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2019年高考理科数学考前30天-计算题专训（十八）17某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：爱好不爱好合计男203050女102030合计305080（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生设这3人中爱好羽毛球运动的人数为，求的分布列和期望值；（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）；（2）没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联【解析】（1）任一学生爱好羽毛球的概率为，故，的分布列为：0123（2），故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联18已知数列为等差数列，首项，公差若成等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求和【答案】（1）；（2）【解析】（1），（2），19在三棱柱中，侧面为矩形，是的中点，与交于点，且（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意，又，又，与交于点，又，（2）如图，分别以，所在直线为，轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，则：20已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，当直线的倾斜角是时，的中垂线交轴于点（1）求的值；（2）以为直径的圆交轴于点，记劣弧的长度为，当直线绕旋转时，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1），当直线的倾斜角为时，直线的方程为，设，得，得中点为，中垂线为，代入得，（2）设的方程为，代入得，中点为，令，到轴的距离，当时，取最小值，的最大值为，故的最大值为21已知函数，三个函数的定义域均为集合（1）若恒成立，满足条件的实数组成的集合为，试判断集合与的关系，并说明理由；（2）记，是否存在，使得对任意的实数，函数有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数；若不存在，说明理由（以下数据供参考：，）【答案】（1），；（2）【解析】（1），易知在上递减，存在，使得，函数在递增，在递减，由得，（2）令，由于，由零点存在性定理可知：，函数在定义域内有且仅有一个零点，
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