2016年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x 2 0， x R， B=x|x+1） 1， x Z，则 AB=（ ） A（ 0， 2） B 0， 2 C 0， 2 D 0， 1， 2 2已知复数 z=1+ i，则 =（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 3执行如图的程序框图（ N N*），那么输出的 p 是（ ） A B C D 4离心率为 2 的双曲线 E 的一个焦点到一条渐近线的距离为 1，则 E 的标准方程可以是（ ） A 3 B =1 C 3 D 5已知数列 足： ，且对任意 n， m N*，都有 am+n=am数列 前 =（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 6设点（ x， y）在平面区域 E 内，记事件 A“对任意（ x， y） E，有 2x y 1”，则满足事件 A 发生的概率 P（ A） =1 的平面区域 E 可以是（ ） A B C D 7已知函数 y=f（ x）的图象为如图所示的折线 ） 第 2 页（共 22 页） A 2 B 2 C 1 D 1 8甲、乙、丙 3 名教师安排在 10 月 1 日至 5 日的 5 天中值班，要求每人值班 一天且每天至多安排一人其中甲不在 10 月 1 日值班且丙不在 10 月 5 日值班，则不同的安排方法有（ ）种 A 36 B 39 C 42 D 45 9在三棱锥 P ，底面 等腰三角形， 20， ， 平面 三棱锥 P 外接球的表面积为 8，则该三棱锥的体积为（ ） A B C D 10已知抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 C 交于 A、 B 两点，与 ，若 |3|则 |（ ） A 7 C 8 11某几何体的主视图和左视图如图（ 1），它的俯视图的直观图是矩形 图（ 2），其中 ， ，则该几何体的侧面积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 128 12对于函数 f（ x）， g（ x）满足：对任意 x R，都有 f（ 2x+3） =g（ x），若关于 x 的方程 g（ x） +x=0 只有 5 个根，则这 5 个根之和为（ ） A 5 B 6 C 8 D 9 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1， 3， 5 13如图，在边长为 2 的正六边形 ，则 =_ 14设 为第二象限角，若 ，则 _ 第 3 页（共 22 页） 15在一组样本数据（ （ ，（ 散点图中，若所有样本点（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲线 y=附近波动经计算 1， 3， 1，则实数 b 的值为 _ 16在等差数列 ，首项 ，公差 d=2，若某学生对其中连续 10 项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下 9 项的和为 185，则此连续 10 项的和为 _ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17在 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 2 （ ）求 值； （ ）若 a= ， 上的中线 ，求 面积 18某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，分别测出它们的高度如下（单位： 甲： 19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙： 10 24 26 30 34 37 44 46 47 48 （ ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论； （ ）苗 圃基地分配这 20 株树苗的栽种任务，小王在苗高大于 40 5 株树苗中随机的选种 3 株，记 X 是小王选种的 3 株树苗中苗高大于 45株数，求 X 的分布列与数学期望 19在四棱柱 ，底面 菱形，且 0 （ ）求证：平面 平面 （ ）若 D=2，求平面 平面 成角的大小 20设椭圆 C： =1（ a b 0）的焦点 右焦点 直线 l 与 C 相交于 P、Q 两点，若 周长为短轴长的 2 倍 第 4 页（共 22 页） （ ）求 C 的离心率； （ ）设 l 的斜率为 1，在 C 上是否存在一点 M，使得 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 21设函数 f（ x） =ex+x+1） （ ）当 a=2 时，证明：函数 f（ x）在定义域内单调递增； （ ）当 x 0 时， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第 22、 23、 24 两题中任选一题做答 选修 4何证明选讲 22如图，在正 ，点 D、 E 分别在边 ，且 E 相交于点 P求证： （ ）四点 P、 D、 C、 E 共圆； （ ） 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系中，已知曲线 =1（ 0 a 2），曲线 x2+x y=0，Q 是 的动点， P 是线段 长线上的一点，且 P 满足 |4 （ ）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化 方程为极坐标方程，并求点 P 的轨迹 方程； （ ）设 M、 N 分别是 的动点，若 |最小值为 ，求 a 的值 选修 4等式选讲 24设 a、 b 为正实数，且 + =2 （ 1）求 a2+最小值； （ 2）若（ a b） 2 4（ 3，求 值 第 5 页（共 22 页） 2016 年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 A=x|x 2 0， x R， B=x|x+1） 1， x Z，则 AB=（ ） A（ 0， 2） B 0， 2 C 0， 2 D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别解不等式，再求它们的交集即可 