高中物理竞赛第四阶段第8讲 电势 电势能有答案

第 8 讲电势 电势能本讲提纲1.电势的概念2.电势与场强的关系3.电势叠加原理4.电势分布图本讲的概念看似深奥抽象，其实有很多相似的概念可以类比；本讲的题看似思路单一，计算简洁，但是对于物理 思想方法的提炼帮助很大。知识模块一 定义概念体系引入：势的概念物理学名词 potential。亦称“位”。当一个物理量只随空间变化的时，这种随着空间分布的物理 量就可以叫势。比如地理图中的等高面，每个面上的点势都是一样的，表示这种高度的物理量就可以 叫重力势。物理学的核心竞争力在于更高效率的描述现实规律，我们不妨反省以上定义的行为，定义重力 势（高度）的最大作用对于计算重力做功与重力作用下能量变化会减少描述的步骤。所以在我们了解 了电场力的性质后，我们继续研究电场力做功的特点，并定义一个类似重力势能的概念-电势能。知识点睛1电场力做功的特点 在静电场中，电场力对移动电荷做功，只与始末位置有关，与电荷的运动路径无关（这一点理解不难，用点电荷的力推理一下就可以了，不过要写成严格的数学表达式有些废纸，略去了）只要在 电场中初末位置 A 、B 确定了，移动电荷 q 做的功WAB 便确定了如果在电场中沿闭合路径运动一周，则电场力做功为零，这跟重力做功的情况类似。2电势差11U= WABU= j- j 适用于任何电场ABqABAB电势差与移动电荷的路径和电荷量无关，只跟两点的位置有关在电场中任何两点间的电势差都 有确定的值，不能认为U AB 与WAB 成正比，与 q 成反比UAB = -U BA ，若 UAB = -5V ，其意义是 A 点电势比 B 点电势低 5V ，或者说 B 点电势比 A 点电势 高 5V 3电势电场中某点的电势，等于该点与零电势点间的电势差，在数值上等于单位正电荷由该点移到零电 势点时电场所做的功令 jB = 0 ，则 j A = UAB = j A - jB 电势具有相对性，电势的数值与零点电势点的选取有关，零点电势点的选取不同，同一点的电势的数值则不同，理论研究中，通常以无限远点为零电势点，在实际处理问题中，又常取大地为零电势 电势是标量，但有正负，表示各点电势的高低在规定零电势点后，电场中各点的电势可以是正值，也可以是负值，正值表示该点电势高于零电势，负值表示该点电势低于零电势 沿着电场方向，电势越来越低电场强度的方向是电势降低最快的方向4电势高低的判断方法 电场线法：顺着电场线方向电势逐渐降低由 U= WAB 及 U= j - j来判断：若 U 0 ，则 j j ，若 U= 0 ，则 j= j ，若U 0 ，ABq则 jA R) 4e0r(2)均匀带电球体产生的电场 高球的电荷量为 Q ，半径为 R ，则: Q 3 r (rR)2 -8e RR2j = 0 1 Q(r R)0 4er例题精讲【例4】 如图所示，半径为 R 的圆环均匀带电，电荷线密度为 ，圆心在 O 点，过圆心跟环面垂直的 轴线上有 P 点， PO = r ，以无穷远为参考点，试求 P 点的电势 UP 。【例5】 一个金属球，半径为 R，本身不带电，距离球心 L 远处有一个点电荷 q。（1）计算球心处电势。（2）如果 LR,且已知整个球以及球的内部电势处处一样（下讲讲介绍这个结论），计算整个球的电 势。【例6】 两个点电荷位于 x 轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正 x 轴上各 点的电势如图中曲线所示，当 x 0 时，电势U ：当 x 时，电势 U 0 ；电势为零 的点的坐标 x0 , 电势为极小值 -U0 的点的坐标为 ax0 (a 2) 试根据图线提供的信息，确定 1.这两个点电荷所带电荷的符号2.电量的大小3.它们在 x 轴上的位置【例7】 电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面半径为 R ，CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线， 如图所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点，已知 P 点的电势为 UP ，试求 Q 点的 电势 UQ 。【例8】 如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1 和 R2，带有净电量 +q，现在其内部距球心为 r 的地方放一个电量为 +Q 的点电荷，试求球心处的电势【例9】 半径为 R 的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为 s 的电荷，求该球开口处圆面上任一 点的电势【例10】两个极薄的同心导体球壳 A 和 B，半径分别为 RA 和 RB ，现让 A 壳接地，而在 B 壳的外部 距球心 d 的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求：（1）A 球壳的感应电荷量；（2）外球壳 的电势。