高考数学一轮复习 8.5空间向量与立体几何课件.ppt

,课标版理数8.5空间向量与立体几何,1.空间向量的概念,2.空间向量中的有关定理及其推论(1)共线向量定理,对空间任意两个向量a、b(b0),ab的充要条件是a=b(r).推论:如图所示,点p在l上的充要条件是=+ta.(*)其中a是直线l的方向向量,tr,在l上取=a,则(*)可化为=+t或=(1-t)+t.(2)共面向量定理的向量表达式为p=xa+yb,其中x,yr,a、b为不共线向量,推论的表达式为=x+y,或对空间一点o,有=+x+y或=x+y+z,其中x+y+z=1.3.线性运算的运算律(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);,(3)数乘向量分配律:(a+b)=a+b;(4)向量对实数加法的分配律:a(+)=a+a;(5)数乘向量的结合律:(a)=()a.4.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念(i)已知两个非零向量a、b,在空间任取一点o,作=a,=b,则aob叫做向量a与b的夹角,记作或,其范围是0,.若=,则称a与b垂直,记作ab.(ii)已知空间两个非零向量a、b,则|a|b|cos叫做向量a、b的数量积,记作ab.(iii)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则ab=a1b1+a2b2+a3b3.(2)空间向量数量积的运算律(i)结合律:(a)b=(ab);(ii)交换律:ab=ba;(iii)分配律:a(b+c)=ab+ac.5.空间直角坐标系(1)基本概念,(2)空间两点间的距离公式空间中的两点p1(x1,y1,z1)、p2(x2,y2,z2)之间的距离|p1p2|=.特别地,空间任意一点p(x,y,z)与原点o之间的距离|op|=.6.空间向量坐标表示的应用(1)共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(a、b均为非零向量),则aba=ba1=b1,a2=b2,a3=b3(r),abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0.(2)模、夹角和距离公式,设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=,cos=.若a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),则ab=|=.7.两个重要向量(1)直线的方向向量,直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线l平面,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.8.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l1的方向向量为u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).如果l1l2,那么u1u2u1=u2a1=a2,b1=b2,c1=c2;如果l1l2,那么u1u2u1u2=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)直线l的方向向量为u=(a1,b1,c1),平面的法向量为n=(a2,b2,c2).,若l,则unun=0a1a2+b1b2+c1c2=0.若l,则unu=kna1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)平面的法向量为u1=(a1,b1,c1),平面的法向量为u2=(a2,b2,c2).若,则u1u2u1=ku2(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2);若,则u1u2u1u2=0a1a2+b1b2+c1c2=0.9.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a、b分别是两异面直线l1、l2的方向向量,则,(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,则sin=|cos|=.(3)求二面角的大小(i)若ab、cd分别在二面角-l-的两个半平面内(a、c在棱l上),且ab、cd都与棱l垂直,则二面角的大小就是向量、的夹角(如图a所示).(ii)设n1、n2分别是二面角-l-的两个半平面、的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图b、c).,1.长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=aa1=2,ad=1,e为cc1的中点,则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为()a.b.c.d.,答案b建立坐标系如图,则a(1,0,0),e(0,2,1),b(1,2,0),c1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos=.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.,2.已知正方体abcd-a1b1c1d1如图所示,则直线b1d和cd1所成的角为()a.60b.45c.30d.90答案d以a为原点,ab、ad、aa1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则=(-1,0,1),=(-1,1,-1),cos=0,两直线所成的角为90,故选d.,3.在空间直角坐标系中,以点a(4,1,9)、b(10,-1,6)、c(x,4,3)为顶点的abc是以bc为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.答案2解析由题意知=0,|=|,可解得x=2.,4.正四棱锥s-abcd中,o为顶点s在底面上的射影,p为侧棱sd的中点,且so=od,则直线bc与平面pac所成的角是.,答案30解析如图所示,以o为原点建立空间直角坐标系o-xyz.设od=so=oa=ob=oc=a,则a(a,0,0),b(0,a,0),c(-a,0,0),p.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面pac的法向量为n,易知可取n=(0,1,1),则cos=.