高中数学 2.7对数、对数函数配套课件 理 新人教A版.ppt

第七节对数、对数函数,三年6考高考指数:1.理解对数的概念；2.掌握对数的运算性质；3.掌握对数函数的概念、图象和性质；4.能够运用对数函数的性质解决某些简单的实际问题.,1.以选择题、填空题的形式考查有关对数值的求法和对数值的比较大小.2.与二次函数、方程、不等式等结合，以综合题形式出现.,1.对数的概念及性质(1)对数的概念请根据下图的提示填写与对数有关的概念,其中a的取值范围是_.两种常见对数,a0，a1,常用对数,底数为_,lgn,自然对数,底数为_,lnn,10,e,(2)对数的基本性质真数n为_(负数和零无对数)，1的对数：_，底数的对数：_，对数恒等式：_.,正数,(1)已知有意义，那么实数a的取值范围是_.(2)(a0)的化简结果是_.(3)若=-1,则x=_.若=y,则y=_.(4)若=0,则=_.,【即时应用】,【解析】(1)由题意知，解得a且a1.(2)原式=|a|.(3)由=+1，即=+1,x=-1，由=8,即=,y=6.(4)由已知得=1,=3，x=8,=.,答案：(1)a且a1(2)|a|(3)-16(4),2.对数的运算性质如果a0,a1,m0,n0,则(1)=_；(2)=_；(3)=_(nr)；(4)换底公式：=_.,(1)思考：结合对数的换底公式判断与，与有何关系？提示:=1,互为倒数;=.,【即时应用】,(2)对于a0,a1,判断下列说法是否正确(请在括号内填“”或“”)若m=n，则=()若=,则m=n()若=,则m=n()若m=n，则=(),【解析】在中，当m=n0时，与均无意义，因此=不成立；在中，当=时，必有m0,n0,且m=n，因此成立；在中，当=时，有m0，n0，且，即|m|=|n|，但未必有m=n.例如，当m=2，n=-2时，也有=，但mn；,在中，若m=n=0，则与均无意义.因此=不成立.答案：,(3)写出下列各式的值：=_;=_;=_;lg8+3lg5=_;=_.,【解析】原式=;原式=-1;原式=0;原式=3lg2+3lg5=3lg(25)=3lg10=3;原式=16.答案：-10316,3.对数函数(1)定义函数y=_叫做对数函数.,(2)对数函数的图象和性质,定义域:（0,+）,值域:（-，+）,当x=1时，y=0，即过点（1，0）,在（0，+）上是单调递增函数,在（0，+）上是单调递减函数,(1)函数y=的图象大致是_(填上序号即可).(2)若定义在区间(-1，0)内的函数f(x)=满足f(x)0,则a的取值范围是_.(3)函数f(x)=在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a的值为_.,【即时应用】,【解析】(1)由函数解析式知函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，作出x0时f(x)=的图象，再关于y轴对称即得y=的图象为.(2)由x(-1,0)知x+1(0,1);又因为f(x)0,所以2a(0,1),故a的取值范围是(0，).,(3)当a1时，f(x)=在区间a,2a上为增函数，=,即=,解得a=4.当0a1时，f(x)=在区间a,2a上为减函数，=,即=.a=.综上所述，a=4或a=.答案：(1)(2)(0，)(3)4或,对数式的化简与运算【方法点睛】1.解决对数运算式化简求值问题的常见思路(1)将对数的和、差转化为积、商的对数；(2)将式子化为最简单的对数的和、差、积，合并同类项后进行运算.,2.对数运算性质的应用把复杂的真数化简；将多个同底对数的和差合并为一个对数式.该性质不但能正用，而且也可逆用，逆用对数的运算性质化简对数式时，若不同底，可先利用换底公式将它们转化为同底数的形式.【提醒】指数式=n与对数式=b的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键.,【例1】计算下列各题：(1);(2)(2012昆明模拟)+lg25+lg4+；(3)-+;(4).【解题指南】观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子变形化简(如去根号、降幂、升幂等)，然后求值.,【规范解答】(1)方法一：利用对数定义求值.设=x,则=2-=,x=-1.方法二：利用对数的运算性质求解.=-1.(2)原式=+2+1=+2(lg2+lg5)+3=.,(3)原式=(lg32-lg49)-+lg245=(5lg2-2lg7)-+(2lg7+lg5)=-lg7-2lg2+lg7+=lg(25)=lg10=.(4)原式=.,【反思感悟】1.对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.正用时要注意公式应用的条件，m0,n0;在运用性质=时，要特别注意，在无m0的条件下应为=(n,且n为偶数).2.注意对数恒等式、对数换底公式及等式=,=在解题中的灵活应用.,3.熟练地运用对数的运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.解题过程中，要抓住式子的特点，灵活使用运算法则.,【变式训练】1.(2012玉林模拟)已知ab=m(a0,b0,m1),=x,则=()(a)1-x(b)1+x(c)(d)x-1【解析】选a.由=x,得b=,设=y,则a=,ab=m,x+y=1,即y=1-x.=1-x.,2.求下列各式的值：(1);(2);(3)(x1);.,【解析】(1)原式=22+36=22.