GCT数学 线性代数精讲2ppt课件

第二章矩阵及其运算,1矩阵,行矩阵（行向量)，,列矩阵（列向量)，,n阶矩阵(n阶方阵).,定义1由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n),实矩阵,称为mn矩阵.,排成的m行n列数表,记成,例1（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价,这里的行表示商店，列表示商品,aij表示每生产一万元第j类产品需要消耗的第,a23=0.20就表示每生产一万元第3类产品需要消耗掉0.20万元,例2（投入产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个,（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：,部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用,货币来表示,i类产品的价值,的第2类产品的价值,例（通路矩阵）甲省两个城市s1,s2与乙省三个城市t1,t2,s1,s2,t1,t2,t3,4,1,3,2,2,每条线上的数字表示连接该两,s1s2,t1t2t3,同型矩阵.,矩阵A与B相等,记成A=B.,零矩阵,记成0.,城市的不同通路的总数以由此得到,的通路信息，可用矩阵表示为：,t3的交通连接情况如下图所示，,2矩阵的运算,一矩阵的加法,定义2设A=(aij),B=(bij)都是mn矩阵,矩阵A与B的和,例1,记成A+B,规定为,矩阵的加法运算满足规律,2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律),3.A+0=A,4.设A=(aij),记A=(aij),规定AB=A+(B),二数与矩阵的乘法,定义3,规定为,称A为A的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律),易知,A+(A)=0,例2若,那么,3A=A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A,B为矩阵.,三矩阵与矩阵的乘法,定义4设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn,A与B的乘积记成AB，即C=AB.,规定A与B的积为一个mn矩阵C=(cij)，,其中,AB=ABmssnmn,矩阵,例3,例4,例5,例6,一般来说，ABBA,若矩阵A、B满足AB=0,n阶矩阵,称为单位矩阵.,如果A为mn矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律.,未必有A=0或B=0的结论.,n阶矩阵,称为对角矩阵.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵.,矩阵的乘法满足下述运算规律,解1,解2,矩阵的幂A是一个n阶矩阵,k是一个正整数,规定,矩阵的幂满足规律,其中k,l为正整数.,对于两个n阶矩阵A与B，一般说,例8,解一,解二,例10已知线性方程组,如果记,那么上述线性方程组可记成,于是,四矩阵的转置,定义5将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为A,矩阵的转置满足下述运算规律,记为AT.,的转置矩阵,解一因为,所以,解二,矩阵A称为对称矩阵，,容易知道,A=(aij)nn是对称矩阵的充要条件是,例13如果A是一个n阶矩阵，那么，A+A是对称矩阵,i,j=1,2,n.,矩阵A称为反对称矩阵，,如果AT=A.,如果AT=A.,矩阵A=(aij)nn是反对称矩阵的充要条件是aij=aji,证因为,AA是反对称矩阵,所以A+A是对称矩阵,aij=aji,i,j=1,2,n.,因为,所以AA是反对称矩阵,例14设A为mn矩阵,证由矩阵的乘法可知AA是m阶的.,所以AA是对称矩阵.,1.证明H为对称矩阵.,1.证因为,所以H为对称矩阵.,因为,2.计算H2.,=E.,方阵的行列式运算满足下述规律，,例16设A是n阶矩阵，,称为矩阵A的伴随矩阵.,式Aij所构成的矩阵,五方阵的行列式,定义6由n阶矩阵A的元素（按原来的位置）构成的行列式，,称为方阵A的行列式,证明,由行列式|A|的各元素的代数余子,那么,于是,2.设A为3阶矩阵,那么,于是,先就3阶矩阵给出证明.,证设,于是有,因此,同理可证，,=0,=0,=0,证设A=(aij)nn,也就是,于是有,因此,同理可证，,3逆矩阵,定义7设A是n阶矩阵，如果有n阶矩阵B，使,如果矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，记其为A-1.,定理1若矩阵A是可逆的，,证因为A可逆，,定理2若|A|0，,则A可逆,且,则称A是可逆矩阵，,且称B为A的逆矩阵.,AB=BA=E,即有A-1使AA-1=E.,所以|A|0.,则|A|0.,证由2的例16可知,根据逆矩阵的定义，即有,所以有,因为|A|0，,设A是n阶矩阵，如果|A|0,那么A称为非奇异矩阵.,A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的,例1判断下列矩阵,是否为可逆矩阵？,推论设A,B都为n阶矩阵,于是,则A为可逆矩阵，,若AB=E（或BA=E），,所以|A|0，,解因为,所以A为可逆矩阵，B是不可逆矩阵,证因为|A|B|=|AB|=|E|=1,例2因为,所以,方阵的逆矩阵满足下述运算规律：,因为,因为,3.设A,B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆，且,3.设A,B为同阶可逆矩阵,例3求矩阵,的逆矩阵.,解由,知A的逆矩阵A-1存在.,4.设A为可逆矩阵,因为,再由,得,例4已知,求矩阵X满足AX=C.,解由例3知A-1存在，于是,得X=A-1C，即,4矩阵的分块法,子块,用分块法计算矩阵A与B的乘积,左矩阵A的列的分法与右,解把A，B分块成,其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.,矩阵B的行的分法一致.,分块矩阵,分块法计算矩阵的乘积