【解答】 解：集合 A=x|x 2 0， x R= 1， 2， x+1） 1= 1 x 9， B=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， AB=0， 1， 2， 故选： D 2已知复数 z=1+ i，则 =（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把复数 z=1+ i 代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果 【解答】 解： 复数 z=1+ i， = = =2， 故选： A 3执行如图的程序框图（ N N*），那么输出的 p 是（ ） 第 6 页（共 22 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功 能是利用循环结构计算并输出变量 p 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体， k=1， p=足继续循环的条件， k=2； 第二次执行循环体， k=2， p=足继续循环的条件， k=3； 第三次执行循环体， k=3， p=足继续循环的条件， k=4； 第 N 次执行循环体， k=N， p=足继续循环的条件， k=N+1； 第 N+1 次执行循环体， k=N+1， p=N+1，不满足继续循环的条件， 故输出的 p 值为 N+1， 故选： C 4离心率为 2 的双曲线 E 的一个焦点到一条渐近线的距离为 1，则 E 的标准方程可以是（ ） A 3 B =1 C 3 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 对照选项，可设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得 a， b，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：可设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 由题意可得 e= =2， 第 7 页（共 22 页） 一个焦点（ c， 0）到一条渐近线 y= x 的距离为 1， 可得 =b=1， 又 c2=，解得 a= ， 即有双曲线的方程为 故选： A 5已知数列 足： ，且对任意 n， m N*，都有 am+n=am数列 前 =（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 数列的求和 【分析】 通过在 am+n=am令 m=1，结合 数列 首项、公比均为 2 的等比数列，进而计算可得结论 【解答】 解： 对任意 n， m N*，都有 am+n=am 对任意 都有 =a1 又 ， =2 数列 首项、公比均为 2 的等比数列， =2（ 2n 1）， = =5， 故选： D 6设点（ x， y）在平面区域 E 内，记事件 A“对任意（ x， y） E，有 2x y 1”，则满足事件 A 发生的概率 P（ A） =1 的平 面区域 E 可以是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据条件若事件 A 发生的概率 P（ A） =1，则等价为面区域 E 都在直线 2x y=1的下方区域即可 【解答】 解：若满足事件 A 发生的概率 P（ A） =1， 则 2x y 1 对应的平面区域在平面区域 E 内， A平面区域 E 不都在直 线 2x y=1 的下方区域，不满足条件 第 8 页（共 22 页） B平面区域 E 都在直线 2x y=1 的下方区域，满足条件 C 平面区域 E 不都在直线 2x y=1 的下方区域，不满足条件 D平面区域 E 不都在直线 2x y=1 的下方区域，不满足条件 第 9 页（共 22 页） 故选： B 7已知函数 y=f（ x）的图象为如图所示 的折线 ） A 2 B 2 C 1 D 1 【考点】 定积分 【分析】 先根据图象求出 f（ x）的表达式，在分段求出定积分 【解答】 解：当 0 x 1， f（ x） =x 1， 当 1 x 0 时， f（ x） = x 1， 则 （ x+1）（ x 1） （ x+1）（ x 1） （ 1）（ x+1） ） | （ ） | = 1+（ +11） = 1， 故选： D 8甲、乙、丙 3 名教师安排在 10 月 1 日至 5 日的 5 天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人其中甲不在 10 月 1 日值班且丙不在 10 月 5 日值班，则不同的安排方法有（ ）种 A 36 B 39 C 42 D 45 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据甲，可以分两类，第一类，甲在 10 月 5 日值班，第二类，甲不在 10 月 5 日值班，根据分类计数原理可得答案 【解答】 解：第一类，甲在 10 月 5 日值班，则乙丙在 剩下的 4 天各选择一天，故有 2种， 第二类，甲不在 10 月 5 日值班，则甲再 10 月 2， 3， 4 天选择一天，丙在除了 10 月 5 日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田， 故有 3 3 3=27 种， 根据分类计数原理可得，共有 12+27=39 种， 第 10 页（共 22 页） 故选： B 9在三棱锥 P ，底面 等腰三角形， 20， ， 平面 三棱锥 P 外接球的表面积为 8，则该三棱锥的体积为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题意画出图形，设出底面三角形的外心 G，找出三棱锥 P 外接球的球心 O，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求 【解答】 解：如图， 取 点为 E，连接 底面 等腰三角形， 20， ， 外心 G 在 ，设为 G，取 点 F，连接 在 ，由 ， 0，得 = ， 又在 ，得 ， 过 G 作 平行线与 中垂线 于 O， 则 O 为三棱锥 P 外接球的球心，即 R= 由 4，得 R= ， 平面 在 ，求得 ， 三棱锥 P 高 ， 则三棱锥的体积为 V= 