江苏省无锡市新区2016年中考数学一模试卷含答案解析

江苏省无锡市新区 2016 年中考数学一模试卷 （解析版） 一、选择题（本大题共 题每小题 3 分共 30 分） 1 9 的算术平方根是（ ） A 3 B 3 C D 3 2函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x 7 B x 7 C x 7 D x 7 3 2016 年 2 月 19 日，经国务院批准，设立无锡市新吴区，将无锡市原新区的鸿山、旺庄、硕放、梅村、新安街道划和滨湖区的江溪街道归 新吴区管辖新吴区现有总人口 322819 人，这个数据用科学记数法（精确到千位）可表示为（ ） A 323 103 B 105 C 105 D 106 4下列运算正确的是（ ） A（ 2= a3+a2=（ a） a= 5正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角相等 6下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B正六边形 C正方形 D圆 7某工厂分发年终奖金，具体金额和人数如下表所示，则下列对这组数据的说法中不正确的是（ ） 人 数 1 3 5 70 10 8 3 金额（元） 200000 150000 80000 15000 10000 8000 5000 A极差是 195000 B中位数是 15000 C众数是 15000 D平均数是 15000 8如图，正八边形 接于圆，点 P 是弧 的任意一点，则 度数为（ ） A 30 B 15 C 60 D 45 9如图，点 P 是圆锥的顶点， 圆锥的底面直径，且 C、 D 是底面圆周上的两点，满足 D=在该圆锥的侧面展开图上， 度数为（ ） A 15 B 20 C 30 D 60 10如图： ， ， 点 M、 N 分别是射线 动点，则N 的最小值是（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 二、填空题（本大题共 8 小题每小题 2 分，共 16 分 .） 11分解因式： 16 4_ 12方程 的解是 _ 13如图，直线 ，那么 值是 _ 14一次函数 y= 的图象经过一、二、四象限，则 k 的取值范围为 _ 15如图， ， 分 E， F，已知 8，则 B=_ 16如图： ， D， 直平分 0，则 C=_ 17如图：已知菱形 ，对角线 交于点 O， ， ，动点 P 在边运动，以点 O 为圆心， 半径作 O， O 于点 Q则在点 P 运动过程中，切线 长的最大值为 _ 18如图：已知点 A、 B 是反比例函数 y= 上在第二象限内的分支上的两个点，点 C（ 0，3），且 足 C， 0，则线段 长为 _ 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分） 19计算： （ 1）（ 1） 2016+20160（ ） 1+（ 2）（ x 3） 2 2（ x 2） 20（ 1）解方程： 4x+2=0 （ 2）解不等式组： 21已知 ， 对角线， 分 点 E， 分 ，求证： F 22今年 4 月 23 日是第 21 个 “世界读书日 ”，也是江苏省第二个法定的全民阅读日由市文明办、市全民阅读办、市文广新局等单位联合主办的 “2016 无锡市第二个全民阅读日 ”系列活动即将启动某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （ 1）本次抽样调查的样本容量是多少？ （ 2）请将条形统计图补充完整 （ 3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在 1 时对应的圆心角度数 （ 4）根据本次抽样调查，试估计我市 12000 名初二学生中日人均阅读时间在 时的多少人 23如图：无锡市某小区对垃圾进行分类处理，分为 A 厨房垃圾、 B 其它垃圾、 C 可回收垃圾、 D 有害垃圾四类要求居民自觉准确投放但时有居民不能安要求投放，于是小区组织志愿者进行监督和再分拣某 “马大哈 ”居民一天晚上带着鱼骨和废旧电池两种垃圾在黑暗中随手将它们分别投入四个垃圾桶内的任意两个不同的垃圾桶中 （ 1）他（马大哈）把鱼骨投在 正确的垃圾桶内的概率是 _（请直接写出结果） （ 2）他（马大哈）至少把一件垃圾投在正确的垃圾桶内的概率是多少？（请用 “画树状图 ”或 “列表 ”等方式给出分析过程） 24在 ， C=90， A=30， O 在斜边 ，半径为 4圆 O 过点 B，切点 D，交 点 E （ 1）求线段 长； （ 2）求图中阴影部分面积 25 “夕阳红 ”养老院共有普通床位和高档床位共 500 张已知今年一月份入住普通床位老人300 人，入住高档床位老人 90 人，共计收费 51 万元；今年二月份入住普通床位老人 350 人，入住高档床位老人 100 人，共计收费 58 万元 （ 1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？ （ 2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有入住高档床位数不得超过普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养老院企业 2400 元的补贴经测算，该养老院普通床位的运营成本是每月 1200元 /张，入住率为 90%；高档床位的运营成本是每月 2000 元 /张，入住率为 70%问该养老院应该怎样安排 500 张床的普通床位和高档床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润 =月收费月成本 +月补贴） 26（ 10 分）（ 2016无锡一模）已知在平面直角坐标系中，点 A（ 1， 0）和 C（ 1， 1），动点 D（ t， t）（点 D 与点 C 不重合），二次函数 y=4ax+c 的图象与 x 轴相交于点 （ 1）设二次函数 y=4ax+c 的顶点为 P，若点 P 与点 D 关于 x 轴对称，求此二次函数的解析式 （ 2）在 D 运动时，若在坐标轴上找一点 Q，使 直角三角 形，这样的点 Q 有且仅有 4 个，求满足条件的 t 的值或取值范围 27（ 10 分）（ 2016无锡一模）小明和小颖家住在同一地铁站口的同一小区内星期天两人各自去南禅寺书城买书小颖乘地铁，小明由爸爸开私家车前往已知该段私家车行驶的路线和地铁路线恰好在同一直线上，且私家车的速度比地铁慢他们早上同时出发，设出发后的时间为 t 分钟，小明和小颖之间的距离为 S， S 与 t 的部分函数图象如图所示 （ 1）填空： 该小区与南禅寺相距 _千米 私家车的速度为 _千米 /分钟，地铁的速度为 _千米 /分钟， 图中点 A 的实际意思是： _ （ 2）如果小明到达书城后半小时，两人同时回家，小颖马上乘上了地铁，而小明的爸爸去停车场取车耗费了 5 分钟，请在原坐标系中将 S 与 t 的函数图象补充完整（需要标明相关数据） 28（ 10 分）（ 2016无锡一模）已知：如图正方形 ，点 E、 F 分别是边 满足 F （ 1）不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边 分别作出点 G 和点 H，使H=F（保留作图痕迹，不要求写作法） （ 2）在（ 1）的条件下，当点 E 在 上的何处时，能使 S 四边形 S 四边形 ： 8，并说明理由 （ 3）如图：正六边形 ，点 A、 B、 C、 D、 E、 F分别是边 E、 的点，且 设 AB=1： 3，则 S 六边形 ABCDEF： S 六边形 _ 设 AB=k，求 S 六边形 ABCDEF： S 六边形 值（用含 k 的代数式表示） 2016 年江苏省无锡市新区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 题每小题 3 分共 30 分） 1 9 的算术平方根是（ ） A 3 B 3 C D 3 【考点】 算术平方根 【分析】 根据算术平方根的定义解答 【解答】 解： 32=9， 9 的算术平方根是 3 故选 B 【点评】 本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x 7 B x 7 C x 7 D x 7 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母不等于 0，据此即可求解 【解答】 解：根据题意得： x 7 0， 解得： x 7 故选 C 【点评】 本题考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （ a 0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 3 2016 年 2 月 19 日，经国务院批准，设立无锡市新吴区，将无锡市原新区的鸿山、旺庄、硕放、梅村、新安街道划和滨湖区的江溪街道归新吴区管辖新吴区现有总人口 322819 人，这个数据用科学记数法（精确到千位）可表示为（ ） A 323 103 B 105 C 105 D 106 【考点】 科学记数法与有效数字 【分析】 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位 【解答】 解： 322819=105 105，精确到了千位， 故选 C 【点评】 本题考查了科学计 数法和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错 4下列运算正确的是（ ） A（ 2= a3+a2=（ a） a= 【考点】 整式的混合运算 【分析】 A、利用幂的乘方法则即可判定； B、利用同类项的定义即可判定； C、利用多项式除以单项式的法则计算即可判定； D、利用同底数的幂的除法法则计算即可 