北京市西城区2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年北京市西城区高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设全集 U=R，集合 A=x|0 x 2， B=x|x 1，则集合（ B=（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C（ 2， +） D 2， +） 2若复数 z 满足 z+zi=2+3i，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A+B） = ， a=3， c=4，则 ） A B C D 4某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A 2 B C 3 D 2 5 “a， b， c， d 成等差数列 ”是 “a+d=b+c”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6某市家庭煤气的使用量 x（ 煤气费 f（ x）（元）满足关系 f（ x） = ，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量 煤气费 一月份 44 元 二月份 2514 元 三月份 3519 元 若四月份该 家庭使用了 20煤气，则其煤气费为（ ） A B 11 元 C D 10 元 7如图，点 A， B 在函数 y= 的图象上，点 C 在函数 y=图象上，若 直线 y 轴，设点 A 的坐标为（ m， n），则 m=（ ） 第 2 页（共 19 页） A 2 B 3 C D 8设直线 l： 3x+4y+a=0，圆 C： （ x 2） 2+，若在圆 C 上存在两点 P， Q，在直线 l 上存在一点 M，使得 0，则 a 的取值范围是（ ） A 18， 6 B 6 5 ， 6+5 C 16， 4 D 6 5 ， 6+5 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9在二项式 的展开式中，常数项等于 _ 10设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+3y 的最大值是 _ 11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 _ 12设双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y= x，则其离心率为 _；若点（ 4，2）在 C 上，则双曲线 C 的方程为 _ 13如图， 圆内接三角形， 圆的弦，且 点 A 做圆的切线与 ， 于点 F，若 C=4， ，则 =_； _ 14在某中学的 “校园微电影节 ”活动中，学校将从微电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”两个角度来进行评优若 A 电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”中至少有一项高于 B 电影，则称 A 电影不亚于 B 电影，已知共有 10 部微电影参展 ，如果某部电影不亚于其他 9 部，就称此部电影为优秀影片，那么在这 10 部微电影中，最多可能有 _部优秀影片 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） =（ 1+ （ 1）若 为第二象限角，且 ，求 f（ ）的值； 第 3 页（共 19 页） （ 2）求函数 f（ x）的定义域和值域 16某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样 的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按 “初中学生 ”和 “高中学生 ”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： 0， 10），10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）写出 a 的值； （ 2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数； （ 3）从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人，并用 X 表示其中初中生的人数，求 X 的分布列 和数学期望 17如图，正方形 边长为 4， E， F 分别为 中点，将正方形 着线段 起，使得 0，设 G 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）设 P， Q 分别为线段 一点，且 平面 线段 度的最小值 18设 a R，函数 f（ x） = （ 1）若函数 f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切 线与直线 y=3x 2 平行，求 a 的值； （ 2）若对于定义域内的任意 存在 得 f（ f（ 求 a 的取值范围 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 B（ 0， m）（ m 0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E， F 两点，点 B 关于原点的对称 点为 D，若点 D 总在以线段 直径的圆内，求 m 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 20已知任意的正整数 n 都可唯一表示为 n=k+a +a +0，其中， ， 0， 1， k N 对于 n N*，数列 足：当 ， 有偶数个 1 时， ；否则 ，如数 5可以唯一表示为 5=1 22+0 21+1 20，则 （ 1）写出数列 前 8 项； （ 2）求 证：数列 连续为 1 的项不超过 2 项； （ 3）记数列 前 n 项和为 满足 026 的所有 n 的值（结论不要求证明） 第 5 页（共 19 页） 2016 