高二秋季物理竞赛班第08讲_电磁感应一.教师版

高二物理竞赛第8讲电磁感应1本讲导学本讲复习电磁感应基本知识,主要让大家熟悉动生电动势和感生电动势的基本概念和计算方法.知识点睛第一部分 磁场的高斯定理知识点睛磁通量:类似于电通量,定义为d=BdS=BdS cos.对于一个曲面，则有=BdS.类似于电场的高斯定理，磁场也满足它的高斯定理. 不过由于不存在磁单极子，所以任意闭合面的总磁通量为0，即=BdS=0.静磁场同时满足高斯定理和环路定理，在系统对称性较强时，可以利用这两个定理计算磁场.有时候，可以用这两个定理说明某些想象中的磁场是否可以存在.（见例题）例题精讲【例1】 （26届复赛）有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示.这种分布的静电场是否可能存在？试述理由.解析 不存在，可用环路定理证明.【例2】 有一对z轴柱对称的磁场（如图），沿z方向的分量满足dBzdz=k，k为常量，求B的分布.解析如图在z处建立半径为r厚度为dz的薄圆柱作为闭合高斯面.则有r2dB+2rdz B=0所以Br=-r2dBdz=-rk2第二部分 电磁感应定律知识点睛法拉第千辛万苦做出来的实验定律表明：闭合回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量的变化率成正比.这个结论叫做法拉第电磁感应定律.即：电动势这个概念我们讲了很久了，电池有电动势，切割磁感线的杆有电动势，变化的磁场可以产生电动势，那到底什么叫做电动势呢？中文听起来比较费劲，英文听起来舒服一点：electromotive force.土鳖的翻译方法读作：把电子赶着动的力.可以这么形象的理解（以电池给的电动势为例）：我们知道，电子会往电势能低（电子带负电，对应于电势较高）的地方跑，所以电子从A绕外面一圈到B，势能降低了，跑不动了.这时，受电池内部的非静电力作用，电子被从B赶到了A（从电池内部赶到势能更高的地方），这个将电子赶到是能更高的力对应的势能增量，就对应于电动势.本身就自动包含动生和感生两项，这是由于，我们分别把这两部分称为感生电动势与动生电动势.动生电动势动生电磁感应的产生是由于洛仑兹力的作用.导体ab在磁场B中做垂直于磁力线的运动，速度图为，导体长度为.由于导体中所有自由电子也随着导体一起以向右运动，因此受到洛仑兹力，这个力推着电子沿着导线跑，所以有了电动势.单位电荷收到的力随着一小端导线导线的积累效果是：+ + +_ _ _LB_F如果，这个公式就成了高中老师让你背了100遍的公式.如果上面条件不满足，就老老实实按照叉称点乘算.比如想一想，背了100遍的公式：它的适用条件是什么，怎么从基本的公式看出这一点来.感生电动势导体相对磁场静止，由于磁场的变化而引起导体内感生电动势的现象叫感生电磁感应.变化着的磁场能在其周围空间激发一种称为涡旋电场的场，涡旋电场和静电场的共同点就是对电荷都有作用力.不用的地方在于，如果对着一个封闭的圈，沿着圈把求和起来，静电场的贡献一定是0，也就是说，对这一个回路，静电是不会推着电荷转起来的；但是对于涡旋电场： （这里要求回路静止，不考虑动生）这个是用来计算涡旋电场的基本公式，比如：BEEEE根据电动势和电场的关系，如果磁场区域半径为R，回路的半径为r，回路上的电场强度为E，则 (rR） (rR)其实，从带电粒子的运动的角度来说，广义的洛伦兹力定义为：F=qE+vB=q(E静电场+E非静电场+vB)其中的第一项就是大家最熟悉的可以定义电势的静电场，它满足电场高斯定理及环路定理.；第二项为非静电场，可能是由化学反应产生的（如干电池内部的非静电力），或者是感生的涡旋电场等，对应于本讲中的感生电动势；第三项就是大家最熟悉的狭义的洛伦兹力，对应于本讲中的动生电动势.例题精讲【例3】 在磁感应强度为B，水平方向的均匀磁场内，有一个细金属丝环以速度v作无滑动的滚动，如图所示，环上有长度为l的很小缺口，磁场方向垂直于环面.求当角AOC（见图）为a时环上产生的感应电动势OAvlC解析补全. =vaBsin【例4】 如图所示，平行于y轴、横断面为矩形的无限长导体棒，棒宽为l.