【解答】 解： A、（ 2=错误； B、 是同类项， a3+错 误； C、（ a） a=，故错误； D、 a3=，正确 故选 D 【点评】 此题主要考查了整式的运算，对于相关的法则和定义一定要熟练 5正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角相等 【考点】 正方形的性质；菱形的性质 【分析】 先回顾一下菱形和正方形的性质，知道矩形的特殊性质是正方形具有而菱形不具有的性质，根据矩形的特殊性质逐个判断即可 【解答】 解：菱形的 性质有 菱形的对边互相平行，且四条边都相等， 菱形的对角相等，邻角互补， 菱形的对角线分别平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角， 正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质（ 矩形的四个角都是直角， 矩形的对角线相等）， A、菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误； B、菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确； C、菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项错误； D、菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误； 故选 B 【点评】 本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质的 应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键 6下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B正六边形 C正方形 D圆 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可 【解答】 解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形， A 正确； 正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形， B 错误； 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形， C 错误； 圆是轴对称图形，也是中心对称图形， D 错误； 故选： A 【点评】 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 7某工厂分发年终奖金，具体金额和人数如下表所示，则下列对这组数据的说法中不正确的是（ ） 人 数 1 3 5 70 10 8 3 金额（元） 200000 150000 80000 15000 10000 8000 5000 A极差是 195000 B中位数是 15000 C众数是 15000 D平均数是 15000 【考点】 极差 ；加权平均数；中位数；众数 【分析】 根据中位数、众数、平均数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数和极差，再分别对每一项进行判断即可 【解答】 解： A由题意可知，极差为 200000 5000=195000（元），故本选项正确， B总人数为 1+3+5+70+10+8+3=100（人），则中位数为第 50、 51 个数的平均数，即中位数为 15000，故本选项正确， 现了 70 次，出现的次数最多，则众数是 15000，故本选项正确， D平均数 = （ 200000+150000 3+80000 5+15000 70+10000 10+8000 8+5000 3）=22790，故本选项错误， 故选 D 【点评】 此题考查了中位数、众数、平均数和极差的概念中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个 8如图，正八边形 接于圆，点 P 是弧 的任意一点，则 度数为（ ） A 30 B 15 C 60 D 45 【考点】 正多边形和圆 【分析】 连接 据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出 度数 【解答】 解：连接 图所示： 八边形 正八边形， =45， 5+45=90， 5 故选： D 【点评】 本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用；熟练掌握中心角公式，由圆周角定理求出结果是解决问题的关键 9如图，点 P 是圆锥的顶点， 圆锥的底面直径，且 