年北京市西城区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设全集 U=R，集合 A=x|0 x 2， B=x|x 1，则集合（ B=（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C（ 2， +） D 2， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据全集 U=R 求出 A 的补集，再求 A 的 补集与 B 的交集即可 【解答】 解： 全集 U=R，集合 A=x|0 x 2=（ 0， 2）， B=x|x 1=（ ， 1）， ， 0 2， +）； （ B=（ ， 0 故选： B 2若复数 z 满足 z+zi=2+3i，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 z+zi=2+3i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 在复平面内 z 对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解：由 z+zi=2+3i， 得 = ， 则在复平面内 z 对应的点的坐标为：（ ， ），位于第一象限 故选： A 3在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A+B） = ， a=3， c=4，则 ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由内角和定理及诱导公式知 A+B） =，再利用正弦定理求解 【解答】 解： A+B+C=， A+B） =， 又 a=3， c=4， = ， 第 6 页（共 19 页） 即 = ， ， 故选 B 4某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A 2 B C 3 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥， 底面是一个直角梯形， B=2、 ， 底面 ， 该四棱锥最长棱的棱长为 = =3， 故选： C 5 “a， b， c， d 成等差数列 ”是 “a+d=b+c”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 a， b， c， d 成等差数列，可得： a+d=b+c，反之不成立：例如 a=0， d=5， b=1，c=4即可判断出结论 【解答】 解 ：由 a， b， c， d 成等差数列，可得： a+d=b+c，反之不成立：例如 a=0， d=5，b=1， c=4 “a， b， c， d 成等差数列 ”是 “a+d=b+c”的充分不必要条件 故选： A 第 7 页（共 19 页） 6某市家庭煤气的使用量 x（ 煤气费 f（ x）（元）满足关系 f（ x） = ，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量 煤气费 一月份 44 元 二月份 2514 元 三月份 3519 元 若四月份该家庭使用了 20煤 气，则其煤气费为（ ） A B 11 元 C D 10 元 【考点】 函数的值 【分析】 根据待定系数法求出 A、 B、 C 的值，求出 f（ x）的表达式，从而求出 f（ 20）的值即可 【解答】 解：由题意得： C=4， 将（ 25， 14），（ 35， 19）代入 f（ x） =4+B（ x A），得： ，解得 ， f（ x） = ， 故 x=20 时： f（ 20） = 故选： A 7如图，点 A， B 在函数 y= 的图象上，点 C 在函数 y=图象上，若 直线 y 轴，设点 A 的坐标为（ m， n），则 m=（ ） A 2 B 3 C D 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 根据题意，设出 A、 B、 C 的坐标，由线段 y 轴， 等边三角形 ，得出 关系，求出 m、 n 的值，计算出结果 【解答】 解：根据题意，设 B（ 2+ A（ m， n）， C（ 线段 y 轴， 等边三角形， ， 2+n， m=2n 2， 4m=2n； 又 m= ， m=， 第 8 页（共 19 页） x0=m+ ； 又 2+n=1， n 1， n 1； m+ =2n 1； 2m+2 =2n=4m， m= ， 故选： D 8设直线 l： 3x+4y+a=0，圆 C：（ x 2） 2+，若在圆 C 上存在两点 P， Q，在直线 l 上存在一点 M，使得 0，则 a 的取值范围是（ ） A 18， 6 B 6 5 ， 6+5 C 16， 4 D 6 5 ， 6+5 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 C（ 2， 0）到直线 l 的距离小于或等于 2，再由点到直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解 【解答】 解：圆 C：（ x 2） 2+，圆心为：（ 2， 0），半径为 ， 在圆 C 上存在两点 P， Q，在直线 l 上存在一点 M，使得 0， 在直线 l 上存在一点 M，使得 M 到 C（ 2， 0）的距离等于 2， 只需 C（ 2， 0）到直线 l 的距离小于或等于 2， 故 2，解得 16 a 4， 故选： C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9在二项式 的展开式中，常数项等于 160 【考点】 二项式定理 【分析】 展开式的通项为 = ，要求常数项，只要令 62r=0 可得 r，代入即可求 【解答】 解：展开式的通项为 = 令 6 2r=0 可得 r=3 常数项为 =160 故答案为： 160 10设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+3y 的最大值是 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出 z 的最大值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 ，解得 A（ ， ）， 第 