=60,直线bc与平面pac所成的角为90-60=30.,5.p是二面角-ab-棱上的一点,分别在平面、上引射线pm、pn,如果bpm=bpn=45,mpn=60,那么二面角-ab-的大小为.,答案90解析如图,不妨设pm=a,pn=b,作meab于e,nfab于f,epm=fpn=45,pe=a,pf=b,=(-)(-)=-+=abcos60-abcos45-abcos45+ab,=-+=0,二面角-ab-的大小为90.,典例1(2014天津,17,13分)如图,在四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,adab,abdc,ad=dc=ap=2,ab=1,点e为棱pc的中点.(1)证明bedc;(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值;(3)若f为棱pc上一点,满足bfac,求二面角f-ab-p的余弦值.,利用空间向量证明平行与垂直,解析依题意,以点a为原点建立空间直角坐标系(如图),可得b(1,0,0),c(2,2,0),d(0,2,0),p(0,0,2).由e为棱pc的中点,得e(1,1,1).(1)证明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),故=0.所以bedc.,(2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面pbd的法向量,则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面pbd的一个法向量.于是有cos=.所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).由点f在棱pc上,设=,01.故=+=+=(1-2,2-2,2).由bfac,得=0,因此,2(1-2,)+2(2-2)=0,解得=.即=.设n1=(x,y,z)为平面fab的法向量,则即不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面fab的一个法向量.取平面abp的法向量n2=(0,1,0),则cos=-.易知,二面角f-ab-p是锐角,所以其余弦值为.,1.用向量证平行的方法:(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;,证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行问题.,2.用向量证明垂直的方法:(1)线线垂直:证明两直线方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.,1-1如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m、n分别是c1c、b1c1的中点.求证:mn平面a1bd.,以d为原点,da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得m,n,d(0,0,0),a1(1,0,1),b(1,1,0),于是=,=(1,0,1),=(1,1,0).设平面a1bd的一个法向量是n=(x,y,z),证明证法一:如图所示,则n=0,且n=0,得取x=1,得y=-1,z=-1.n=(1,-1,-1).n=(1,-1,-1)=0,n,又mn平面a1bd,mn平面a1bd.证法二:=-=-=(-)=,又mn平面a1bd,da1平面a1bd,mn平面a1bd.,1-2如图所示,已知四棱锥p-abcd的底面是直角梯形,abc=bcd=90,ab=bc=pb=pc=2cd,侧面pbc底面abcd.证明:(1)pabd;(2)平面pad平面pab.,证明(1)取bc的中点o,连结po,平面pbc底面abcd,pbc为等边三角形,po底面abcd.以bc的中点o为坐标原点,以bc所在直线为x轴,过点o与ab平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系.,不妨设cd=1,则ab=bc=2,po=.a(1,-2,0),b(1,0,0),d(-1,-1,0),p(0,0,).=(-2,-1,0),=(1,-2,-).=(-2)1+(-1)(-2)+0(-)=0,pabd.(2)取pa的中点m,连结dm,则m.=,=(1,0,-),=1+00+(-)=0,即dmpb.=1+0(-2)+(-)=0,即dmpa.又papb=p,dm平面pab.dm平面pad,平面pad平面pab.,典例2(2014重庆,19,13分)如图,四棱锥p-abcd中,底面是以o为中心的菱形,po底面abcd,ab=2,bad=,m为bc上一点,且bm=,mpap.(1)求po的长;(2)求二面角a-pm-c的正弦值.解析(1)如图,连结ac,bd,因为abcd为菱形,则acbd=o,且acbd.以o为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直,利用空间向量求空间角,角坐标系o-xyz.因为bad=,故oa=abcos=,ob=absin=1,所以o(0,0,0),a(,0,0),b(0,1,0),c(-,0,0),=(0,1,0),=(-,-1,0).由bm=,bc=2知,=,从而=+=,即m.,设p(0,0,a),a0,则=(-,0,a),=.因为mpap,故=0,即-+a2=0,所以a=或a=-(舍去),即po=.(2)由(1)知,=,=,=.设平面apm的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面pmc的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1=0,n1=0,得故可取n1=,由n2=0,n2=0,得故可取n2=(1,-,-2),从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=-,故所求二面角a-pm-c的正弦值为.,1.求异面直线所成的角常用平移法或向量法,特别是向量法,由于降低了空间想象的要求,所以需引起我们的重视.用向量法时,需注意两异面直线所成角的范围为.,2.由于直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面的法向量的夹角或其补角互余,故要求直线与平面所成的角只需求直线的方向向量与该平面的法向量的夹角即可.,3.求二面角的大小可转化为求两个平面的法向量夹角的大小,两平面法向量的夹角与二面角的大小相等或互补,解题时要注意结合题目条件进一步确定二面角的大小.,2-1如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,底面abcd是菱形,ab=2,bad=60.(1)求证:bd平面pac;(2)若pa=ab,求pb与ac所成角的余弦值;(3)当平面pbc与平面pdc垂直时,求pa的长.,解析(1)证明:因为四边形abcd是菱形,所以acbd.因为pa平面abcd,所以pabd.又因为acpa=a,所以bd平面pac.(2)设acbd=o.因为bad=60,pa=a