广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研 数学（理）

HLLYBQ整理 供“高中试卷网（）”揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是AB2C D2已知集合，则A B C D 3已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若/,，则/.下列命题为真命题的是ABCD4如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图则下列结论中表述不正确的是A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加； B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ； D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.5. 函数的图象大致为11-1-1xyA11-1-1xyB11-1-1xyC11-1-1xyD6. 若满足约束条件，则的最小值为A 1 B2 C-2 D-17若，则的大小关系为ABCD8若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则A B C D 9某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A B CD10已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为A BC D11已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为A B2CD312. 如图，在三棱柱中，底面，ACB=90，为上的动点，则的最小值为A.B C5D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13的展开式中的系数为_；14若向量、不共线，且，则_；15. 已知函数，若，则实数的取值范围是 ； 16. 已知，则 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第23题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，求数列的前项和18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，ABBC，O是AC中点，OHPC于H.（1）证明：PC平面BOH；（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率20.（12分）已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.21.（12分）已知函数（，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求k的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修4-4：坐标系与参数方程 （10分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求OAB的面积的最小值，并求此时的值23. 选修45：不等式选讲 (10分）已知函数，（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）当时不等式恒成立，求的取值范围揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题题序123456789101112答案CCBDA DADCBBC解析：8.依题意易得，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得，得, 则,故.9. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）10. 依题意得.11. 依题意得点P，由双曲线的定义得周长为，由此得，故12. 由题设知为等腰直角三角形，又平面，故=90，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知,由余弦定理得.二、填空题题序13141516答案2243解析：15. 因函数为增函数，且为奇函数，解得.【学生填或或都给满分】16. 依题意可得,其最小正周期,且故三、解答题17.解：（1）当时，-1分由得（），两式相减得，又，（）， -3分又，（）， -4分显然，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，； -6分（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，-8分， -9分又-10分-12分18.解：（1）ABBC，O是AC中点， BOAC，-1分又平面PAC平面ABC，且平面ABC，平面PAC平面ABCAC， BO平面PAC，-3分 BOPC，又OHPC，BOOHO， PC平面BOH；-5分（2）易知POAC，又BO平面PAC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由易知，OC2， ， ， -7分设平面ABH的法向量为，则， ，取x=2，得，-9分由（1）知是平面BHO的法向量，易知，-10分设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，则， 二面角A-BH-O的余弦值为-12分【其它解法请参照给分】19.解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为；-3分（2）（i）的分布列为5101520P，-6分的分布列为481226P，公司应选培训方式一；-9分（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为-12分20. 解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，-1分令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，-3分故所求椭圆的方程为.-4分（2）解法1：由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线- 则-6分将代入椭圆方程并整理得，可得，则，-8分类似地可得，-9分由直线方程的两点式可得：直线的方程为 ，-11分即直线过定点，该定点的坐标为.-12分【解法2：若直线l垂直于x轴，则AP不垂直于AQ，不合题意，可知l的斜率存在，又l不过点(0,1)，设l的方程为，又设点，则,由得，由，消去y得，-6分，当即时，- -7分又，-8分于是有，-9分将代入得整理得：,-11分满足，这时直线的方程为，直线过定点.-12分】（21）解：（1）-1分若，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减-3分若，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增-5分（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；-6分当时，等价于，设，则，设（），则，在上单调递减，得-9分当，即时，得，在上单调递减，得，满足题设条件；-10分当，即时，而，又单调递减，当，得，在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或-12分22. 解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，得，所以曲线C的极坐标方程为，或 -3分的极坐标方程为； -5分（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，