2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：11.导数的应用

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】求出f（x）的导数，令xa，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值【详解】函数f（x）的导数为f（x），由题意可令xa，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y（x），令y0，可得xa1，即B（ a1，0），在直角三角形PAB中，|AB|1，|AP|，则ABP面积为S（a）|AB|AP|，a0，导数S（a），当a1时，S0，S（a）递增；当0a1时，S0，S（a）递减即有a1处S取得极小值，且为最小值e故答案为：e【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）12.若函数存在三个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过求导，将3个极值点转化成方程3个根，计算结果，结合图像，即可。【详解】=0有三个根，则有三个根，,因为有三个根,表示存在极值,极大值大于0,极小值小于0,所以有两个根,构造新函数,该两个函数有两个交点,绘图可知这两个函数要使得有两个交点,则介于切线与x轴之间，接下来计算切线斜率，得到，解得，代入得到，得到，因而a的范围为，故选A。【点睛】本道题考查了数形结合思想，难度较大。（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）12.定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）16.直线y=b分别与直线y=2x+1和曲线相交于点A、B,则的最小值为_。【答案】【解析】两个交点分别为，设函数 的根为，所以在区间单调递减，在区间上单调递增，所以 。填【点睛】由于是水平距离，所以只需=转化为关于b的函数，用导数求最值。（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）21.已知函数(1)讨论f(x)的单调性(2)设.若对任意的xR,恒有f(x)g(x)求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）定义域为R,对函数求导，导函数可因行分解，对导函数的零点个数进行讨论。（2）原不等式可变形为，不等式成立.分x=1,x1,x1分离参数讨论。试题解析：（1）. （i）当时， ，当时，；当时， ；所以在单调递减，在单调递增. （ii）当时，由得或时，所以在上单调递增.当时, .当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减. 当时, .当时，；当时，；所以在单调递增，在 单调递减. （2）由题意，对任意的，恒有，即不等式成立.当时，显然成立. 当时，不等式化为令，有.当时，,单调递减；当时，,单调递增，所以当时，取极小值 .于是. 当时，不等式转化为令，有.当时，,单调递增；当时， ,单调递减，所以当时，取极大值. 此时. 综上，的取值范围是.【点睛】已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）21.已知函数.（1）试讨论函数的导函数的零点个数；（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先对原函数求导，得到，再分类讨论即可得到单调性与极值，从而判断出导函数的零点个数；（2）设研究函数的单调性与最值即可.【详解】（1）解法一：由题得 当时， 是减函数且，此时有且只有一个零点当时，此时没有零点当时+0-极大值（）若 则此时，函数没有零点（）若则此时，函数有且只有一个零点（）若 则且，下面证明存在使取 下面证明，证明：设 则，在上恒负在上是减函数在上，恒有 在上是减函数 ，得证或取 下面证明，证明：设 则在上是减函数 ，得证此时，函数有且只有两个零点综上，函数的零点个数解法二 由题得 当时，此时没有零点当时导函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数设 则当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减又当时，当时，（即，）图象如图当即时，有1个交点；当即时，有2个交点；当即时，有1个交点；当即时，没有交点.综上，函数的零点个数（2）设 题设成立的一个必要条件是即当时， 在上单调递减又在处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同），从而在上单调递减，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值的思路；关于不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）21.已知函数，曲线在原点处的切线斜率为-2.（）求实数，的值；（）若，求证：当时，.【答案】（），；（）详见解析【解析】【分析】解法一：（1）计算导数，结合原点坐标，建立方程，即可。（2）构造函数，针对a取不同范围，进行讨论，判定与0的关系，即可。解法二：（1）解法一相同（2）构造函数，结合该函数导数，判断单调性，计算范围，即可。【详解】解法一：（）依题意得，又的图象在原点处的切线斜率为-2，即，.（）当时，设，且.当时，在定义域上单调递减，当时，恒成立，即.当，时，.又，恒成立，即.，时，.综上所述，若，当时，.解法二：（）同解法一（）令当时，.令，在单调递减.得，当时，.【点睛】本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）21.已知函数.（）当，讨论函数的单调性；（）若函数的最大值为0，求的值.【答案】（）详见解析；（）-1【解析】【分析】（I）计算的导函数，对a的范围进行讨论，计算单调区间，即可。（II）针对不同范围a进行单调区间讨论，计算最值，建立等式，计算a，即可。【详解】解：（），当时，恒成立，函数在上单调递减；当时，令得：，若，则由得，由得，或，函数单调递增区间是，单调递减区间是和；若，则恒成立，函数在上单调递减.综上：当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为和；当或时，函数单调递减区间为，无递增区间.（）由（）可知，当或时，函数单调递减区间为，故不存在最大值；当时，当时，最大值不为0.由在上单调递增，在上单调递减，解得.当时，时，此时，即时的最大值不为0.综上，.【点睛】本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）21.已知，.（1）若，判断函数在的单调性； （2）证明： ，；（3）设 ，对，有恒成立，求的最小值. 