2016年河南省八市重点高考数学三模试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年河南省八市重点高中高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（每题 5 分） 1定义 A B=x|x A 或 x B，但 xAB已知 M=y|y=2|x|， N=x| 2，则M N=（ ） A 0， 1） （ 2， +） B（ ， 1， 2 C ， 1） （ 2， +） D 1，2） 2若复数 z 满足（ 1+2i） z=|2 i|，则 （ ） A 1+2i B （ 1 2i） C （ 1+2i） D （ 1 2i） 3已知命题 p： x （ 0， +）， x ，命题 q： x 0， +）， x，则下列结论正确的是（ ） A p q 是真命题 B p q 是真命题 C q 是假命题 D p q 是真命题 4如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） A 3+ B 2+ C 2+ D 3+ 5已知 O 为 直角坐标原点，点 A（ 2， 3），点 P 为平面区域 （ m 0）内的一动点，若 的最小值为 6，则 m=（ ） A 1 B C D 6执行如图所示的程序框图，则输出的 k 为（ ） 第 2 页（共 24 页） A 3 B 4 C 5 D 6 7已知函数 f（ x） =x+m）的图象与 g（ x）的图象关于 x+y=0 对称，且 g（ 0） +g（ 1，则 m=（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 8已知数列 a 0 且 a 1）是首项为 2，公差为 1 的等差数列，若数列 递增数列，且满足 an=实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 2， +） C（ ， 1） （ 1， +） D（ 0， ） （ 1， +） 9已知 双曲线 C： =1（ b 0）的左、右焦点，点 M 是双曲线 C 左支上的一点，直线 直双曲线的一条渐近线于点 N，且 N 为线段 中点，则 b=（ ） A B 2 C D 3 10在 ， 0，点 O 是 在平面内一点，且 | |=1， =1，= ，则 | |的最小值为（ ） A B C D 3 11已知三棱柱 有棱长为都为 2，顶点 底面 的射影是 四面体 共部分的体积为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =（ 3x+1） +k 2），若存在唯一整数 m，使 f（ m） 0，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B ， 2） C（ ， D 2， ） 二、填空题（每题 5 分） 13直线 y=x 与抛物线 y=2 围成的图形面积为 _ 第 3 页（共 24 页） 14某校运动会上高一（ 1）班 7 名运动员报名参加 4 项比赛，每个项目至少有一人参加且每人只能报一个项目，其中 A、 B 两名运动员报同一项目，则不同的报名种数共有种 _ 15已知正项数列 ，（ ） =1， a2= _ 16已知 O 是锐角 外心， B=30，若 + = ，则 =_ 三、解答题 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 （ 1）求 A； （ 2）若 a=4，求 积的最大值 18设 A 市 120 急救中心与 B 小区之间开 120 急救车所用时间为 X 分钟（单程），所用时间只与道路通畅状况有关，取容量为 50 的样本进行统计，如表： X（分钟） 25 30 35 40 频数 6 19 15 10 （ 1）求 X 的分布列与数学期望； （ 2）若 A 市 120 急救中心接到来自 B 小区的急救电话后准备接病人进行救护，若从小区接病人上急救车大约需要 5 分钟时间，求急救车从急救车中心出发接上病人返回到急救中心不超过 75 分钟的概率 19如图，在四棱锥 P ，平面 平面 等边三角形，四边形 平行四边形， 20， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 A C 的余弦值 20已知抛物线 p 0）的焦点为 F，点 F与 F 关于 x 轴对称，直线 l： y=2 与抛物线 交于 A， B 两点，与 y 轴相交于 M 点，且 = 5 （ 1）求抛物线 方程； （ 2）若以 F， F 为焦点的椭圆 点（ ， ） 求椭圆 方程； 过点 F 的直线与椭圆 交于 P， Q 两点，且 =2 ，求 | + |的值 21已知 f（ x） =） 2（ m 0） （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）若 m 0， g（ x） =f（ x） + 存在两个极值点 g（ +g（ 0，求 第 4 页（共 24 页） 选做题（选一题）选修 4何体证明选讲 22如图， 半径为 1 的 O 的切线， A 为切点，圆心 O 在割线 ，割线 ， E， （ 1）求证： D=E； （ 2）若 面积 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 