故选： B 10已知抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 C 交于 A、 B 两点，与 ，若 |3|则 |（ ） A 7 C 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直 线 方程为： y=k（ x 2），与抛物线方程联立化为： 4） x+4，由 |3|可得 =3（ ），再利用根与系数的关系可得 k，即可得出 第 11 页（共 22 页） 【解答】 解：设直线 方程为： y=k（ x 2）， 联立 ，化为： 4） x+4， xA+， |3| =3（ ）， 联立解得： k= P | =8 故选： D 11某几何体的主视图和左视图如图（ 1），它的俯视图的直观图是矩形 图（ 2），其中 ， ，则该几何体的侧面积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 128 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由 已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱， 它的俯视图的直观图是矩形 ， ， 它的俯视图的直观图面积为 12， 它的俯视图的面积为： 24 ， 它的俯视图 的俯视图是边长为： 6 的菱形， 棱柱的高为 4 故该几何体的侧面积为： 4 6 4=96， 故选： C 12对于函数 f（ x）， g（ x）满足：对任意 x R，都有 f（ 2x+3） =g（ x），若关于 x 的方程 g（ x） +x=0 只有 5 个根，则这 5 个根之和为（ ） A 5 B 6 C 8 D 9 第 12 页（共 22 页） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据条件，先判断 g（ x）关于 x=1 对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可 【解答】 解： y=2x+3 的对称轴为 x=1， 由 f（ 2x+3） =g（ x）得 g（ x）关于 x=1 对称， 由 g（ x） +x=0 得 g（ x） = x， 作出函数 y= x 的图象， 若程 g（ x） +x=0 只有 5 个根， 则其中一个根 x=1，其余四个根两两关于 x=1 对称， 则关于对称的根分别为 则 ， ， 则 x1+， x3+， 则这 5 个根之和为 2+2+1=5， 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1， 3， 5 13如图，在边长为 2 的正六边形 ，则 = 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据图形， ，而 ，且 ，这样即可求出 的值，即得出 的值 【解答】 解： = =22 2 故答案为： 2 第 13 页（共 22 页） 14设 为第二象限角，若 ，则 【考点】 两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 + ）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值 【解答】 解： 为第二象限角，若 0， + 为第三象 限角， 由 = ， + ） 0， + ） 0， +=1， 求得 + ） = ， 则 + ） = ， 故答案为： 15在一组样本数据（ （ ，（ 散点图中，若所有样本点（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲线 y=附近波动经计算 1， 3， 1，则实数 b 的值为 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数 b 的值 【解答】 解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线 y=的方程， 即 y1=b ， y2=b ， ， y6=b ， y1+y6=b（ + + ） 6； 又 3， 1， 13=b 21 6 ， 解得 b= 故答案为： 第 14 页（共 22 页） 16在等差数列 ，首项 ，公差 d=2，若某学生对其中连续 10 项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下 9 项的和为 185，则此连续 10 项的和为 200 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设 9 项为 ， ， ， an+m 1， an+m+1，an+m+2， ， ，从而可得 10（ 2n+1） +90 2（ m+n） 1=185，从而求得 【解答】 解：若遗漏的是 10 项中的第一项或最后一项， 则 185=9a 中 ，故 a 中 =20 （舍去）； 故设 9 项为 ， ， ， an+m 1， an+m+1， an+m+2， ， ， 其中（ 0 m 9， m N*） 故 10 2 am+n=185， 即 10（ 2n+1） +90 2（ m+n） 1=185， 故 m=9n 43， 故 n=5， m=2； 故 10 2=110+90=200； 故答案为： 200 三、解答题：解答须 写出文字说明、证明过程和演算步骤 17在 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 2 （ ）求 值； （ ）若 a= ， 上的中线 ，求 面积 【考点】 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得 2，由 0，可得 ，利用同角三角函数基本关系式即可求 值 （ ）由 ，两边平方得 b 3=0，解得 b，由余弦定理可解得 c 的值，即可求得 用三角形面积公式即可求 面积 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）因为 A+C） = 又已知 2， 所以 2， 因为 0，所以 2， 于是 ， 所以 （ ）因为 ， 两边平方得 b 3=0，解得 b=1， 在 ，由余弦定理得 c2=a2+2，所以 c=2， 由此可知 直角三角形，故 ， 可得： 面积 第 15 页（共 22 页） 