C、 D 是底面圆周上的两点，满足 D=在该圆锥的侧面展开图上， 度数为（ ） A 15 B 20 C 30 D 60 【考点】 圆锥的计算 【分析】 根据圆锥展开的扇形的弧长等于原来圆锥底面圆的周长，可以求得扇形的圆心角，从而可以求得 度数 【解答】 解：设 a，则 a，圆锥展开图的扇形的圆心角为 x， 2a= ， 解得， x=120， 圆锥的底面直径，且 C、 D 是底面圆周上的两点，满足 D= 是底面圆的 ， 20 =20， 故选 B 【点评】 本题考查圆锥的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 10如图： ， ， 点 M、 N 分别是射线 动点，则N 的最小值是（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 【考点】 轴对称 【分析】 作 C 关于 对称点 E，过 E 作 N，连接 M+最小值，由对称的性质得到 直平分 出 等腰直角三角形，解直角三角形即可得到结论 【解答】 解：作 C 关于 对称点 E，过 E 作 N，连接 则 M+最小值， 由对称的性质得： 直平分 C=6， 5， 等腰直角三角形， ， 故选 C 【点评】 本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过线段平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值 二、填空题（本大题共 8 小题每小题 2 分，共 16 分 .） 11分解因式： 16 44（ 2+x）（ 2 x） 【考点】 提公 因式法与公式法的综合运用 【分析】 原式提取 4，再利用平方差公式分解即可 【解答】 解：原式 =4（ 4 =4（ 2+x）（ 2 x）， 故答案为： 4（ 2+x）（ 2 x） 【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12方程 的解是 x=2 【考点】 解分式方程 【分析】 观察可得最简公分母是 x（ x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 【解答】 解：方程的两边同乘 x（ x+2） ，得 2x=x+2， 解得 x=2 检验：把 x=2 代入 x（ x+2） =8 0 原方程的解为： x=2 故答案为： x=2 【点评】 本题考查了分式方程的解法，注： （ 1）解分式方程的基本思想是 “转化思想 ”，把分式方程转化为整式方程求解 （ 2）解分式方程一定注意要验根 13如图，直线 ，那么 值是 2 【考点】 平行线分线段成比例 【分析】 根据 得 = ，再根据条件 得 = ，再把 代入可得 值 【解答】 解： = ， = ， ， =2， 故答案为： 2 【点评】 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 14一次函数 y= 的图象经过一、二、四象限，则 k 的取值范围为 k 0 【考点】 一次函 数的性质 【分析】 根据一次函数 y= 的图象经过一、二、四象限可直接得出结论 【解答】 解： 一次函数 y= 的图象经过一、二、四象限， k 0 故答案为： k 0 【点评】 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数 y=kx+b（ k 0）中，当 k 0， b 0时，函数的图象经过一、二、四象限是解答此题的关键 15如图， ， 分 E， F，已知 8，则 B= 64 【考点】 平行四 边形的性质 【分析】 由平行四边形的性质及角平分线的性质可得 大小，进而可求解 B 的度数 【解答】 解：在 ， 8， 0， 2， 又 分 4， B= 4 故答案是： 64 【点评】 本题考查了平行四边形的知识，解答本题需要掌握三角形的内角和定理及平行线的性质 16如图： ， D， 直平分 0，则 C= 35 【考点】 线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质 【分析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出 据线段垂直平分线得出C，求出 C= 据三角形外角性质求出 C，代入求出即可 【解答】 解： D， 0， A= （ 180 =70， 直平分 C， C= C+ C=70， C=35 故答案为： 35 【点评】 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，能求出 度数和 D 是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 17如图：已知菱形 ，对角线 交于点 O， ， ，动点 P 在边运动，以点 O 为圆心， 半径作 O， O 于点 Q则在点 P 