9 页（共 19 页） 由 z=x+3y 得： y= x+ ， 显然直线过 A 时， z 最大， z 的最大值是 z= +3 = ， 故答案为： 11执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=2， S=1 S= ， i=3 满足条件 i 10，执行循环体， i=5， S= = ， i=6 满足条件 i 10，执行循环体， i=11， S= = ， i=12 不满足条件 i 10，退出循环，输出 S 的值为 第 10 页（共 19 页） 故答案为： 12设双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y= x， 则其离心率为 ；若点（ 4， 2）在 C 上，则双曲线 C 的方程为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线渐近线和 a， b 的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求 ，即可得到结论 【解答】 解： 双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y= x， = ，即 = =1= ， 则 ，则 e= ， 设双曲线方程为 ， 0， 若点（ 4， 2）在 C 上， = =8 4=4， 即双曲线方程为 ， 即 ， 故答案为： 13如图， 圆内接三角形， 圆的弦，且 点 A 做圆的切线与 ， 于点 F，若 C=4， ，则 = ； 6 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 利用平行线的性质，求出 ；利用弦切角定理、切割线定理，求 【解答】 解： ， 第 11 页（共 19 页） = = 由弦切角定理得 因为， C，所以 所以直线 直线 因为 以是平行四边形 所以 C=4 由切割线定理，可得 B （ 4+5） =36， 所以 故答案为： ； 6 14在某中学的 “校园微电影节 ”活动中，学校将从微电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”两个角度来进行评优若 A 电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”中至少有一项高于 B 电影，则称 A 电影 不亚于 B 电影，已知共有 10 部微电影参展，如果某部电影不亚于其他 9 部，就称此部电影为优秀影片，那么在这 10 部微电影中，最多可能有 10 部优秀影片 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 记这 10 部微电影为 这 10 部微电影为先退到两部电影的情形，若 点播量，且 专家评分 专家评分，则优秀影片最多可能有 2 部，以此类推可知：这 10 部微电影中，优秀影片最多可能有 10 部 【解答】 解：记这 10 部微电影为 设这 10 部微电影为先退到两部电影的情形，若 点播量 点播量，且 专家评分 专家评分，则优秀影片最多可能有 2 部； 再考虑 3 部电影的情形，若 点播量 点播量 点播量，且 专家评分 专家评分 专家评分，则优秀影片最多可能有 3 部 以此类推可知：这 10 部微电影中，优秀影片最多可能有 10 部 故答案为： 10 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） =（ 1+ （ 1）若 为第二象限角，且 ，求 f（ ）的值； （ 2）求函数 f（ x）的定义域和值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域 【分析】 （ 1）由 为第二象限角及 值，利用同角三角函数间的基本关系求出 值，再代入 f（ ）中即可得到结果 （ 2）函数 f（ x）解析式利用二倍角和辅助角公式将 f（ x）化为一个角的正弦函数，根据 可得到函数值域 【解答】 解：（ 1） 为第二象限角，且 ， ， ， f（ ） =（ 1+ 第 12 页（共 19 页） （ 2）函数 f（ x）的定义域为 x|x ， k Z， 化简 f（ x） =2x+ ） + ， x ， k Z 2x+ 2， k Z 1 2x+ ） 1 f（ x） f（ x）的值域为 ， 16某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按 “初中学生 ”和 “高中学生 ”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： 0， 10），10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）写出 a 的值； （ 2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数； （ 3）从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人，并用 X 表示其中初中生的人数，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）根据频率频率直方图的性质，可求得 a 的值； （ 2）由分层抽样，求得初中生有 60 名，高中有 40 名，分别求得初高中生阅读时间不小于30 小时的学生的频率及人数，求和； （ 3）分别求得，初高中生中阅读时 间不足 10 个小时的学生人数，写出 X 的取值及概率，写出分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由频率直方图的性质，（ a+ 10=1， a= （ 2）由分层抽样可知：抽取的初中生有 60 名，高中有 40 名， 初中生中，阅读时间不小于 30 小时的学生的频率为（ 10= 第 13 页（共 19 页） 所有的初中生阅读时间不小于 30 小时的学生约有 1800=450 人， 同理，高中生阅读时间不小于 30 小时的学生的频率为（ 10= 学生人数约为 1200=420 人， 所有的学生阅读时间不小于 30 小时的学生约有 450+420=870， （ 3）初中生中阅读时间不足 10 个小时的学生的频率为 10=本人数为 60=3 