【答案】（1）在单调递增（2）见解析（3）2【解析】【分析】(1)计算导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可.(2)利用,得到 ,采用裂项相消法,求和,即可.(3)计算导函数,构造新函数,判断最小值,构造函数,计算范围,得到k的最小值，即可。【详解】解：（1）. 又，因此，而，所以，故在单调递增.（2）由（1）可知时， 即，设，则因此 即 .即结论成立.（3）由题意知，设，则，由于，故，时，单调递增，又，因此在存在唯一零点，使，即，且当，单调递减；，单调递增；故 ，故，设 ，又设故在上单调递增，因此，即，在单调递增，又，所以，故所求的最小值为.【点睛】本道题考查了导数与原函数单调性关系，以及裂项相消法，利用导函数研究最值，难度较大。（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）21.已知函数，.（1）已知为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由函数f（x），g（x）在点T处的切线相同，得到，且，从而求出a的值即可；（2）令，将a与0、e分别比较进行分类，讨论的单调性及最值情况，从而找到符合条件的a的值.【详解】（1）由题意，点为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，故且，由（2）得：，从而，代入（1）得：，.（2）令，当时，在单调递增，满足题意；当时，在单调递增，需解得：，当时，使当时，单调递减；当时，单调递增；，不恒成立，综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的几何意义及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）12.函数在（一，十）上单调递增，则实数a的范围是（ ）A. 1 B. (1，1) C. (0. 1) D. 1，1【答案】A【解析】【分析】根据f（x），结合结论，即进行放缩求解，求得实数a的取值范围【详解】f（x）=恒成立，即 恒成立，由课本习题知：，即，只需要x，即(a-1)(x-1)恒成立，所以a1故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 _【答案】1【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a值.【详解】，所以切线的斜率，又切线与直线垂直得，解得.故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）12.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于1，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对函数求导得到 因为函数存在唯一极值，导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故得到x=1是唯一的极值，此时 故答案为：B.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）12.若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，得，当时，由，可得，从而极值点问题转化为了与y=-2m的交点问题,结合图像即可得出m范围；当，由，可得0在上恒成立，记g(x)，由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，y=x+1与y=x-1分别为y=与y=的切线，即,(x=0时等号成立)，（x=1时等号成立），可得(x=0时等号成立)，m时，在上恒成立，又在上恒成立，在上恒成立，m时符合题意，排除A、B；当m0时，验证C选项是否符合，只需代入m=3，此时g(x)，则，此时0，令)在上单调递增，且，在上恒成立，即在上单调递增，而0，在上恒成立，g(x)在上单调递增,又g(0)=0，g(x)在上恒成立，即m=3符合题意，排除D,故选C.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，注意小题小做的技巧，是一道综合题（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）15.若过定点的直线与曲线相交不同两点,则直线的斜率的取值范是_.【答案】【解析】【分析】设直线l:y=kx-1,转化为有两个不同的根，分离，求导求最值即可.【详解】设直线l:y=kx-1,则kx-1=得令g(x)=lnx+,(x)=x2,(x)0, g(x)单调递增；0x2,(x)故答案为【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）12.已知函数，的解集为，若在上的值域与函数在上的值域相同，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数知识明确在上的值域，令，则，要使的值域为，则即可.【详解】因为，定义域为，所以，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，即的值域为.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，要使的值域为，则，所以，所以的范围是.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和值域问题，考查推理论证能力和创新意识.（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）11.已知函数，当时， 恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】记函数在上的最小值为:的定义域为.令，得或.时，对任意的,，在上单调递增，的最小值为当时，的最小值为;当时，对任意的,在上单调递减，的最小值为.由可知易知在上单调递减，且,故实数的取值范围为.故选C.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）15.函数有极值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，得到函数的单调性，从而确定的范围即可【详解】 令函数有极值，则在区间上有实数根当时，则函数在区间单调递增时，；时，故存在，使得在递减，在递增故的极大值是，符合题意；当时，令，解得令，解得，此时函数单调递增令，解得，此时函数单调递减当时，函数取得极大值当趋近于与趋近于时，要使在区间上有实数根，则，解得综上：实数的取值范围是本题正确结果：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，是中档题（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）12.