曾谨言量子力学第4章ppt课件

4.1力学量随时间的演化4.2波包的运动，Ehrenfest定理4.3Schrdinger图像与Heisenberg图像4.4*守恒量与对称性的关系4.5全同粒子体系与波函数的交换对称性,第4章力学量随时间的演化与对称性,4.1力学量随时间的演化,4.1.1守恒量,1.经典物理中的守恒量,动量守恒：质点受的合外力为零机械能守恒：外力和内非保守力不做功角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零,2.量子力学中的守恒量,守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化,守恒量：力学量的值不随时间变化,在任意量子态下，力学量A的平均值为,守恒的条件？,若力学量不显含时间，即,则,若,Note,可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。,选包括H和A在内的一组力学量完全集，则,体系的任意量子态可表示为,3.守恒量的性质,在态下，测力学量A的Ak的概率为,则该概率随时间的变化为,结论：如果力学量A不含时间，若A,H=0(即为守恒量)，则无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。,4.经典与量子力学中的守恒量间的关系,5.守恒量与定态(1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。(2)在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变,(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值.若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。,例题1判断下列说法的正误,(1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错)(2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对)(3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）(4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）(5)自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6)一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）,证明：对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有,则,两边同时积分得,4.1.2能级简并与守恒量的关系,定理设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即F,H=0,G,H=0,F,G0,则体系能级一般是简并的。,证明：F,H=0,则F,H有共同的本征函数,又因为G,H=0,则,即G也是H的本征函数，对应的本征值也是E,即体系的能级是简并的。,推论：如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态E，则E必为F的本征态。,证明：设E是一能量本征态。因F是守恒量，则F,H=0,即FE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E.根据假定能级不简并，则必有,即E也是F的本征态，对应的本征值是F.,例如：一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为守恒量，P,H=0,则能量本征态必为P的本征态，即有确定的宇称。事实上，也确是如此，,结论：体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守恒量。,位力定理：设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为,rp的平均值随时间的变化为,对定态有,则,证明：,思考题：rp并不是厄米算符，应进行厄米化,这是否会影响位力定理得证明。,答：从位力定理的证明可以看出，将rp厄米化后并不能影响到定理的证明。,例题1设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即,证明,如谐振子,库仑势,势,证明：,两边对c求导数得,令c=1得,则由位力定理得,例题2求一维谐振子在态n下的动能和势能的平均值,解：一维谐振子的能量本征值为,由位力定理知:,则,所以,1.波包的运动与经典粒子运动的关系,设质量为m的粒子在势场V(r)中运动，用波包(r,t)描述，显然(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态,设粒子运动的Hamilton为,则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为,4.2波包运动，Ehrenfest(埃伦费斯特)定理,经典粒子运动的正则方程是,(2)两边对时间求导数，并将(3)代入得到,此之谓Ehrenfest方程，形式与经典的Newton方程类似，但只有当,时，波包中心的运动规律才与经典粒子相同。,(3)波包的扩散不太大。,(1)波包很窄，其大小与粒子的大小相当；,2.用波包描述粒子运动时对波包的要求：,(2)势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心处的势场与粒子感受到的势场很接近；,在波包中心,附近对作Taylor展开，,如：一维波包的运动,令=x-xc，则有,利用,得,可见只有当,时才有,此时方程(5)与经典的Newton方程在形式上完全相同。,如在势场,中,条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子的轨道运动相似。,例粒子对原子的散射,原子的半径,天然放射性元素放出粒子的能量,则其动量为,在对原子的散射过程中，粒子穿越原子的时间约为,经典or量子描述？,在该时间间隔内波包的扩散为,如果要求在粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求,利用不确定性关系可得,显然满足条件,即粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述。,如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为100eV的电子有,则,因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。,4.3Schringer图像(绘景)和Heisenberg图像（绘景）,1.Schrdinger图像,力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。