【例11】在一个半径为 R 的导体球外，有一个半径为 r 的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为 a (a R) ，且与环面垂直，如图所示已知环上均匀带电，总电量为 q ，且已知整个球以及 内部电势处处一样，试问： 当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少? 当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何? 当导体球的电势为 U 时，球上总电荷又是多少? 情况 3 与情况 1 相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何?(选讲)【例12】图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体，O 为其球心己知取无限远处的电势为零 时，球表面处的电势为 U=1000 V在离球心 O 很远的 O点附近有一质子 b，它以 Ek2000 eV 的动能沿与 OO 平行的方向射向 a以 l 表示 b 与 OO 线之间的垂直距离，要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰，试求 l 的最大值 【例13】两个异号的点电荷，其带电的大小比为 n (n 1) ，互相距离为 d ，证明电势为 0 的等势面为 一个球面，并求该球的半径，并问什么时候该球面变成一个平面（提示，建立坐标系计算）【提示】只要求学生列出式子即可【总结】有几个关键的推导原则，处于静电平衡的物体：1.金属实体内部处处是等势的，如金属空腔内无电荷，则电势也处处相等。2.两点等势，两点间一定不能有电场线，反之亦反。静电场电场线一定由正电荷发出，终 止于等量异种电荷。3.均匀带电球壳在内部处处电势一样4.非均匀带电球壳在球心处电势等于，但并不是处处一样。计算必须巧妙实用等效原理构 造。课后练习rR1.如图所示，半径为 r 的金属球远离其他物体，通过 R 的电阻器接地。电子束从远处以速度 v 落到球 上，每秒钟有 n 个电子落到球上。试求金属球每秒钟释放的热量及球上电量。2.半径为 Ra 的导体球 A 外，同心地放置半径分别为 Rb、Rc（RcRb）的导体球壳 B 和 C，已知 A 的 电势为 Ua，B 的净电荷为零，C 的净电荷为 Qc，试问：（1）用导线将 A 和 B 连接后，A 的电势增量U1 为多少？（2）再用导线将 B 和 C 连接后，A 的第二次电势增量U2 为多少？3.一个半径为 a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为 U0，将此球靠近圆心为 O1、半径为 b 的接地 的导体球，只有球中心 O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。OaO1b学习之外库仑与库伦定律库仑，电磁学奠基人之一，于 1736 年 6 月 14 日出生于法国昂古莱姆在青少年时期，受到了良 好的教育后来到巴黎军事工程学院学习，离开学校后，他进入西印度马提尼克皇家工程公司工作八 年后，他又在埃克斯岛瑟堡等地服役法国大革命时期，库仑辞去一切职务，到布卢瓦致力于科学研 究工作，他把主要精力放在研究工程力学和静力学问题上1777 年法国科学院悬赏，征求改良航海指南针中的磁针的方法库仑认为磁针支架在轴上，必 然会带来摩擦，要改良磁针，必须从这根本问题着手他提出用细头发丝或丝线悬挂磁针同时他对 磁力进行深入细致的研究，特别注意了温度对磁体性质的影响他又发现线扭转时的扭力和针转过的 角度成比例关系，从而可利用这种装置算出静电力或磁力的大小这导致他发明了扭秤，扭秤能以极 高的精度测出非常小的力人类对电现象的熟悉、研究，经历了很长的时间。直到 16 世纪人们才对电的现象有了深入的熟悉。吉尔伯特比较系统地研究了静电现象，第一个提出了比较系统原始理论，并引人了“电吸引”这 个概念。但是吉尔伯特的工作仍停留在定性的阶段，进展不大。18 世纪中叶，人们借助于万有引力 定律，对电和磁做了种种猜测。18 世纪后期，科学家开始了电荷相互作用的研究。富兰克林最早观察到电荷只分布在导体表面。普利斯特利重复了富兰克林的实验，在电学的历 史和现状一书中他根据牛顿的自然哲学的数学原理最先预言电荷之间的作用力只能与距离平方 成反比。虽然这个思想很重要，但是普利斯特利的结论在当时并没有得到科学界的重视。在库仑定律提出前有两个人曾作过定量的实验研究，并得到明确的结论。