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中国剩余定理,名题赏析,北师大2003课标版选修3-1,江西省上饶市德兴市花桥中学俞晓妹,看过射雕英雄传的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒，郭靖将她送到南帝那里救治，误入瑛姑茅舍，瑛姑给他们出了一些题，黄蓉天资聪慧，都一一答上，临走她给瑛姑出了一题：“有一个数，除五剩二，除四剩三，除三刚刚好，问这个数是多少？”,情景导入,韩信点兵,韩信点兵,韩信点兵,每3人一列，余1人,每5人一列，余1人,每7人一列，余1人,问韩信有多少兵？,孙子算经中的物不知数,今有物不知其数三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？,孙子算经,“物不知数”问题用现代数学语言表示，就是求一次同余式组的解的问题，即：,列举筛选法,所以最小的一个数是23,递推法,答:符合题意的最小正整数为23。,小试牛刀,有一个数，二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数？（选自南宋数学家杨辉1275年写成的续古摘奇算法）,答:符合题意的最小正整数为157。,余数232,70,21,15,计算70*2+21*3+15*2-105*2=23,单因子构件凑成法,孙子算经中给出的算法：三三数之剩二置一百四十，五五数之剩三置六十三，七七数之剩二置三十，并之得二百三十三，以二百十减之，即得.,明朝数学家程大位在算法统宗中把上式总结为一首通俗易懂的歌诀：,三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.,中国剩余定理,方法应用,一个数，五五数之余三，七七数之剩一，九九数之剩二，问这个数是多少?,方法一：,方法二,余数312,126,225,280,计算126*3+225*1+280*2-315*3=218,为什么叫中国剩余定理,1247年南宋的数学家秦九韶把孙子算经中“物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，称之为“大衍求一术”的方法，在数书九章中发表。这个结论在欧洲要到1801年才由数学家高斯在算术探究中发现。公元1852年,英国基督教士伟烈亚力将孙子算经,数书九章(1247),中的“物不知其数”问题的解法传到欧洲。公元1876年,马蒂生指出:秦九韶的解法完全符合高斯的定理。而此时,高斯定理已比秦九韶的大衍求一术晚五百多年.所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”。,应用,中国剩余定理的一个应用是制定古代历法.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.,应用,中国剩余定理虽是数论中的基本定理,但是在计算机密码学中有着重要的应用.例如在Rabin密码算法中用于解密运算.在RSA密码算法中,中国剩余定理同样可用于RSA的解密运算,而且使RSA的机密速度大约提高4倍左右,这无论对于软件还是硬件实现RSA密码算法都是非常重要的.,小结,作业布置,1.收集和整理中国古代数学成就，体会中国数学家为世界数学发展
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