18某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地 种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，分别测出它们的高度如下（单位： 甲： 19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙： 10 24 26 30 34 37 44 46 47 48 （ ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论； （ ）苗圃基地分配这 20 株树苗的栽种任务，小王在苗高大于 40 5 株树苗中随机的选种 3 株，记 X 是小王选种的 3 株树苗中苗高大于 45株数，求 X 的分布列与 数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由已知作出两组数据茎叶图，利用茎叶图能求出结果 （ ）由题意得 X=1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ）由已知作出两组数据茎叶图： 由茎叶图得到： （ 1）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度 ） （ 2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定） （ 3）甲品种树苗的高度的中位数为 27品种树苗的高度的中位数为 （ 4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间 （均值附近）乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀（注：以上四点答对任意两点均给分） （ ）由题意得 X=1， 2， 3， ， ， 第 16 页（共 22 页） ， X 的分布列为： X 1 2 3 P = 19在四棱柱 ，底面 菱形，且 0 （ ） 求证：平面 平面 （ ）若 D=2，求平面 平面 成角的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 为正三角形， 此能证明平面 平面 （ ）以 O 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 平面 成角的大小 【解答】 证明：（ ）因为 B= 0， 所以 为正三角形， 于是 1D 设 交点为 O，则 又 菱形，所以 而 C=O，所以 平面 而 面 平面 平面 解：（ ）由 1D 及 ，知 又由 D， B， D，得 0 于是 ，从而 合 底面 如图，以 O 为原点， 在直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 1， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， D（ 0， 1， 0）， 0， 0， 1）， ， 第 17 页（共 22 页） 设平面 一个法向量为 ，由 得 ， 令 x=1，得 平面 一个法向量为 ，设平面 平面 成角为 ， 则 解得 =45， 故平面 平面 成角的大小为 45 20设椭圆 C： =1（ a b 0）的焦点 右焦点 直线 l 与 C 相交于 P、Q 两点，若 周长为短轴长的 2 倍 （ ）求 C 的离心率； （ ）设 l 的斜率为 1，在 C 上是否存在一点 M，使得 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆的焦点 右焦点 直线 l 与 C 相交于 P、 Q 两点， 倍，得到 ，由此能求出椭圆 C 的离心率 （ ）设椭圆方程为 ，直线的方程为 y=x c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点 M，使 成立 【解答 】 解：（ ） 椭圆 C： =1（ a b 0）的焦点 右焦点 直线l 与 C 相交于 P、 Q 两点， 周长为短轴长的 2 倍， 周长为 4a 依题意知 ，即 第 18 页（共 22 页） C 的离心率 （ ）设椭圆方程为 ，直线的方程为 y=x c， 代入椭圆方程得 设 P（ Q（ 则 ， 设 M（ 则 由 得 代入 得 因为 ， ， 所以 而 从而 式不成立 故不存在点 M，使 成立 21设函数 f（ x） =ex+x+1） （ ）当 a=2 时，证明：函数 f（ x）在定义域内单调 递增； （ ）当 x 0 时， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）当 a=2 时， f（ x）的定义域为（ 1， +）， ，记，则 ，分类讨论，即可证明：函数 f（ x）在定义域内单调递增； （ ）由（ ）知 f（ x）在（ 0， +）上递增，分类讨论，利用当 x 0 时， f（ x） 实数 a 的取值范围 【解答】 （ ）证明： f（ x）的定义域为（ 1， +）， 记 ，则 当 x 0 时， 1， ，此时 g（ x） 0 当 x 0 时， 1， ，此时 g（ x 0 第 19 页（共 22 页） 所以 f（ x）在（ 1， 0）上递减 ，在（ 0， +）上递增， 故 f（ x） f（ 0） =0，从而 f（ x）在（ 1， +）上递增 （ ）解： ，由（ ）知 f（ x）在（ 0， +）上递增， 所以当 a 2 时， f（ x） f（ 0） =2 a 0，所以 f（ x）在 0， +）上递增 故 f（ x） f（ 0） =1 成立 当 a 2 时，记 （ x） =f（ x） 记 ，则 当 x 1 时， 显然 0 x 1 时， h（ x） 0，从而 （ x）在 0， +）上递增 又 （ 0） =2 a 0，则存在 （ 0， +），使得 （ =0 所以 （ x）在（ 0， 递减，所以当 x （ 0， ， （ x） （ =0， 即 f（ x） 符合题意 综上，实数 a 的取值范围是 a 2 请考生在第 22、 23、 24 两题中任选一题做答 选修 4何证明选讲 22如图，在正 ，点 D、 E 分别在边 ，且 E 相交于点 P求证： （ ）四点 P、 D、 C、 E 共圆； （ ） 【考点】 圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （ I）由已