3.2 圆的对称性 1 2 垂径定理ppt课件

,3.2.圆的对称性(1),圆的对称性,（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,（2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。,圆的基本性质圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.,几个重要概念,圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.,A,B,C,D,弦连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.,直径经过圆心的弦叫做直径（diameter）.,注弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.,例如优弧ACD（记作）,劣弧ABD（记作）,C,D,想想做做,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.,M,O,A,B,C,D,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.,（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。,M,O,AM=BM,小明发现图中有:,由CD是直径,CDAB,如图,小明的理由是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,(HL),A,B,C,D,想想做做,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M.,M,O,垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.,垂径定理三种语言,定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.,老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,想想做做,看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?,E,E,E,不可以,不可以,可以,可以,A,B,C,D,如图，AB是O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.,M,O,（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。,CDAB,小明发现图中有:,由CD是直径,AM=BM,A,B,C,D,想想做做,如图，AB是O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.,M,O,逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,A,B,C,D,M,O,垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.,逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,CD是直径,CDAB,AM=BM,你可以写出相应的命题吗?,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和它所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,课时P61-62,2.圆对称性(2)垂径定理的应用,A,B,C,D,M,O,垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.,逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,CD是直径,CDAB,AM=BM,你可以写出相应的命题吗?,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和它所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,按图填空:(1)若CDAB，CD为直径，则_，_，_；,(2)若AM=BM，CD为直径，则_，_，_；,(3)若CDAB，AM=BM，则_，_，_；,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,挑战自我垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.,例1、如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径.,A,B,M,O,垂径定理的应用,弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。,弓形高：弧的中点到弦的距离叫做弓形的高。,垂径定理三角形,已知：如图，直径CDAB，垂足为E.若半径r=2，AB=,求OE、DE的长.若半径r=2，OE=1，求AB、DE的长.,drh,drh,垂径定理三角形,弦长a，弦心距d，半径r，及弓形高h四者之间的关系,知2求2,（1）已知r,d（2）已知r,h（3）已知r,a（4）已知d,h（5）已知a,d（6）已知a,h,在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.,d+h=r,垂径定理的应用(测公路的弯道的半径),解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m.OECD，CF=1/2CD=1/2600=300（m）.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R-90）2解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.,Rm,F,0,C,D,E,例2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是的圆心），其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.,CD,CD,CD,例：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,例：在半径为5的圆内，有两条互相平行的弦，长度分别为6和8，求这两条平行弦之间的距离。,练：在半径为5的圆内，有一个等腰梯形，它的两底长度分别为6和8，求这个等腰梯形的面积。,垂径定理的应用,2、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,D,C,2.如图，某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？,此货船能顺利通过这座拱桥.,解:如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O,半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C。根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R=3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,3、已知：如图，O中，AB为弦，C为的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求O的半径OA.,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,结束寄语,形成天才的决定因素应该是勤奋.,再见,这节课我们学习了哪些主要内容?学习了哪些基本观点和方法?应用垂径定理要注意哪些问题?,课堂小结,课堂小结,1、本节课主要学习了(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及推论.2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题.3、垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法.知识结构,赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河