导体棒的两侧有两个滑动触点与伏特计相接，外加均匀磁场B与z轴平行.问以下几种情形中伏特计的读数为多少?(1)伏特计在y轴方向以速度v沿着静止棒滑动.(2)伏特计静止，导体棒以速度v沿y轴方向移动.(3)伏特计和导体棒都以速度v沿y轴方向移动.(4)伏特计和导体棒都静止，磁场源以速度v沿y轴方向运动.解析 (1)此时谅解伏特计的两杆产生电动势,在回路中产生电流,导体棒的电阻可忽略不计=U-=0=U=vBl（2）此时连接伏特计的导线上没有电动势，相当于伏特计直接测导体棒的电动势=U=vBl（3）0（4）换参照系之后，回路电动势不应该变化，因而为0。不换系的做法：在场的边缘处变化的磁场产生电场，由于是匀强场，因而回路为0。【例5】 （暑假重题，但值得复习）如图所示，一很长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R，圆弧所在的平面与x轴垂直.圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接触，并可在其上滑动.圆弧圆周长，圆弧圆周长.一内阻的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连.整个装置处在磁感强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中.当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定速度v沿x轴方向平移运动时.(1)求电压表的读数.(2)求e点与f点的电势差.V解析程书【例6】 如图所示，在边长为a的等边三角形区域内有匀强磁场B，其方向垂直纸面向外.一个边长也为a的第边三角形导体框架ABC，在t=0时恰好与上述磁场区域的边界重合，尔后以周期T绕其中心组面内沿顺时针方向匀速运动，于是在框架ABC中产生感应电流.规定电流按ABCA方向流动时电流强度取正值，反向流动时的取负值.设框架ABC的电阻为R，试求从t=0到时间内的平均电源强度和从t=0到时间内的平均电流强度ABCABCABC.解析(1)=t=I=R=-312a2BRT6=-3a2B2RT（2）同理I=-3a2B6RT【例7】 如图所示， ACD 是由均匀细导线制成的边长为 d 的等边三角形线框，它以 AD 为转轴，在磁感应强度为 B 的恒定的匀强磁场中以恒定的角速度转动（俯视为逆时针旋转）, 磁场方向与 AD 垂直已知三角形每条边的电阻都等于R取图示线框平面转至与磁场平行的时刻为 t = 0 .1 求任意时刻 t 线框中的电流2 规定 A 点的电势为0，求 t = 0 时，三角形线框的AC 边上任一点 P （到 A 点的距离用 x 表示）的电势Up，并画出Up与 x 之间关系的图线解析 (1)磁通量: t=BS sin tI=tR=BScostR电流以顺时针流动为正. S为三角形面积.（2）由对称性，AC和CD上的动生电动势均匀分布，故Up=AP-RAPI=x2d BS-x3d RI=x6d BS(0x2d)图形是线性的.【例8】 如图所示，在无限长直线电流旁边，有边长为a和b的矩形线框，线框绕它的一条长边(平行于直线电流)为固定轴，以角速度旋转.已知直线电流为I，它与转轴的距离为(a+c).若从线框平面与直线电流在同一平面内时开始计时，试问经多少时间线框中的感应电动势第一次达最大值，该值为多大?解析（可以用动生电动势的方法或者积分求出磁通量再对时间求导的方法，这里以大多数学生能接受的动生电动势的方法计算，班里积分比较好的老师可以用后一种方法.）设某时刻b与电线距离为r，由余弦定理可知r2=a2+a+c2-2aa+ccostB=I2r=vaBsin=a2Bsin正弦定理得sin=a+crsint=a2Bsin=a2I2a+csinta2+a+c2-2aa+ccost取极值时其导数为零，即：a+ccosta2+a+c2-2aa+ccost-a+csint2aa+c sin ta2+a+c2-2aa+ccost2=0当cost=2aa+ca2+a+c2时，取最大值.