人， 同理，高中生中阅读时间不足 10 个小时的学生的频率为 10 40=2， 故 X 的可能取值为： 1， 2， 3， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列为： X 1 2 3 P E（ X） =1 +2 +3 = 17如图，正方形 边长为 4， E， F 分别为 中点，将正方形 着线段 起，使得 0，设 G 为 中点 （ 1）求证： （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）设 P， Q 分别为线段 一点，且 平面 线段 度的最小值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算 【分析】 （ 1）由矩形性质得出 平面 出 （ 2）证明 平面 G 为原点建立空间直角坐标系，求出 和平面 法向量 的坐标，则 平面 成角的正弦值为 | |； （ 3）设 P（ 0， 0， k）（ 0 k ）， = （ 0 1），求出 的坐标，令 =0 得出 k 与 的关系，得出 | |关于 的函数，根据 的范围求出函数的最小值 【解答】 （ 1）证 明： E， F 分别正方形 边 中点， 又 面 平面 F=F， 平面 平面 （ 2） F， 0， 第 14 页（共 19 页） 等边三角形， G 是 中点， 又 面 F=F， 平面 设 点为 H，连结 两垂直， 以 G 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则 G（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 4， 0） C（ 0， 4， ）， F（ 1， 0， 0） =（ 1， 0， 0）， =（ 1， 0， ）， =（ 2， 4， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 z=2 得 =（ 2 ， ， 2） =2 ， | |= ， | |=1 ， = = 直线 平面 成角的正弦值为 （ 3）设 P（ 0， 0， k）（ 0 k ）， = （ 0 1）， 则 =（ 1， 0， k）， =（ 1， 4， ）， =（ ， 4， ）， =（ 1， 4， k） 平面 =（ 0， 0， ）为平面 一个法向量 平面 ， = （ ） =0， k= | |= = 当 = 时， | |取得最小值 18设 a R，函数 f（ x） = （ 1）若函数 f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线与直线 y=3x 2 平行，求 a 的值； 第 15 页（共 19 页） （ 2）若对于定义域内的任意 存在 得 f（ f（ 求 a 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数 ，求得切线的斜率，解方程可得 a 的值； （ 2）对于定义域内的任意 存在 得 f（ f（ 即为 f（ x）在 x a 不存在最小值，讨论 a=0， a 0， a 0，求得单调区间和极值，即可得到 a 的范围 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） = 的导数为 f（ x） = ， x a， 可得函数 f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线斜率为 ， 由题意可得 =3，解得 a= 1； （ 2）对于定义域内的任意 存在 得 f（ f（ 即为 f（ x）在 x a 不存在最小值， a=0 时， f（ x） = 无最小值，显然成立； a 0 时， f（ x）的导数为 f（ x） = ， 可得 f（ x）在（ ， a）递减；在（ a， 3a）递增，在（ 3a， +）递减， 即有 f（ x）在 x=3a 处取得极大值， 当 x a 时， f（ x） 0； x a 时， f（ x） 0取 a， a 即可， 当 a 时， f（ x）在（ ， a）递减，且 |x1+a| a， f（ f（ |x1+a|），故存在 x2=|x1+a|，使得 f（ f（ 同理当 a a 时，令 x2=|x1+a|，使得 f（ f（ 符合； 则有当 a 0 时， f（ f（ 立； 当 a 0 时， f（ x）在（ ， 3a）递减；在（ 3a， a）递增，在（ a， +）递减， 即有 f（ x）在 x=3a 处取得极小值， 当 x a 时， f（ x） 0； x a 时， f（ x） 0 f（ x） f（ 3a），当 a 时，不存在 得 f（ f（ 综上可得， a 的范围是 0， +） 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 B（ 0， m）（ m 0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E， F 两点，点 B 关于原点的对称点为 D，若点 D 总在以线段 直径的圆内，求 m 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意列出方程组求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 第 16 页（共 19 页） （ 2）当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=0， |2，点 B 在椭圆内，由 ，得（ 2） 2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由题意，得 ， 又 a2=b2+得 a= ， b=1， c=1， 椭圆 C 的方程为 （ 2）当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l 的方程为 x=0， 此时， E， F 为椭圆的上下顶点，且 |2， 点 D 总在以线段 直径的圆内，且 m 0， 0 m 1， 点 B 在椭圆内， 由方程组 ，得（ 2） 2=0， 直线 l 与椭圆 C 有两个公共点， =（ 42 4（ 2）（ 22） 0， 设 E（ F（ 则 ， ， 设 中点 G（ 则 ， ， G（ ， ）， | = ， | = ，