(2)原式=-+-(237)-1=-+-1=-2+2+-1=.,(3)原式=+=+=+=ln2.,(4)原式=()()=()()=(3+1+)=13.,对数的大小比较【方法点睛】比较两个对数大小的基本方法(1)若底数相同，真数不同，则可构造相应的对数函数，利用其单调性比较大小.(2)若真数相同，底数不同，则可借助函数图象，利用图象在直线x=1右侧“底大图低”的特点比较大小.(3)若底数、真数均不同，则经常借助中间值“0”或“1”比较大小.,【提醒】注意灵活运用单调性法、图象法、中间搭桥法、作差比较法、作商比较法.,【例2】比较下列各组数的大小：(1),;(2),;(3)m=,n=,p=;(4)若0ab1,试确定,的大小关系.【解题指南】(1)利用对数函数y=的单调性；(2)借助中间值1比较两数大小；(3)借助中间值0和1比较三数大小；(4)化为同底后再利用对数函数的性质.,【规范解答】(1)底数21,函数y=在(0，+)上是增函数，又3.48.5,.(2)=1,=1,.,(3)由指数函数的性质：00.91,而5.10,01,即0m1.又5.11,而0.90,1,即n1.由对数函数的性质：00.91,而5.11,0,即p0.综上，pmn.,(4)0ab1，由对数函数的性质可知01,=1.=,0,且|1.又=,0,且|1.,【反思感悟】1.比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是一个重要题型，这主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及作差比较法与作商比较法的应用.2.比较大小问题的解题技巧以对数、指数函数为载体进行大小比较时，除常用方法外，还有以下方法：(1)比较法：比较法是对数、指数比较大小的最基本的方法.(2)构造函数法：可以构造相应的函数，利用函数的单调性比较大小.,【变式训练】1.(2012承德模拟)若a=,b=，c=，则()(a)abc(b)cba(c)cab(d)bac【解析】选c.方法一：(比较法)a-b=-=0，则ab,a-c=-=0,则ac,故cab.,方法二：(转换法)a=，b=,c=,=89=，=3225=,故cab.,方法三：(构造函数法)令f(x)=，f(x)=,f(x)00xef(x)在(0，e上递增；f(x)0xef(x)在e,+)上递减；f(2)=f(4),而e345，f(3)f(4)f(5),即f(3)f(2)f(5)，所以bac.,2.比较下列各组数的大小.(1),;(2),;(3),.【解析】(1)=,由指数函数y=在r上单调递增知，即.(2)=,又y=在(0,+)上单调递减，即.,(3)因为函数y=(a0，a1)当底数a大于1时在r上是增函数；当底数a小于1时在r上是减函数，而1.21.3,故有当a1时，;当0a1时，.,对数函数的定义域和值域【方法点睛】函数y=的有关问题的求法(1)根据对数函数f(x)=的定义域是(0,+)，值域是r，求有关复合函数的问题；(2)y=的定义域通过解不等式g(x)0得到;(3)已知函数y=的值域求定义域，通常把y的取值范围转化为g(x)的取值范围，再求x的取值范围(即定义域).,【例3】对于函数f(x)=，解答下列问题：(1)若函数的定义域为r，求实数a的取值范围；(2)若函数的值域为r，求实数a的取值范围；(3)若函数在-1,+)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数的定义域为(-,1)(3,+)，求实数a的值.,【解题指南】(1)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题；(2)是一个较难理解的问题，从“的值域为r”这点思考，“的值域为r”等价于“u=g(x)能取遍(0,+)的一切值”，或理解为“u=g(x)的值域包含区间(0,+)”；(3)应注意“在-1,+)内有意义”与定义域的概念是不同的；(4)本小题求a的值，而已知函数的定义域，所以可转化为-2ax+30的解集为(-,1)(3,+).,【规范解答】记u=g(x)=-2ax+3=+3-,(1)u0对xr恒成立，=3-0a,a的取值范围是(,);,(2)u=g(x)的值域为3-,+)(0,+),命题等价于=3-0a或a,a的取值范围是(-,+);,(3)命题等价于“u=g(x)0对x-1,+)恒成立”，应按g(x)的对称轴x=a分类，或，或，a的取值范围是(-2,);,(4)由定义域的概念知，命题等价于不等式-2ax+30的解集为x|x1或x3，=1,=3是方程-2ax+3=0的两根，a=2,即a的值为2.,【互动探究】(1)本例已知条件不变，若函数的值域为(-,-1，求实数a的值；(2)本例已知条件不变，若函数在(-,1内为增函数，求实数a的取值范围.,【解析】(1)由例题解析与对数函数的性质易知：g(x)的值域为2,+)，g(x)的值域是3-,+)，命题等价于=3-=2a=1，即a的值为1；(2)命题等价于：，则，得a的取值范围是1,2).,【反思感悟】在讨论对数函数的性质时，应注意定义域、值域及对数底数的取值范围，若不清楚底数a的取值范围，应利用分类讨论的数学思想，分a1和0a1两种情况进行讨论.,【变式备选】1.若函数y=lg(3-4x+)的定义域为m.当xm时，求f(x)=-3的最值及相应的x的值.,【解析】y=lg(3-4x+),3-4x+0,解得x1或x3,m=x|x1,或x3,f(x)=-3=4-3.令=t,x1或x3,t8或0t2.g(t)=4t-=+(t8或0t2).,由二次函数性质可知：当0t2时，g(t)(-4,当t8时，g(t)(-,-160),当=t=,即x=时，=.综上可知：当x=时，f(x)取到最大值为，无最小值.,2.