此时sint=c(2a+c)a2+a+c2=a2I2a+cc2a-c【例9】 如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中(图中未画出磁场)，两根金属杆OM和ON交于O，夹角为120，金属棒dc跟两金属杆光滑接触，触点是E和F。EOF是等腰三角形，三角形所在的平面跟磁感线垂直，初始时刻EOFO=L。金属杆和金属棒为同种材料，每单位长度的电阻都是k。现使ac棒从静止起以加速度a垂直于ac向左运动，求回路中电功率的最大值。解析记某时刻ac棒在电路中的长度为x. 回路电阻R=23+1kx回路中动生电动势=vBx. v=at, x=3L-3at2功率P=atB3L-3at2223+1k(3L-3at2)=3a2B2t2L-at223+1k当t=L2a时，P最大，为P=33aB2L242+3k【例10】 （暑假重题，感生电动势概念的复习）如图所示，在正方形导线回路所围的区域内分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间以恒定的变化率增大，回路中的感应电流为已知、两边的电阻皆为零；边的电阻，边的电阻。 1试求两点间的电压、两点间的电压、两点间的电压、两点间的电压。 2若一内阻可视为无限大的电压表V位于正方形导线回路所在的平面内，其正负端与连线位置分别如图所示，求三种情况下电压表的读数、。【解析】1. 设回路中的总感应电动势为，根据楞次定律可知，电路中的电流沿逆时针方向，按欧姆定律有（1）由对称性可知，正方形回路每条边上的感应电动势相等，设为，等效电路如图所示。有（2）根据含源电路欧姆定律，并代入数值得（3）（4）（5）（6）2. 三种情况下的等效电路分别如图。对图中的回路，因磁通量变化率为零，回路中的总电动势为零，这表明连接两端的电压表支路亦为含源电路，电压表的读数等于由正端（）到负端（一）流过电压表的电流乘以电压表的内阻，因阻值为无限大，趋近于零（但为有限值），故得解得（7）同理，如图所示，回路的总电动势为，故有（8）解得（9）代入数据得（10）所示，回路的总电动势为零，而边中的电阻又为零，故有（11）【例10.5】 （学生版没有，几乎是重题，可作为练习）在一个半径为R的长直螺线管中通有变化的电流，使管内圆柱形的空间产生变化的磁场，且随时间均匀变化，B=kt.如果在螺线管横截面内，放置一根长为R的导体棒ab，使得oa=ob=ab，那么ab上的感生电动势是多少？如果将导体棒延伸到螺线管外，并使得ab=bc=R，则杆上ac上感生电动势为多少？BO解析（1）可以补全Oab，由于涡旋电场与Oa和Ob垂直，故Oa和Ob上的感生电动势为零.于是|ab|=kSOab=34kR2也可以补全成正六边形在用对称性.（2）补全成Oac，同理Oa和Oc上感生电动势为零|ac|=kSOab+S小扇形=34+6kR2【例11】 具有一定电阻的同种金属丝做成大小为ab的长方形，如图所示.有一个磁场垂直于长方形面，磁感应强度B按照规律B =kt呈线性增加.在到边长为a的一边距离为c处，接上电阻很大的伏特表.求这伏特表所表示电压的大小caBVB解析不妨设B垂直于纸面向内.本题中失去了对称性，故上面的方法不再适用，改用代数方法.如图，记导线单位长度电阻为r. 设电流为I，ACDE上的感应电动势为1，AE上为2，EFGA上为3.则有整个电路的基尔霍夫方程：2a+brI=1+3=kab右半边矩形感应电动势：2+3=kac于是伏特表的示数应为：U=2+3-Ia+2cr=ka22c-b2a+b【例12】 用长度为l、电阻为R的一段粗细均匀金属丝做成圆环及一条长度等于直径的弦.将圆环放入均匀磁场中，磁感应强度的方向垂直于环面，其大小按规律B=kt变化，如图所示.求在金属丝中释放的功率.解析由对称性，中间的金属丝上电流为0. 设圆环半径为r，则有2r+2r=l=r=l2+1故功率为P=21+ R=r2k21+R=k2l424+13R【例13】 （电磁非主流题目）（1）带电量为q、质量为m的带电粒子在匀强磁场B中作快速圆周运动，形成一圆电流环，该电流环的磁矩称为粒子的回旋磁矩.试写出回旋磁矩的大小表达式.设带电粒子会像选速度