,力学量的平均值,波函数随时间演化方程-Schrdinger方程,力学量平均值随时间的变化,波函数随时间演化可写成,称为时间演化算符。,(4)代入(2)得到,则,积分得,可以证明：,是幺正算符。,Heishenberg图像,波函数不变，算符随时间变化,算符的演化方程-Heisenberg方程,利用U的幺正性，及U+HU=H,则,上式称为Heisenberg方程。,例题1自由粒子,p为守恒量，则p(t)=p(0)=p,则,例题2一维谐振子,而,则,其解为,则,利用初始条件,则可得出,4.4守恒量与对称性的关系,1.经典力学的守恒量与对称性的关系,机械能对空间平移不变性（空间均匀性）动量守恒机械能对空间转动不变性（空间各向同性）角动量守恒机械能对时间平移不变性（时间均匀性）能量守恒,1918年德国数学家A.E.Noether:从自然界的每一对称性可得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。,2.量子力学中的对称性,(1)对称变换与对称性群,体系的状态满足薛定谔方程,若存在变换Q,在此变换下有,体系对变换不变性的要求,即,用Q-1运算得,与方程(1)比较得,或写成,这就是体系（Hamilton）在变换Q下的不变性的数学表述。,凡满足式(4)的变换称为体系的对称变换。物理学中的体系的对称变换总构成一个群，称为体系的对称性群。,(2)对称性变换与守恒量,在对称变换下考虑概率守恒有,则Q应该是幺正算符，即,对于连续变换，可考虑无穷小变换0+，令,(3)空间平移不变性与动量守恒,设体系沿x轴方向作一无穷小平移,即F是厄米算符，称为变换Q的无穷小算符。可定义与Q变换相联系的可观测量，体系在Q变换下的不变性导致,即F是一守恒量。对称变换守恒量,描述体系状态波函数的变化为,显然,即,作变换,则上式可化为,则平移x的算符可表示为,Note:,是与平移变换相应的无穷小算符。,推广：对于三维空间中的无穷小平移,则,其中,设体系具有平移不变性，即D,H=0,对于无穷小平移,则可推出,动量守恒,是与三维平移变换对应的无穷小算符。,(4)空间旋转不变性与角动量守恒,设体系绕z轴旋转一无穷小角度，,波函数的变化是,对标量波函数有,即,作变换,则,则绕z轴旋转的算符是,注：,现考虑三维空间中绕某方向n的无穷小旋转,在上述变换下标量函数的变化是,即,作变换,则,对于无穷小旋转,则,其中,如果体系具有空间旋转不变性，R,H=0,注：三个矢量的混合积,对于无穷小旋转,则有,即角动量守恒,(5)时间均匀性与能量守恒,(6)空间反射对称性与宇称守恒,(7)同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒,4.5全同粒子体系及其波函数,4.5.1全同粒子体系的交换对称性,1.全同粒子：,说明：(1)粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系，没有态的量子化就谈不上全同性。(2)经典力学中原则上不存在全同粒子。或，全同粒子可以区分。,质量、电荷、自旋等内禀属性完全相同的粒子。所有的电子是全同粒子、所有的质子是全同粒子、所有的光子也是全同粒子。,2.全同性原理：在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同，用一个粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的变化,或，全同粒子不可区分。,-量子力学的基本假设,(1)全同粒子体系的任何可观测量(包含哈密顿量）有交换对称性,氦原子中两个电子组成的体系,3.全同粒子交换对称性与守恒量,定义交换算符Pij：其作用是交换两个粒子的位置,即,(2)全同粒子体系波函数的交换对称性,即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的。,实验表明：凡自旋为整数倍(s=0,1,2,)的粒子,波函数的交换总是对称的，如介子(s=0)、光子（s=1）,波色子。,凡自旋为半整数倍(s=1/2,3/2,)的粒子,波函数的交换总是反对称的，如电子、质子、中子等,费米子。,由“基本粒子”组成的复合粒子，如粒子，若在讨论的问题或过程中其内部状态保持不变，则全同粒子的状态仍然适用。由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子；由偶数个费米子组成的粒子为玻色子；有奇数个费米子组成的粒子为费米子,4.交换效应,全同性不只是一个抽象的概念，而它将导致一个可观测的量子效应-交换效应。微观世界里的全同粒子，一旦有波包重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将使它们失去个性和可分辨性，出现交换效应。,如：,两个光子的输入态,两光子的出射态,若两个光子同时到达分束器，出射态中光子的空间模有重叠，必须考虑两个光子的交换干涉，出射态应该是交换对称的。,在c,d两处放置探测器，作单光子计数符合测量，以1/2的概率得到双光子极化纠缠态,尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用，但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态发生变化，两个光子已经不可分辨。,问题：在忽略粒子间相互作用的情况下，如何构造具有交换对称或反对称性的波函数？,4.5.2两个全同粒子组成的体系,设有两个全同粒子（忽略相互作用），其Hamilton量为,其中h为单粒子的Hamilton，h(q)的本征方程为,设两个粒子，一个处于k1态，另一个处于k2态，则k1(q1)k2(q2)与k1(q2)k2(q1)对应的能量都是k1+k2，这种与交换相联系的简并，称为交换简并。但这两个波函数还不具有交换对称性。,对Bose子,波函数交换对称，则,(a)当k1k2时，归一化的对称波函数为,(b)当k1=k2时，归一化的对称波函数为,对Femi子，波函数交换反对称,(a)当k1k2时，归一化的反对称波函数为,(b)当k1=k2时,即这样的状态不存在，这就是著名的Pauli不相容原理：不允许两个全同的Femi子处于同一单粒子态。,例题设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，下面分三种情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布,(a)在不计交换对称性时，两粒子的波函数可表示为,令,或,相对运动部分波函数为,在距离一个粒子半径在(rr+dr)的球壳内找到另一个粒子的概率为,(b)交换(r-r)反对称波函数，反对称相对运动波函数为,则,概率密度,(c)交换对称波函数，类似可求出,即,可见：在空间波函数交换对称的情况下，两个粒子相互靠拢的概率最大；在交换反对称的情况下，两粒子靠近的概率趋于零；在x时，三种情况无区别，波函数交换对称性的影响消失。,4.5.3N个全同Femi子组成的体系,三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个不同的单粒子态k1,k2,k3上，则反对称波函数为,其中,称为反对称化算符。,N个全同Femi子：设N个无相互作用的全同Femi子，分别处于k1k2n）,若k=3,n=2,则有,若k=3,n=3,则有,量子态总数,补充