已知函数f(x)=-+b(0a1)的定义域为2，4，值域为，8，求a,b的值.【解析】0a1,y=在(0，+)上为减函数，0,0,在2，4内，0,设t=,则f(x)=g(t)=+b-1，在t,上为减函数.,，-=,即-7=0,解得=或=(舍去)，a=,代入+b-1=8，得b=5.,对数函数单调性的应用【方法点睛】与对数函数有关的复合函数的单调性问题的求解方法(1)首先确定函数的定义域；(2)将复合函数分解成y=f(u),u=g(x)；(3)分别确定两个函数的单调区间；(4)若两个函数同增或同减，则y=f(x)为增函数;若两个函数一增一减，则y=f(x)为减函数.,【提醒】解决探索型问题时要先假设存在，然后进行推理论证，如果推出矛盾，则不存在，反之则存在.,【例4】已知函数f(x)=.(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.,【解题指南】(1)当x0,2时，f(x)恒有意义，转化为x0,2时，3-ax0恒成立，求a的范围.(2)运用复合函数的单调性求a的值.,【规范解答】(1)a0，a1，设t=3-ax,则t=3-ax为减函数，x0,2时，t的最小值为3-2a,当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3-ax0恒成立.3-2a0，a,又a0，a1,a(0,1)(1,).,(2)假设存在.设t=3-ax,a0,函数t(x)为减函数，f(x)在区间1,2上为减函数，y=为增函数，a1,x1,2时，t的最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=,，即，故不存在.,【反思感悟】1.指数函数、对数函数与一次函数、二次函数相结合的复合函数的性质是考查的重要知识点，注意复合函数单调性的判断方法，尤其注意对数函数中真数大于0的条件.2.解决与指数函数、对数函数有关的问题，要注意数形结合.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用.,【变式训练】已知函数f(x)=在区间(-,1-上是单调递减函数，求实数a的取值范围.,【解析】令g(x)=-ax-a，则g(x)=-a-，g(x)的图象关于直线x=对称且抛物线的开口向上，因为函数f(x)=的底数21，在区间(-,1-上是减函数,所以g(x)=-ax-a在区间(-,1-上是减函数且g(x)0，,即，解得2-a2.故实数a的取值范围为2-,2).,【变式备选】1.设函数f(x)=，若f(a)f(-a)，则实数a的取值范围是()(a)(-1,0)(0,1)(b)(-,-1)(1,+)(c)(-1,0)(1,+)(d)(-,-1)(0,1),【解析】选c.当a0时，f(a)=,f(-a)=,f(a)f(-a)，即=,a,解得a1.当a0时，f(a)=,f(-a)=,f(a)f(-a),即=,-a,解得-1a0,由得-1a0或a1.,2.已知函数y=f(x)满足：对任意实数x,有f(2+x)=f(2-x);对任意2,都有0，则a=,b=,c=f(0)的大小关系(由大到小)是_.,【解析】f(2+x)=f(2-x),f(x)=f(4-x).b=f(-2)=f(6),c=f(0)=f(4).又对任意2,有0,函数y=f(x)在区间2,+)上为增函数.bc.又a=f(4),a=c.故bc=a.答案：bc=a,【满分指导】对数函数中主观题的规范解答【典例】(12分)(2012昆明模拟)已知函数f(x)=(-1)(a0，a1).求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧;(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.,【解题指南】(1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0,+)或(-,0)内取值.(2)可以在f(x)上任取两点a(,),b(，)，证明k=0即可.,【规范解答】(1)由-10,得1,当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0,+),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧;2分当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(-,0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧.函数f(x)的图象总在y轴的一侧.5分,(2)设a()、b()是函数f(x)图象上的任意两点，且,则直线ab的斜率k=.6分=-=,7分当a1时，由(1)知0,1,0-1-1.01,0.又0,k0.,当0a1时，由(1)知0,1,-1-10.10分1，0.又0,k0.函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.12分,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下失分警示和备考建议：,1.(2011天津高考)已知a=,b=,c=，则()(a)abc(b)bac(c)acb(d)cab【解析】选c.c=可化为,如图所示,结合指数函数的单调性可知选项c正确.,2.(2012柳州模拟)已知f(x)=是(-,+)上的增函数，那么a的取值范围是()(a)(1,+)(b)(-,3)(c),3)(d)(1,3)【解析】选d.依题意，有a1且3-a0，解得1a3，又当x1时，