可惜，都没有及时发表 而未对科学的发展起到应有的推动作用。一位是英国爱丁堡大学的罗宾逊，认为电力服从平方反比律， 并且得到指数 n=2.06，从而电学的研究也就开始进行精确研究。不过，他的这项工作直到 1801 年才 发表。另一位是英国的卡文迪许。17721773 年间，他做了双层同心球实验，第一次精确测量出电 作用力与距离的关系。发现带电导体的电荷全部分布在表面而内部不带电。卡文迪许进一步分析，得 到 n=2.002。他的这个同心球实验结果在当时的条件下是相当精确的。但可惜的是他一直没有公开发 表这一结果。库仑的扭秤巧妙的利用了对称性原理按实验的需要对电量进行了改变。库仑让这个可移动球和固 定的球带上同量的同种电荷，并改变它们之间的距离。通过实验数据可知，斥力的大小与距离的平方 成反比。但是对于异种电荷之间的引力，用扭称来测量就碰到了麻烦。经过反复的思考，库仑借鉴动 力学实验加以解决。库仑设想：假如异种电荷之间的引力也是与它们之间的距离平方成反比，那么只 要设计出一种电摆就可进行实验。通过电摆实验，库仑认为：“异性电流体之间的作用力，与同性电流体的相互作用一样，都与距 离的平方成反比。”库仑利用与单摆相类似的方法测定了异种电荷之间的引力也与它们的距离的平方 成反比，不是通过扭力与静电力的平衡得到的。可见库仑在确定电荷之间相互作用力与距离的关系时使用了两种方法，对于同性电荷，使用的是静电力学的方法；对于异性电荷使用的是动力学的方法。 库仑注重修正实验中的误差，最后得到：“在进行刚才我所说的必要的修正后，我总是发现磁流 体的作用不管是吸引还是排斥都是按距离平方倒数规律变化的。”但是应当指出的是，库仑只是精确 的测定了距离平方的反比关系，并把静电力和静磁力从形式归纳于万有引力的范畴，我们这里要强调 的是库仑并没有验证静电力与电量之积成正比。“库仑仅仅认为应该是这样。也就是说库仑验证了电力与距离平方成反比，但仅仅是推测电力与电量的乘积成正比。” 库仑定律是平方反比定律，自发现以来，科学家不断检验指数 2 的精度。1971 年威廉等人的实验表明库仑定律中指数 2 的偏差不超过 10-16，因此假定为 2。事实上，指数为 2 和光子静止质量为零 是可以互推的。其实假如不为零，即使这个值很小，也会动摇物理学大厦的重要基石，因为现有理论 都是以等于零为前提。到目前为止，理论和实验表明点电荷作用力的平方反比定律是相当精确的。200 多年来，电力平方反比律的精度提高了十几个数量级，使它成为当今物理学中最精确的实验定律之一。 回顾库仑定律的建立过程，库仑并不是第一个做这类实验的人，而且他的实验结果也不是最精确的。 我们之所以把平方反比定律称为库仑定律是因为库仑结束了电学发展的第一个时期。库仑的工作使静 电学趋于高度完善。电量的单位也是为了纪念库仑而以他的名字命名的。课后调查代课教师： 通过今天学习，你觉得：1.本讲讲义内容设置：A 太难太多，吃不透 B难度稍大，个别问题需要下去继续思考 C稍易，较轻松D 太容易，来点给力的2.本节课老师讲解你明白了：A .40%以下B .40%到 80%C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了3有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）答案例题精讲【例 1】c【例 2】U = 2Ua A3U = Ua + UbB26【例 3】C例题精讲【例 4】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段 L ，它在 P 点形成的电势U = klDLR 2 + r2环共有 2pR 段，各段在 P 点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。DL【例 5】Kq/L【例 6】正的点电荷必定位于原点 O 处，以 Q1 表示该点电荷的电量。负的点电荷必定在原点的左侧。设它到 原点的距离为 a ，当 x 很大时，电势一定为负，且趋向于零，这表明负的点电荷的电量的数值 Q2 应大 于 Q1 。即产生题目所给的电势的两个点电荷，一个是位于原点的正电荷，电量为 Q1 ；另一个是位于 负 x 轴上离原点距离 a 处的负电荷，电量的大小为 Q2 ，且 Q2 Q1 。按题目所给的条件有 k Q1 - k x0Q2= 0x0 + ak Q1 ax0- kQ2 ax0 + a= -U0（1）（2）因 x = ax0 时，电势为极小值，故任一电量为 q 的正检测电荷位于 x = ax0 处的电势能也为极小值， 这表明该点是检测电荷的平衡位置，位于该点的检测电荷受到的电场力等于零，因而有kQ1(ax )2- k(axQ2= 0+ a)2（3）00由式（1）、（2）和（3）可解得a = a(a