倒着转动。它在水平方向受到滑动摩擦力的作用，按质心运动定理，有积分得 摩擦力产生的力矩对质心的转动方程为 积分可得 (4)(2)式代表了质心平动的速度，(3)式代表了P点绕质心转动的角速度，P点的运动，实际上是平动和转动两种运动的叠加，下面分析其运动状况。(i).当，。由题目所给条件可知，此时平动速度为零，转动的角速度大于零。乒乓的质心停止平动，但仍然绕质心转动，转动的方向没有改变。当，质
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