极坐标方程为 2（ 4 （ 1）求曲线 曲线 普通方程； （ 2）若 A 为曲线 任意一点， B 为曲线 任意一点，求 |最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =2|x+a| |x 1|（ a 0） （ 1）若函数 f（ x）与 x 轴 围成的三角形面积的最小值为 4，求实数 a 的取值范围； （ 2）对任意的 x R 都有 f（ x） +2 0，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 24 页） 2016 年河南省八市重点高中高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分） 1定义 A B=x|x A 或 x B，但 xAB已知 M=y|y=2|x|， N=x| 2，则M N=（ ） A 0， 1） （ 2， +） B（ ， 1， 2 C ， 1） （ 2， +） D 1，2） 【考点】 子集与交集、并集运算的转换 【分析】 利用交、并、补集的混合运算求解 【解答】 解： M=y|y=2|x|=（ 0， +）， N=x| 2=（ ， （ 2， +）， A B=x|x A 或 x B，但 xAB， M N=（ ， 1， 2 故选： B 2若复数 z 满足（ 1+2i） z=|2 i|，则 （ ） A 1+2i B （ 1 2i） C （ 1+2i） D （ 1 2i） 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的除法运算法则化简求解即可 【解答】 解：复数 z 满足（ 1+2i） z=|2 i|， 可得 z= = = （ 1 2i） 则 = （ 1+2i） 故选： C 3已知命题 p： x （ 0， +）， x ，命题 q： x 0， +）， x，则下列结论正确的是（ ） A p q 是真命题 B p q 是真命题 C q 是假命题 D p q 是真命题 【考点】 复合命题的真假 【分析】 结合函数的单调性分别判断 p， q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可 【解答】 解：令 f（ x） =x 1，则 f（ x） =1 = ， 则 x （ 0， 1）时， f（ x） 0， f（ x）递减， x （ 1， +）时， f（ x） 0， f（ x）递增， f（ x）的最小值是 f（ 1） =0， 故 x ，故命题 p 是真命题； 第 6 页（共 24 页） 令 g（ x） =x， g（ x） =1 0， g（ x）递减， g（ x）的最大值是 0， 故 x，故命题 q 是假命题； 故 p q 是真命题， 故选： D 4如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） A 3+ B 2+ C 2+ D 3+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出线面位置关系，由勾股定理和三角形的面积公式求出各个面的面积，并加起来求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，直观图如图 所示： 且 D 是 中点， 平面 D=D=1， 勾股定理得， B=， 由俯视图得， C= ， 几何体的表面积 S= + =2+ ， 故选： B 5已知 O 为直角坐标原点，点 A（ 2， 3），点 P 为平面区域 （ m 0）内的一动点，若 的最小值为 6，则 m=（ ） 第 7 页（共 24 页） A 1 B C D 【考点】 简单线性规划；平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量数量积的公式求出 =2x+3y，结合 的最小值为 6，得到 y= x 2，作出对应的直线方程，求出交点坐标进行求解即可 【解答】 解： =2x+3y， 设 z=2x+3y，得 y= ， 的最小值为 6， 此时 y= x 2， 作出 y= x 2 则 y= x 2 与 x= 1 相交为 B 时， 此时 B（ 1， ），此时 B 也在 y=m（ x 2）上， 则 3m= ，得 m= ， 故选： C 6执行如图所示的程序框图，则输出的 k 为（ ） 第 8 页（共 24 页） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 a， k 的值，当 a= 时，满足条件 |a 出循环，输出 k 的值为 4 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a=1， k=1 不满足条件 |a 行循环体， a= ， k=2 不满足条件 |a 行循环体， a= ， k=3 不满足条 件 |a 行循环体， a= ， k=4 满足条件 |a 出循环，输出 k 的值为 4 故选： B 7已知函数 f（ x） =x+m）的图象与 g（ x）的图象关于 x+y=0 对称，且 g（ 0） +g（ 1，则 m=（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 