2016年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（文）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 P=x|2x 0， Q=x|1 x 2，则（ Q=（ ） A 0， 1） B（ 0， 2 C（ 1， 2） D 1， 2 2设 i 是虚数单位，复数 z= ，则 |z|=（ ） A 1 B C D 2 3在等差数列 ， ，则公差 d 等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 4下列函数中，在（ 0， +）内单调递增，并且是偶函数的是（ ） A y=（ x 1） 2 B y= C y=lg|x|+2 D y=2x 5 “x 1”是 “ x+2） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6曲线 y=3x+2 在点 的切线方程为 4x y 1=0，则点 坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 1） C（ 1， 3） D（ 1， 0） 7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积为 V，并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体，则 V， n 的值是（ ） A V=32， n=2 B C D V=16， n=4 8若执行如图的程序框图，则输出的 k 值是（ ） 第 2 页（共 19 页） A 4 B 5 C 6 D 7 9正三棱柱的底面边长为 ，高为 2，则这个三棱柱的外接球的表面为（ ） A 4 B 8 C D 8 10钝角三角形 面积是 ， ， ，则 ） A 5 B C 2 D 1 11如图， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若 等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A 4 B C D 12函数 f（ x） =x 1 2所有零点之和等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上） 13在平行四边形 ，对角线 于点 O， + = ，则 =_ 14设 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是 _ 第 3 页（共 19 页） 15若等比数列 前项 n 和为 =5，则 =_ 16设 椭圆 =1 的左右焦点，点 P 在椭圆上半部分且满足 x 轴，则 角平分线所在的直线方程为 _ 三解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知向量 （ x R）函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）若函数 y=f（ x）的图象向右平移 个单位，再向 上平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象，求 y=g（ x）在 0， 上的最大值 18如图，四棱锥 P ，底面 平行四边形， 底面 M 是棱 B=， （ ）求证： 平面 （ ） N 是棱 一点，且三棱锥 A 体积等于四棱锥 P 积的 ，求的值 19某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和 6 名女生，这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定： （ 1）成绩在 180 分以上者到甲部门工作， 180 分以下者到乙部门工作；（ 2）只有成绩不低于 190 分的才能担任助理工作 （ ）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取 8 人，甲部门中至多有多少女生入选？ （ ）若 公司选 2 人担任助理工作，估计几名女生入选的可能性最大？并说明理由 20已知过抛物线 C： p 0）的焦点 F，斜率为 的直线交抛物线于 A（ B（ 点，且 |6 第 4 页（共 19 页） （ ）求该抛物线 C 的方程； （ ）过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于不同于坐标原点 O 的两点 A， B，求 积的最小值 21已知 f（ x） =g（ x） =x3+x+2 （ ）求函数 f（ x）的极值； （ ）对一切的 x （ 0， +）时， 2f（ x） g（ x） +2 恒成立，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22如图， A， B， C， D 四点在同一圆上， 延长线交于点 E，点 F 在 延长线上 （ ）若 ，求 的值； （ ）若 A明： 选修 4标系与参数方程 23己知圆 参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 极坐标方程为 =2 ） （ ）将圆 参数方程他为普通方程，将圆 极坐标方程化为直角坐标方程； （ ）圆 否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x|， g（ x） = |x 4|+m （ ）解关于 x 的不等式 gf（ x） +2 m 0； （ ）若函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）图象的上方，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 P=x|2x 0， Q=x|1 x 