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2019年高考理科数学考前30天-计算题专训（六）17已知是正项数列的前项和，（1）证明：数列是等差数列；（2）当时，求数列的前项和【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）当时，有，又，当时，有，数列是以为首项，为公差的等差数列（2）由（1）及，得，则，18在某公司的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示食堂某天购进了90个面包，以（个）（其中）表示面包的需求量，（元）表示利润（1）根据直方图计算需求量的中位数；（2）估计利润不少于100元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的数学期望【答案】（1）85个；（2）0.75；（3）142【解析】（1）需求量的中位数（个）（其它解法也给分）（2）由题意，当时，利润，当时，利润，即设利润不少于100元为事件，利润不少于100元时，即，即，由直方图可知，当时，所求概率：（3）由题意，由于，故利润的取值可为：80，120，160，180，且，故得分布列为：利润的数学期望：19如图，在三棱锥中，、分别为线段、上的点，且，（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）证明：连接，据题知，在中，且，即，又，平面，又，平面，在中，则，平面（2）由（1）知，两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，且与平面所成的角为，有，则，又由（1）知，平面，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，令，则，为平面的一个法向量，故平面与平面的锐二面角的大小为20已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与椭圆交于，两点，点是椭圆上的点，若，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆在点处的切线记为直线，点、在上的射影分别为、，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）1【解析】（1）设，则，设，由，将，代入，整体消元得：，由，且，由椭圆的对称性知，有，则，综合可得：，椭圆的方程为：（2）由（1）知，直线的方程为：，即：，所以，的方程为，令，可得，则，又点到直线的距离为，当直线平行于轴时，易知，结论显然成立综上，21已知函数（1）当时，证明：有两个零点；（2）已知正数，满足，若，使得，试比较与的大小【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）据题知，求导得：，令，有；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，令，有；令，有，故在和各有1个零点有两个零点（2）由，而，令，则，由，可得或；当时，（I）当时，则函
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