函数的图象 【分析】 根据函数的对称性求出函数 g（ x）的解析式，利用方程关系进行求解即可 【解答】 解： 函数 y=f（ x） =x+m）的图象与 g（ x）的图象关于 x+y=0 对称， x= y+m）， 即 y+m=e x， 即 y=m e x， 则 g（ x） =m e x， g（ 0） +g（ =1， m e0+m e（ =1 即 m 1+m 2=1， 则 2m=4， m=2， 第 9 页（共 24 页） 故选： C 8已知数列 a 0 且 a 1）是首项为 2，公差为 1 的等差数列，若数列 递增数列，且满足 an=实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 2， +） C（ ， 1） （ 1， +） D（ 0， ） （ 1， +） 【考点】 等差数列的通项公式；对数的运算性质 【分析】 由题意求出 ，得到 an=（ n+1） 由数列 递增数列，可得 （ n+1） n 2）然后转化为关于 a 的不等式组结合恒成立问题求得答案 【解答】 解： 数列 a 0 且 a 1）是首项为 2，公差为 1 的等差数列， +1 （ n 1） =n+1， ， 由 an=（ n+1） 递增数列， 且 （ n 2）， 可得 （ n+1） n 2） 由 a 0 且 a 1，得 （ n+1） n 2） ，或 由 得， 0 ； 由 得， a 1 综上，实数 a 的取值范围是（ 0， ） （ 1， +） 故选： D 9已知 双曲线 C： =1（ b 0）的左、右焦点，点 M 是双曲线 C 左支上的一点，直线 直双曲线的一条渐近线于点 N，且 N 为线段 中点，则 b=（ ） A B 2 C D 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a=1，设 c， 0），渐近线方程为 y=用点到直线的距离公式可得 渐近线的距离为 b，再由中位线定理可得 |2|2a，运用双曲线的定义可得 | |2a，即可得到 b=2 【解答】 解：双曲线 C： =1 的 a=1， c= ， 设 c， 0），渐近线方程为 y= 第 10 页（共 24 页） 渐近线的距离为 =b， 由题意可得 |2b， 即有 | =a， 由中位线定理可得 |2|2a， 由双曲线的定义可得 | |2a， 即为 2b 2a=2a，即 b=2a=2 故选： B 10在 ， 0，点 O 是 在平面内一点，且 | |=1， =1，= ，则 | |的最小值为（ ） A B C D 3 【考 点】 平面向量数量积的运算 【分析】 以 B 为原点建立坐标系，设 A（ x， y）， O（ 根据 =1， = 列方程得出 x， y 与 的关系，求出 | |2 关于 的函数 f（ ），利用导数求出f（ ）的最小值 【解答】 解：以 B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，设 C（ x， 0）， A（ x， y） | |=1， O 在单位圆 B 上设 O（ 则 =（ =（ x， y）， =1， = ， ， ， =（ 2x+y+ | |2=4x2+=4x2+= 令 f（ ） = 则 f（ ） = 令 f（ ） =0 得 4 ， ） = = | |的最小值为 = 故选： A 第 11 页（共 24 页） 11已知三棱柱 有棱长为都为 2，顶点 底面 的射影是 四面体 共部分的体积为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 作出图形，找到三个棱锥的公共部分，利用相似三角形得出公共部分棱锥的高，代入体积公式计算 【解答】 解：设菱形 中心为 E，菱形 中心为 F，连结 点为P，则四面体 共部分为三棱锥 P 取底面 中心 O，连结 平面 延长 D，则 D 为 中点， C=， O 是正三角形 中心， = ， = C， ， 又 E 是 中点， P 到底面 距离 h= = = = 故选 A 第 12 页（共 24 页） 12已知函数 f（ x） =（ 3x+1） +k 2），若存在唯一整数 m，使 f（ m） 0，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B ， 2） C（ ， D 2， ） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 根据不等式的关系转化为两个函数的大小关系，构造函数 g（ x） =h（ x） =（ 3x+1） ，由题意得 g（ x） h（ x）的整数解只有 1 个，求出 h（ x）、判断出 h（ x）的单调性画出图象，利用图象和条件列出不等式组，求出实数 k 的取值范围 【解答】 解：由 f（ x） 0 得（ 3x+1） +0， 即 （ 3x+1） ， 设 g（ x） =h（ x） =（ 3x+1） ， h（ x） =（ 3+（ 3x+1） ） =（ 3x+4） ， 由 h（ x） 0 得：（ 3x+4） 0，即 x ， 由 h（ x） 0 得：（ 3x+4） 0，即 x ， 即当 x= 时，函数 h（ x）取得极大值， 由题意知，存在唯一整数 m，使 f（ m） 0 即 g（ m） h（ m）， 当 k 0 时，满足 g（ x） h（ x）的整数解超过 1 个，不满足条件 