已知函数，若，且恒成立，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，利用已知条件列出不等式，然后求解a的范围【详解】函数f（x）=x2+ax-lnx，可得：f（x）=2x+a-，若m，n1，+），且 恒成立，即2x+a-3，x1，+），恒成立即a 恒成立，令y=3-2x+在x1，+）时是减函数，可得a3-2+1=2故选：C【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）12.已知函数，又函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导函数判断的单调区间和极值，结合函数有四个不同零点，则可知的两个值的取值范围，进而利用二次函数的图象及韦达定理求得t的范围。【详解】因为当，所以在 时为单调递减函数当 ，令解得 ，所以在 时为单调递增函数 ，所以在 时为单调递减函数，且所以当时，在时取得最大值为有四个零点，则令，则有两个不等式实数根，一个在 ，一个在令因为所以只需即可满足有两个不等式实数根，一个在 ，一个在即解不等式得 所以t的取值范围为所以选A【点睛】本题考查了导函数的综合应用，函数零点的求法，复合函数及根分布的综合应用，属于难题。（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）12.若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得的导数，可得切线的斜率，求得的导数，可得切线的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合正弦函数的值域和条件可得，使得等式成立，即，解得的范围即可【详解】函数，（其中），函数，要使过曲线上任意一点的切线为，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则，使得等式成立，解得，即的取值范围为或，故选A.【点睛】本题主要考查导数的应用函数在某点处的导数即为切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，以及转化思想的运用，解题的难点是将任意和存在问题转化为区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）12.函数在内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，则在内有两个零点，即函数与的图象在内有两个交点，易知函数是增函数，可求出它在时的切线斜率，及时的坐标，从而可知时，即满足题意，结合两个函数的对称性，可推出当， ，从而可得到答案。【详解】由题意，设，则在内有两个零点，即在内有两个解，则函数与的图象在内有两个交点， ，即在R上单调递增，又，故是奇函数，可画出的图象（如下图），显然函数是偶函数，当时，可作出的图象，显然是两个函数图象的一个交点，当时，故，即当时，同理，当，可得，当时，显然不满足题意，故综上，或时，在内有两个解，即函数在内有两个零点。故答案为D. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了导数的应用，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题。（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）21.已知函数.（）求的单调区间；（）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.【答案】（I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）【解析】【分析】（）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.【详解】（）的定义域为. .（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）当时，由解得，由解得.的单调递增区间为和，单调递减区间是.（）当时，恒成立，在上单调递增，恒成立，符合题意.当时，由（）知，在、上单调递增，在上单调递减.（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需，且.而当时，且成立.符合题意.（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需即可，此时成立，符合题意.（iii）若，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需，即，符合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）21.已知函数是减函数.（）试确定的值；（）已知数列，求证：.【答案】（）（）见证明【解析】【分析】（）求导得，由是减函数得，对任意的，都有恒成立，构造函数，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出；（）由是减函数，且可得，当时，则，即，两边同除以得，即，从而 ，两边取对数 ，然后再证明恒成立即可，构造函数，通过求导证明即可。【详解】解：（）的定义域为，.由是减函数得，对任意的，都有恒成立.设.，由知，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，在时取得最大值.又，对任意的，恒成立，即的最大值为.，解得.（）由是减函数，且可得，当时，即.两边同除以得，即.从而 ，所以 .下面证；记，. ，在上单调递增，在上单调递减，而，当时，恒成立，在上单调递减，即时，当时，.，当时，即.综上可得，.【点睛】本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题。，（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）20.已知函数（）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；（）设函数，若至多有一个极值点，求a的取值集合【答案】（） （）【解析】【分析】()由题意可得，即，令，利用导数判断的单调性，求出其最小值即可；（）求出的导数，当时，是唯一的极小值点，当时，无极值点，从而可得结果.【详解】()由，得， 令，.得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；故当时，（）， 当时，由函数单调递增；且，函数单调递减；故是唯一的极小值点；当时，令，得.当时，恒成立，无极值点当时，由或时，函数单调递增；由时，函数递减，故此时由两个极