2，则（ Q=（ ） A 0， 1） B（ 0， 2 C（ 1， 2） D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 P 中不等式的解集确定出 P，求出 P 补集与 Q 的交集即可 【解答】 解：由 P 中不等式变形得： x（ x 2） 0， 解得： x 0 或 x 2，即 P=（ ， 0 2， +）， 0， 2）， Q=（ 1， 2， （ Q=（ 1， 2）， 故选： C 2设 i 是虚数单位，复数 z= ，则 |z|=（ ） A 1 B C D 2 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解： z= = =i（ 1 i） =i+1， 则 |z|= 故选： B 3在等差数列 ， ，则公差 d 等于（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 等差数列的通项 公式 【分析】 在等差数列中，直接利用 求得公差 【解答】 解：在等差数列 ，由 ， 得 2d=，即 d=3 故选： B 4下列函数中，在（ 0， +）内单调递增，并且是偶函数的是（ ） A y=（ x 1） 2 B y= C y=lg|x|+2 D y=2x 【考点】 函数的单调性及单调区间 【分析】 根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判定即可 【解答】 解： A y=（ x 1） 2 的对称轴为 x=1，为非奇非偶函数，不满足条件 B y= 是偶函数，但在（ 0， +）内不是单调函数，不满足条件 第 6 页（共 19 页） C y=lg|x|+2 为偶函数，在（ 0， +）内单调递增，满足条件， D y=2x，（ 0， +）内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件 故选： C 5 “x 1”是 “ x+2） 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【 分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可 【解答】 解：由 x+2） 0 得 x+2 1，即 x 1， 则 “x 1”是 “ x+2） 0”的充分不必要条件， 故选： A 6曲线 y=3x+2 在点 的切线方程为 4x y 1=0，则点 坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 1） C（ 1， 3） D（ 1， 0） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方 程 【分析】 利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，再利用已知切线方程即可得出 【解答】 解：设切点 ， 切线的斜率为 又已知切线方程为 4x y 1=0，化为 y=4x 1， 切线的斜率为 4 因此 ，解得 ， 4 1=0，解得 ， 点 坐标是（ 1， 3） 故选 C 7一个几何体的三视图如图所 示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积为 V，并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体，则 V， n 的值是（ ） A V=32， n=2 B C D V=16， n=4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可 【解答】 解：由三视图可 知，几何体为底面是正方形的四棱锥， 所以 V= ， 第 7 页（共 19 页） 边长为 4 的正方体 V=64，所以 n=3 故选 B 8若执行如图的程序框图，则输出的 k 值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，写出每次循环得到的 n， k 的值，当 n=8， k=4 时，满足条件 n=8，退出循环，输出 k 的值为 4 【解答】 解：执行程序框图，有 n=3， k=0 不满足条件 n 为偶数， n=10， k=1 不满足条件 n=8，满足条件 n 为偶数， n=5， k=2 不满足条件 n=8，不满足条件 n 为偶数， n=16， k=3 不满足条件 n=8，满足条件 n 为偶数， n=8， k=4 满足条件 n=8，退出循环，输出 k 的值为 4 故选： A 9正三棱柱的底面边长为 ，高为 2，则这个三棱柱的外接球的表面为（ ） A 4 B 8 C D 8 【考点】 球 内接多面体 【分析】 根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积 【解答】 解：由正三棱柱的底面边长为 ， 得底面所在平面截其外接球所成的圆 O 的半径 r=1， 又由正三棱柱的高为 2，则球心到圆 O 的球心距 d=1， 根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形， 满足勾股定理，我们易得球半径 R 满足： R2=r2+， R= ， 第 8 页（共 19 页） 外接球的表面积 S=4 故选： D 10钝角三角形 面积是 ， ， ，则 ） A 5 B C 2 D 1 【考点】 余弦定理 【分析】 利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积， 值代入求出 值，分两种情 况考虑：当 B 为钝角时；当 B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出 用余弦定理求出 值即可 【解答】 解： 钝角三角形 面积是 ， AB=c=1， BC=a= ， S= ，即 ， 当 B 为钝角时 ， = ， 利用余弦定理得： 2C+2+2=5，即 ， 当 B 为锐角时， = ， 利用余弦定理得： 2C+2 2=1，即 ， 此时 直角三角形，不合题意，舍去， 则 故选： B 11如图， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，过 直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、 B若 等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） 第 9 页（共 19 页） A 4 B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的定义，可得 1A 1B=2a， a， a，c，再在 应用余弦定理得， a， c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求 【解答】 解：因为 等边三角形，不妨设 F2=m， A 为双曲线上一点， 1A 1B=2a， B 为双曲线上一 点，则 a， a， c， 由 ，则 ， 在 应用余弦定理得： 4622a4a 得 故选： B 12函数 f（ x） =x 1 2所有零点之和等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由 f（ x） =x 1 2 得 x 1=2别作出函数 y=x 1 和 y=2图象，利用对称性结合数形结合进行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） =x 1 2 得 x 1=2 分别作出函数 y=x 1 和 y=2图象如图： 则两个函数都关于点（ 1， 0）对称， 由图象知，两个函数共有 5 个交点，其中 x=1 是一个零点， 另外 4 个零点关于点（ 1， 0）对称， 设对称的两个点的横坐标分别为 则 x1+ 1=2， 5 个交点的横坐标之和为 2+2+1=5 故答 案为： 5 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上） 13在平行四边形 ，对角线 于点 O， + = ，则 = 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 第 10 页（共 19 页） 【分析】 依题意， + = ，而 =2 ，从而可得答案 【解答】 解： 四边形 平行四边形，对角线 于点 O， + = ， 又 O 为 中 点， =2 ， + =2 ， + = ， =2 故答案为： 2 14设 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 目标函数 z= 几何 意义为区域内的点与 D（ 2， 0）的斜率， 过（ 1， 2）与（ 2， 0）时斜率最小， 过（ 1， 2）与（ 2， 0）时斜率最大， Z 最小值 = = ， Z 最大值 = = ， 故答案为： 15若等比数列 前项 n 和为 =5，则 = 17 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 根据等比数列的前 n 项和公式，求出公比即可得到结论 第 11 页（共 19 页） 【解答】 解：若公比 q=1，则 = 5， 公比 q 1 由 =5 得 ， 即 ， = 故答案为： 17 16设 椭圆 =1 的左右焦点，点 P 在椭圆上半部分且满足 x 轴，则 角平分线所在的直线方程为 4x 2y 1=0 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由椭圆性质得 | ， | ， |2， ，设 角平分线所在的直线交 点 Q，由正切函数二倍角公式得 = ，从而得到 P（ 1， ）， Q（ ， 0），由此能求出 角平分线所在的直线方程 【解答】 解： 椭圆 =1 的左右焦点，点 P 在椭圆上半部分且满足 | ， |4 = ， |2， = ， 设 角平分线所在的直线交 点 Q， 则有： = ， 解得 或 2（舍）， 第 12 页（共 19 页） = ， 解得 | ， |c |1 ， P（ 1， ）， Q（ ， 0）， 角平分线所在的直线方程 ： ，即 4x 2y 1=0 故答案为： 4x 2y 1=0 三解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17已知向量 （ x R）函数 f（ x） = （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）若函数 y=f（ x）的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象，求 y=g（ x）在 0， 上的最大值 【考点】 平面向量数量积的运算；函数最值的应用；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 （ ）根据向量的数量积和二倍角公式，两角和的正弦公式，诱导公式，和最小正周期的定义即可求出 （ ）根据图象的平移得到 g（ x） =2x ） + ，再根据正弦函数的性质即可求出最大值 【解答】 解：（ ）向量 （ x R）， 第 13 页（共 19 页） 函数 f（ x） = =+x） = （ ） =2x+ ）+ ， f（ x）的最小正周 期， T= =， （ ） 函数 y=f（ x）的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象， g（ x） =（ x ） + + + =2x ） + ， x 0， ， （ 2x ） ， ， g（ x）在 0， 上单 调递增， g（ x） g（ ） = 18如图，四棱锥 P ，底面 平行四边形， 底面 M 是棱 B=， （ ）求证： 平面 （ ） N 是棱 一点，且三棱锥 A 体积等于四棱锥 P 积的 ， 求的值 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 平面 勾股定理的逆定理得 面 （ 2）设 AN=x，求出三棱锥 A 四棱锥 P 体积，利用体积比得出 x，从而求出 的值 【解答】 （ 1）证明： C=2， ， 底面 平行四边形， 第 14 页（共 19 页） 平面 面 C=A， 面 面 平面 （ 2）解：设 AN=x，则 S ， M 是 中点， M 到平面 距离 h= =1 V=A M = = = 三棱锥 A 体积等于四棱锥 P 积的 ， ， x= 即 B 19某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和 6 名女生，这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定： （ 1）成绩在 180 分以上者到甲部门工作， 180 分以下者到乙部门工作；（ 2）只有成绩不低于 190 分的才能担任助理工作 （ ）如果用分 层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取 8 人，甲部门中至多有多少女生入选？ （ ）若公司选 2 人担任助理工作，估计几名女生入选的可能性最大？并说明理由 【考点】 茎叶图 【分析】 （ ）根据茎叶图中的数据，计算甲、乙部门人选有多少，利用分层抽样方法求出即可判断结果； （ ）求出公司担任助理工作的人选，计算所选毕业生中担任 “助理工作 ”的女生人数 X 的分布列与数学期望，即可得出结论 【解答】 解：（ ）根据茎叶图，甲部门人选有 10 人，乙部门人选有 10 人， 用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取 8 人， 则甲部门应选 10 =4 人， 甲部门人选中有 4 名女生， 所以甲部门中至多有 4 名女生入选； （ ）公司担任助理工作的人选有 5 人，其中女生 2 人， 第 15 页（共 19 页） 设所选毕业生中担任 “助理工作 ”的女生人数为 X， 则 X 的取值分别为 0， 1， 2， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ； 因此， X 的分布列如下： X 0 1 2 P 所以 X 的数学期望 +1 +2 = 1； 估计 1 名女生入选的可能性最大 20已知过抛物线 C： p 0）的焦点 F，斜率为 的直线交抛物线于 A（ B（ 点，且 |6 （ ）求该抛物线 C 的方程； （ ）过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于不同于坐标原点 O 的两 点 A， B，求 积的最小值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式列方程解出 p； （ 直线 l 是否有斜率进行讨论，联立直线方程与抛物线方程，根据根与系数的关系求出 |得出面积关于斜率 k 的函数，综合两种情况得出面积的最小值 【解答】 解：（ I）抛物线的焦点 F（ ， 0）， 直线 方程为： y= （ x ） 联立方程组 ，消元得： 2=0， x1+p， | = =6， 解得 p=2 抛物线 C 的方程为： x （ 直线 l 无斜率时，直线 l 的方程为 x=1， 联立方程组 ，解得 A（ 1， 2）， B（ 1， 2） S =2 当直线 l 有斜率时，设直线 l 方程为 y=k（ x 1） 联立方程组 ，消元得： 4=0 第 16 页（共 19 页） y1+， 4 | = S = 2 综上， 积的最小值为 2 21已知 f（ x） =g（ x） =x3+x+2 （ ）求函数 f（ x）的极值； （ ）对一切的 x （ 0， +）时， 2f（ x） g（ x） +2 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可； （ ） 31+2 2 x （ 0， +）上恒成立将 a 分离可得 a x ，设h（ x） =x ，利用导数研究 h（ x）的最大值，可求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =x 0， f（ x） =1+ f（ x） 0，解得： x ，令 f（ x） 0，解得： 0 x ， f（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增， f（ x）的极小值是 f（ ） = ； （ ） g（ x） =31， 由题意： 31+2 2 x （ 0， +）上恒成立， 即 3 2得 a x ， 设 h（ x） =x ，则 h（ x） = ， 令 h（ x） =0，得 x=1， x= （舍）， 当 0 x 1 时， h（ x） 0，当 x 1 时， h（ x） 0， 当 x=1 时， h（ x）取得最大值， h（ x） 2， a 2，即 a 的取值范围是 2， +） 选修 4何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 22如图， A， B， C， D 四点在同一圆上， 延长线交于 点 E，点 F 在 延长线上 （ ）若 ，求 的值； （ ）若 A明： 第 17 页（共 19 页） 【考点】 圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质 【分析】 （ I）根据圆内接四边形的性质，可得 B，从而 以有 ，利用比 例的性质可得 ，得到 ； （ 据题意中的比例中项，可得 ，结合公共角可得 以 由（ I）的结论 用等量代换可得 错角相等，所以 【解答】 解：（ ） A， B， C， D 四点共圆， B 得 ， ，即 （ ） A