当 2 k 0 时 ，要使 g（ x） h（ x）的整数解只有 1 个， 则 ，即 ，解得 2 k ， 所以实数 k 的取值范围是 2， ）， 故选： D 第 13 页（共 24 页） 二、填空题（每题 5 分） 13直线 y=x 与抛物线 y=2 围成的图形面积为 【考点】 定积分 【分析】 求两个曲线的交点，利用定积分的几何意义求区域面积 【解答】 解：将 y=x，代入 y=2 x=2 得 x= 2 或 x=1， y= 2， y=1， 直线 y=x 和抛物线 y=2 围成封闭图形的面积如图所示， S= （ 2 x 2x ） | =（ 2 ）（ 4+ 2） = ， 故答案为： 14某校运动会上高一（ 1）班 7 名运动员报名参加 4 项比赛，每个项目至少有一人参加且每人只能报 一个项目，其中 A、 B 两名运动员报同一项目，则不同的报名种数共有种 1560 【考点】 计数原理的应用 【分析】 依题意，分（ 4， 1， 1， 1）；（ 3， 2， 1， 1），（ 2， 2， 2， 1）三组，先分组，后排列，最后求和即可 【解答】 解：依题意， 7 名同学可分四组：第一组（ 4， 1， 1， 1），从不含 A， B 中选 2 名和 A，报同一个项目，剩下的 3 人报 3 个项目，故有 40 种， 第二组（ 3， 2， 1， 1）， A， B 单独一组，故有 40 种，再选 1 人和 A， B 一组，故有 20 种，共计 240+720=960 种， 第 14 页（共 24 页） 第三组（ 2， 2， 2， 1）， A， B 单独一组，故有 60 种， 根据分类计数原理，可得 240+960+360=1560 种， 故答案为： 1560 种 15已知正项数列 ，（ ） =1， a2= + 【考点】 数列递推式 【分析】 正项数列 ，（ ） =1， a2= n 取值，利用递推关系即可得出 【解答】 解： 正项数列 ，（ ） =1， a2= 3，（ ） ，（ ） ，（ ） ，（ ） ，（ ） ，（ ） ，（ ） ，（ ） ，（ ） ， ， ， ， ， a2=a4=a8= 则 + = + 故答案为： + 16已知 O 是锐角 外心， B=30，若 + = ， 则 = 1 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 作出图形，根据三角形外心的定义以及向量数量积的计算公式及三角函数的定义即可得出 ，这样在 的两边同乘以 ，便可得出 ，可设 外接圆半径为 R，从而由正弦定理便可得到 ，再根据正弦定理 便可得出 2A+C） =，而 A+C=150，从而便可得出 的值 【解答】 解：如图，由 得： ； ； 即 = ； 设 接圆半径为 R，则 ； 在 由正弦定理得： ； ； 第 15 页（共 24 页） ； 2R； 2C+A） =2； =1 故答案为： 1 三、解答题 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 （ 1）求 A； （ 2）若 a=4，求 积的最大值 【考点】 余弦定理的应用 【分析】 （ 1）利用二倍角公式，结合差、和角的余弦公式，即可求 A； （ 2）若 a=4，利用余弦定理，结合基本不等式，三角形的面积公式，即可求 积的最大值 【解答】 解：（ 1）在 ， ， B C） ， B+C） = ， ， 0 A ， A= ； （ 2）由余弦定理可得 16=b2+ （ 2 ） 且仅当 b=c 时取等号， 16+8 ， S = 4（ +1）， 积的最大值为 4（ +1） 18设 A 市 120 急 救中心与 B 小区之间开 120 急救车所用时间为 X 分钟（单程），所用时间只与道路通畅状况有关，取容量为 50 的样本进行统计，如表： X（分钟） 25 30 35 40 频数 6 19 15 10 （ 1）求 X 的分布列与数学期望； 第 16 页（共 24 页） （ 2）若 A 市 120 急救中心接到来自 B 小区的急救电话后准备接病人进行救护，若从小区接病人上急救车大约需要 5 分钟时间，求急救车从急救车中心出发接上病人返回到急救中心不超过 75 分钟的概率 【考点】 几何概型 【分析】 （ 1）由频率估计概率 X 的分布列，由分布列求期望值； （ 2）设 别表 示往返所需时间，明确事件是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式解答 【解答】 解：（ 1）由频率估计概率 X 的分布列， X（分钟） 25 30 35 40 P 以 5 0 5 0 钟） （ 2）设 别表示往返所需时间， 取值相互独立且与 X 的分布列相同， 设事件 M“表示病人接到急救中心所需时间不超过 75 分钟 “，由于从小区接病人上急救车大约需要 5 分钟，所以事件 M 对应 “接病人在途中所用时间不 超过 70 分钟 ”， 即 P（ ） =P（ 2 70） =5， 0） +P（ 0， 5） +P（ 0， 0） =2+ 所以 P（ M） =1 P（ ） =1 19如图，在四棱锥 P ，平面 平面 等边三角形，四边形 平行四边形， 20， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求二面角 A C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）令 ，求出 ，从而 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2）以 D 为坐标原点， x 轴， y 轴，过 D 作垂直于平面 直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A C 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）在平行四边形 ，令 ， 则 = ， 在 ， 又平面 平面 平面 面 平面 平面 解：（ 2）由（ 1）得 D 为坐标原点， x 轴， y 轴， 过 D 作垂直于平面 直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 第 17 页（共 24 页） 令 ，则 A（ 1， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， C（ 1， ， 0）， P（ ， 0， ）， =（ 1， ， 0）， =（ ）， =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ ）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， ，取 b=1，得 =（ 0， 1， 2）， = = = ， 由图形知二面角 A C 的平面角为钝角， 二面角 A C 的余弦值为 20已知抛物线 p 0）的焦点为 F，点 F与 F 关于 x 轴对称，直线 l： y=2 与抛物线 交于 A， B 两点，与 y 轴相交于 M 点，且 = 5 （ 1）求抛物线 方程； （ 2）若以 F， F 为焦点的椭圆 点（ ， ） 求椭圆 方程； 过点 F 的直线与椭圆 交于 P， Q 两点，且 =2 ，求 | + |的值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）用 p 表示出 ， 的坐标，代入向量的数量积公式列方程解出 p 即可； （ 2） 使用待 定系数法列方程解出椭圆方程； 设直线 方程，联立方程组得出 P， Q 的坐标关系，根据 =2 列方程解出直线 k，求出 中点 N，则 | + |=|2 | 【解答】 解：（ 1） F（ 0， ）， F（ 0， ） A（ 2 ， 2）， B（ 2 ， 2） =（ 2 ， 2+ ）， =（ 2 ， 2 ） 第 18 页（共 24 页） = 4p+4 = 5，解得 p=2 抛物线 方程为 y （ 2） 由（ 1）得 F（ 0， 1）， F（ 0， 1）设椭圆 方程为 （ a b 0） 则 ，解得 椭圆 方程为： 设过点 F 的直线方程为： y=，设 P（ Q（ 联立方程组 ，消元得：（ ） 1=0， x1+ ， x1 =（ 1 =（ 1）， ， ， 2 2 = 解得 即 k= 设 中点为 N（ ， ）， 则当 k= 时， N（ ， ）， =（ ， ） | + |=|2 |=2 = 同理可得：当 k= ， | |= | |= 21已知 f（ x） =） 2（ m 0） （ 1）讨论 f（ x）的单调性； 第 19 页（共 24 页） （ 2）若 m 0， g（ x） =f（ x） + 存在两个极值点 g（ +g（ 0，求 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出 函数的导数，通过讨论 m 的范围，确定函数的单调性； （ 2）求出 g（ x）的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出 m 的范围即可 【解答】 解：（ 1）由已知得 0， f（ x） = ， 若 m 0 时，由 0，得： x ，恒有 f（ x） 0， f（ x）在（ ， +）递增； 若 m 0，由 0，得： x ，恒有 f（ x） 0， f（ x）在（ ， ）递减； 综上， m 0 时， f（ x）在（ ， +）递增， m 0 时， f（ x）在（ ， ）递减； （ 2） g（ x） =） + 2，（ m 0）， g（ x） = ， 令 h（ x） =m 4， m 1 时， h（ x） 0， g（ x） 0， g（ x）无极值点， 0 m 1 时，令 h（ x） =0，得： 2 或 ， 由 g（ x）的定义域可知 x 且 x 2， 2 且 2 2，解得： m ， g（ x）的两个极值点， 即 2 ， ， 且 x1+， x1，得： g（ +g（ =） + 2+） + 2 =2m 1） 2+ 2， 第 20 页（共 24 页） 令 t=2m 1， F（ t） = 2， 0 m 时， 1 t 0， F（ t） =2 t） + 2， F（ t） = 0， F（ t）在（ 1， 0）递减， F（ t） F（ 1） 0， 即 0 m 时， g（ +g（ 0 成立，符合题意； m 1 时， 0 t 1， F（ t） =2 2， F（ t） = 0， F（ t）在（ 0， 1）递减， F（ t） F（ 1） =0， m 1 时， g（ +g（ 0，不合题意， 综上， m （ 0， ） 选做题（选一题）选修 4何体证明选讲 22如图， 半径为 1 的 O 的切线， A