运动过程中，切线 长的最大值为 【考点】 圆的综合题 【分析】 首先连接 O 于点 Q，可得当 小时， 大，即当 大，然后由菱形与直角三角形的性质，求得 长，继而求得答案 【解答】 解：连接 O 于点 Q， 0， ， 四边形 菱形， C= 8=4， 6=3， =5， 定值，则当 小时， 大， 即 小时， 大， 当 ， 大，此时 P= = ， 故答案为： 【点评】 此题属于圆的综合题考查了切线的性质、菱形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识注意得到当 ， 大是关键 18如图：已知点 A、 B 是反比例函数 y= 上在第二象限内的分支上的两个点，点 C（ 0，3），且 足 C， 0，则线段 长为 2 【考点】 反比例函数的性质 【分析】 过点 A 作 y 轴于点 D，过点 B 作 y 轴于点 E，根据角的计算得出 “ 由此证出 设点 B 的坐标为（ m， ），由三角形全等找出点 A 的坐标，将点 A 的坐标代入到反比例函数解析式中求出 m 的值，将 点坐标即可得出点 B 的坐标，结合等腰直角三角形的 性质以及两点间的距离公式即可得出结论 【解答】 解：过点 A 作 y 轴于点 D，过点 B 作 y 轴于点 E，如图所示 0， 0， 又 y 轴， y 轴， 0， 0， 在 ，由 ， 设点 B 的坐标为（ m， ）（ m 0），则 E（ 0， ），点 D（ 0， 3 m），点 A（ 3， 3 m）， 点 A（ 3， 3 m）在反比例函数 y= 上， 3 m= ，解得： m= 3， m=2（舍去） 点 B 的坐标 为（ 3， 2）， =2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了反比例函数的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是求出点 B 的坐标本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设 出反比例函数图象上一点的坐标，根据边角关系表示出来另一点的坐标，再结合点在反比例函数图象上得出点的坐标，最后由两点间的距离公式求出线段的长度即可 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分） 19计算： （ 1）（ 1） 2016+20160（ ） 1+（ 2）（ x 3） 2 2（ x 2） 【考点】 实数的运算；整式的混合运算 【分析】 （ 1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （ 2）原式利 用完全平方式化简，去括号合并即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 =1+1（ 3） +1=1+1+3+1=6； （ 2）原式 6x+9 2x+4=8x+13 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20（ 1）解方程： 4x+2=0 （ 2）解不等式组： 【考点】 解一元二次方程 一元一次不等式组 【分析】 （ 1）首先找出方程中得 a、 b、 c，再根据公式法求出 4值，计算x= ，即可得到答案； （ 2）先求出其中各不等式的解集，再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，求出这些解集的公共部分 【解答】 解：（ 1） =42 4 1 2=8， ， ， ； （ 2） ， 由 得 x 2， 由 得 x 2， 原不等式组的解集是 2 x 2 【点评】 此题主要考查了解一元二次方程，以及解一元一次不等式组，关键是熟练掌握计算公式与计算方法 21已知 ， 对角线， 分 点 E， 分 ，求证： F 【考点】 平行四边形的性质 【分析】 先根据平行四边形的性质得出 后利用角平分线的知识证明 而根据三角形全等的判定定理即可作出证明 【解答】 证明： 四边形 平行四边形， D， 分 分 ， ， F 【点评】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两三角形全等所需要的条件，然后根据三角形全等的判定定理进行证明 22今年 4 月 23 日是第 21 个 “世界读书日 ”，也是江苏省第 二个法定的全民阅读日由市文明办、市全民阅读办、市文广新局等单位联合主办的 “2016 无锡市第二个全民阅读日 ”系列活动即将启动某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （ 1）本次抽样调查的样本容量是多少？ （ 2）请将条形统计图补充完整 （ 3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在 1 时对应的圆心角度数 （ 4）根据本次抽样调查，试估计我市 12000 名初二学生中日人均阅读时间在 时的多少人 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】 （ 1）根据第一组的人数是 30，占 20%，即可求得总数，即样本容量； （ 2）利用总数减去另外两段的人数，即可求得 1 小时的人数，从而作出直方图； （ 3）利用 360乘以日人均阅读时间在 1 时的所占的比例； （ 4）利用总人数 12000 乘以对应的比例即可 【解答】 解：（ 1）样本容量是： 30 20%=150； （ 2）日人均阅读时间在 1 小时的人数是： 150 30 45=75（人） ； （ 3）人均阅读时间在 1 时对应的圆心角度数是： 360 =108； （ 4） 12000 =9600（人） 答：初二学生中日人均阅读时间在 时的 9600 人 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个 项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 23如图：无锡市某小区对垃圾进行分类处理，分为 A 厨房垃圾、 B 其它垃圾、 C 可回收垃圾、 D 有害垃圾四类要求居民自觉准确投放但时有居民不能安要求投放，于是小区组织志愿者进行监督和再分拣某 “马大哈 ”居民一天晚上带着鱼骨和废旧电池两种垃圾在黑暗中随手将它们分别投入四个垃圾桶内的任意两个不同的垃圾桶中 （ 1）他（马大哈）把鱼骨投在正确的垃圾桶内的概率是 （请直接写出结果） （ 2）他（马大哈） 至少把一件垃圾投在正确的垃圾桶内的概率是多少？（请用 “画树状图 ”或 “列表 ”等方式给出分析过程） 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 （ 1）由概率公式直接计算即可； （ 2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果和至少把一件垃圾投在正确的垃圾桶内的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： （ 1）他（马大哈）把鱼骨投在正确的垃圾桶内的概率 = ， 故答案为 ； （ 2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中至少把一件垃圾投在正确的垃圾桶内的有 5 种， 所以至少把一件垃圾投在正确的垃圾桶内的概率 = 【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率 =所 求情况数与总情况数之比 24在 ， C=90， A=30， O 在斜边 ，半径为 4圆 O 过点 B，切点 D，交 点 E （ 1）求线段 长； （ 2）求图中阴影部分面积 【考点】 切线的性质；扇形面积的计算 【分析】 （ 1）如图 1 所示：连接 切线的性质可知 据含 30直角三角形的性质可求得 长，从而可求得 长，然后在三角形 依据含 30直角三角形的性质可求得 长，接下来，证明 等边三角形，从而可求得 长，依据 C 求得 长； （ 2）如图 2 所示：连接 点 E 作 足为 F在 ，先求得长度，然后依据 S 阴 =S 梯形 S 扇形 【解答】 解：（ 1）如图 1 所示：连接 O 相切， D 为切点， 在 ， A=30， ， +4=12 在 ， A=30， 2， A=30， C=90， B=60 又 E， 等边三角形 E=0B=4 C 4=2 （ 2）如图 2 所示：连接 点 E 作 足为 F B+ 20 20 等边三角形， 0 0 在 ， S 阴 =S 梯形 S 扇形 =6 【点评】 本题主要考查的是切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定、勾股定理的应用以及不规则图形的面积计算方法，掌握本题的辅助线的作法是 解题的关键 25 “夕阳红 ”养老院共有普通床位和高档床位共 500 张已知今年一月份入住普通床位老人300 人，入住高档床位老人 90 人，共计收费 51 万元；今年二月份入住普通床位老人 350 人，入住高档床位老人 100 人，共计收费 58 万元 （ 1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？ （ 2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有入住高档床位数不得超过普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养老院企业 2400 元的补贴经测算，该养老院普通床位的运营 成本是每月 1200元 /张，入住率为 90%；高档床位的运营成本是每月 2000 元 /张，入住率为 70%问该养老院应该怎样安排 500 张床的普通床位和高档床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润 =月收费月成本 +月补贴） 【考点】 一次函数的应用；二元一次方程组的应用 【分析】 （ 1）设普通床位和高档床位每月收费为 x， y 元，根据题意列出方程组解答即可； （ 2）设安排普通床位 a 张，根据题意列出不等式解答即可 【解答】 解：（ 1）设普通床位和高档床位每月收费为 x， y 元， 可得： ， 解得： ， 答：普通床位和高档床位每月收费分别为 800 元， 3000 元； （ 2）设安排普通床位 a 张，可得： 500 a ， 解得： a 375， 每张床位月平均补贴 =2400 12=200 元， 设月利润总额为 w，根据题意可得： w=90% 800a+70% 3000（ 500 a） 90% 1200a70% 2000（ 500 a） +200a 905+200（ 500 a） 70%= 1020a+420000， 1020 0， w 随着 a 的增大而减小，要使 w 取得最大值， a 应该取最小值， 当 a=375 时， w 有最大值 = 1020 375+420000=37500， 答：应该安排普通床位 375 张，高档床位 125 张，才能使每月的利润最大，最大为 37500元 【点评】 此题主要考查了一次函数的应用，关键是根据题意列出方程组和不等式进行解答 26（ 10 分）（ 2016无锡一模）已知在平面直角坐标系中，点 A（ 1， 0）和 C（ 1， 1），动点 D（ t， t）（点 D 与点 C 不重合），二次函数 y=4ax+c 的图象与 x 轴相交于点 （ 1）设二次函数 y=4ax+c 的顶点为 P，若点 P 与点 D 关于 x 轴对称，求此二次函数的解析式 （ 2）在 D 运动时，若在坐标轴上找一点 Q，使 直角三角形，这样的点 Q 有且仅有 4 个，求满足条件的 t 的值或取值范围 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）可先求出点 P 的横坐标，从而可求出点 D 的坐标，然后把点 A、 D 的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题； （ 2）只需先考虑几个临界位置（ 点 D 在原点， 点 D 在线段 ，且以 直径的圆与坐标轴相切， 点 D 在线 段 延长线上，且以 直径的圆与坐标轴相切），然后结合图象就可解决问题 【解答】 解：（ 1）由题意得：点 P 的横坐标为 =2 点 P 与点 D 关于 x 轴对称， 点 D 的横坐标为 2， t=2， 点 D（ 2， 2） 把点 A（ 1， 0）， D（ 2， 2）代入 y=4ax+c 得： ， 解得 ， 二次函数的解析式为 y= x ； （ 2） 当点 D 在原点时， 以点 C 为直角顶点的点 Q 有两个， 以点 D 为直角顶点的点 Q 不存在， 以点 Q 为直角顶点的点 Q 有两个（此时点 Q 是以 直径的圆与坐标轴的交点）， 当点 D 在原点时，使 直角三角形的点 Q 有且仅有 4 个，此时 t=0； 当点 D 在线段 ，且以 直径的 E 与坐标轴相切时，如图 1， 以点 C 为直角顶点的点 Q 有两个， 以点 D 为直角顶点的点 Q 有两个， 以点 Q 为直角顶点的点 Q 有两个（此时点 Q 是以 直径的圆与坐标轴的交点）， 使 直角三角形的点 Q 有且仅有 6 个，此时点 E 到坐标轴的距离 于 E 的半径 有 = ， 解得 t=3 2 ； 当点 D 在线段 长线上，且以 直径的 E 与坐标轴相切时，如图 2， 以点 C 为直角顶点的点 Q 有两个， 以点 D 为直角顶点的点 Q 有两个， 以点 Q 为直角顶点的点 Q 有两个（此时点 Q 是以 直径的圆与坐标轴的交点）， 使 直角三角形的点 Q 有且仅有 6 个，此时点 E 到坐标轴的距离 于 E 的半径 有 = ， 解得 t=3+2 结合图象可得：满足条件的 t 的取 值范围是 3 2 t 3+2 或 t=0 【点评】 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线的对称轴、两点关于 线与圆相切、圆周角定理等知识，运用分类讨论的思想和临界值法是解决第（ 2）小题的关键 27（ 10 分）（ 2016无锡一模）小明和小颖家住在同一地铁站口的同一小区内星期天两人各自去南禅寺书城买书小颖乘地铁，小明由爸爸开私家车前往已知该段私家车行驶的路线和地铁路线 恰好在同一直线上，且私家车的速度比地铁慢他们早上同时出发，设出发后的时间为 t 分钟，小明和小颖之间的距离为 S， S 与 t 的部分函数图象如图所示 （ 1）填空： 该小区与南禅寺相距 22 千米 私家车的速度为 1 千米 /分钟，地铁的速度为 2 千米 /分钟， 图中点 A 的实际意思是： 小颖乘地铁用 11 分钟到达南禅寺，此时与小明相距 11 千米 （ 2）如