第九章多元函数微分法及其应用电子教案第六节

一、一元向量值函数及其导数,二、空间曲线的切线与法平面,三、曲面的切平面与法线,一、一元向量值函数及其导数,1.引例,引例已知空间曲线的参数方程:,则的向量方程为,此方程确定映射,称此映射为一元向量,值函数.,令,对上的动点M,显然,即是,的终点M,的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.,要利用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.,定义给定数集DR,称映射,为一元向,量值函数（简称向量值函数）,记为,定义域,自变量,因变量,向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、,连续和导数密切相关,表进行讨论.,因此下面仅以n=3的情形为代,2.定义,极限：,连续：,导数：,设,则,3.向量值函数的导数运算法则,设u,v是可导向量值函数,是可导函数,则,C是常向量,c是任一常数,4.向量值函数的导向量的几何意义,在R3中,设,的终端曲线为,增长方向一致.,则,设,M,N,表示终端,曲线在t0处的切向量,其指向与t的,设,表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,速度向量：,加速度向量：,5.向量值函数的导向量的物理意义,则有,例1设,求,例2求圆锥螺线,在与,相应的点处的单位切向量,例3一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿,圆柱螺线,螺线式向上，求,(1)滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；,(2)滑翔机在任意时刻t的速率；,(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻,二、空间曲线的切线与法平面,1.定义：切线是割线的极限,2.切向量,设空间曲线的参数方程为,假设上式中的三个函数都在,上可导，且三个导数,不同时为零,由向量值函数的导向量的几何意义知，向,量,为曲线在t=t0处的切,向量,3.切线和法平面方程,切线方程,切向量,法平面方程,通过切点且与切线垂直的平面称为法平面，方程为,如果空间曲线的方程为,切线方程,法平面方程,如果空间曲线的方程为,M(x0,y0,z0)是曲线上的一个点,又设F、G有对各个变,量的连续偏导数，且,则方程组在点M的某个邻域内确定了一组函数,于是切向量为,下面来求,为此在恒等式,两边分别对x求导，得,即,由假设可知，在点M的某个邻域内,故可解得,切向量,于是可求得切向量为,切线方程,法平面方程,例4求曲线x=t,y=t2,z=t3在点(1,1,1)处的切线,及法平面方程,例5求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1),处的切线及法平面方程,4.光滑曲线,当曲线由参数方程x=(t),y=(t),z=(t)给,出时，,如果(t),(t),(t)连续且不同时为零，,那么,曲线在其上每点处都有切线，,并且切线随着切点的移,动而连续地转动，,称这样的曲线为光滑曲线,如果曲线,由一般方程F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0给出，,则为,光滑曲线的条件是F、G有连续偏导数，且,不全为零,例如,光滑曲线,在原点不光滑,光滑曲线,分段光滑,O,O,O,O,x,x,x,x,y,y,y,y,z,z,z,z,三、空间曲面的切平面与法线,1.曲面方程为隐函数的情形,设空间曲面的方程为,F(x,y,z)=0,M(x0,y0,z0)为曲面上的一点,函数F(x,y,z)的偏导数在该,点连续且不同时为零,在曲,面上过点M任意引一条曲线,设曲线的参数方程为,t=t0对应于点M(x0,y0,z0)，,且,不全为零,则曲线在M处的切向量为,切线方程为,下面证明，在曲面上通过点,M且在点M处具有切线的任何曲线,它们在点M处的切线都在同一个,平面上,只需证明，任意曲线在,点M处的切向量垂直于定向,向量即可,因为曲线完全在曲面上，所以有恒等式,又因为F(x,y,z)在点M(x0,y0,z0)处有连续的偏导数,且,存在,所以这恒等式左边的复合,函数在t=t0时有全导数，且这全导数等于零.,即有,引入向量,切向量,则上式即为,这就证明了，曲面上的过点M且在M处有切线的任,意曲线，在M处的切向量都垂直于定向量,过点M，且以,为法向量的平面称为曲面在M处的,切平面，其方程为,过点M，且垂直于切平面的直线称为曲面在M处的,法线，其方程为,向量,称为,曲面在M处的一个法向量.,2.曲面方程为显函数的情形,设曲面方程为,z=f(x,y).,令F(x,y,z)=f(x,y)z,则由前面的讨论即得,切平面方程,法线方程,例6求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处的切平面,及法线方程,例7求Roman曲面x2y2+y2z2+z2x22xyz=0在点,处的切平面及法线方程,*3.曲面方程为参数方程的情形,设曲面的方程为下列参数方程,上的一点M0(x0,y0,z0)对应于uOv平面上的点P0(u0,v0),如果x(u,v),y(u,v),z(u,v)在包含P0(u0,v0)点的某区域内,具有对各变量的连续偏导数，并且,不为零向量，则曲面在点M0处存在切平面并有法向量,例8求正弦曲面,面及法线方程,在点,处的切平,例9求螺旋面,面及法线方程,在点M0(1,0,0)处的切平,4.光滑曲面,当曲面由方程F(x,y,z)=0给出时，,如果偏导数,Fx,Fy,Fz连续且不同时为零，,(或者当由方程z=f,(x,y)给出时，zx,zy均连续)，,那么从几何上看就是，,曲面在其上每点处都存