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高速电梯液压主动导靴设计
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小弯曲刚度电梯钢丝绳的振动W.D.Zhu,G.Y.Xu马里兰州巴尔的摩大学，机械工程系1.引言 钢丝绳用于许多工程场合，如吊桥1，电梯2，动力传输线3，及船舶牵引停泊系统4时，由于弹性度高且内在阻尼低，钢丝绳会受迫振动。Irvine Caughey5 Triantafyllou6作了水平方向及倾斜角度上有支撑物的吊索的动力学研究。Sergev Iwan7 Cheng Perkins8分析了有附加重量的钢丝绳的振动。Simpson9 Triantafyllou10 Perkins Mote11研究了移动钢丝绳的平面内及三维振动。Wickert Mote12 Zhu Mote13分析了移动的带有效载荷钢丝绳的动态响应。尽管在大多数研究中钢丝绳的弯曲刚度都被忽略了，但在Refs.14，15的模型中，为了避免钢丝绳张力为零时出现异常，将它也考虑在内了。当钢丝绳受到外部的力矩3，16或者需要测定局部弯曲应力时，弯曲刚度也要被计算进来。 数个研究人员2，18-21已经开展了对电梯钢丝绳振动的研究。Chi Shu2计算出了固定的钢丝绳-轿厢系统垂直振动的自然频率。Roberts18用近似集中质量模拟高层电梯中升降机与补充钢丝绳的垂直动力学。Yamamoto等人19分析了长度可缓慢线性改变细绳的自由及受迫水平振动。Terumichi等人20检测了有质量-弹簧端且长度可缓慢线性改变移动的细绳的水平振动。Zhu Ni21分析了长度可变的移动介质的动力稳定性，显示出振动能量随着伸长-收缩分别减少-增加。 由于相对于张力来说弯曲刚度很小，在Ref.21的模型里将运动中的电梯钢丝绳模拟为移动细绳。通过在包含弯曲刚度的固定及运动的电梯钢丝绳模型中代入不同的边界条件，可以研究出弯曲刚度及边界条件对其动态特性的影响。集中模型及电梯曳引系统模型中最理想的刚度和阻尼系数可就此确定。2.固定的钢丝绳模型2.1基本公式 我们考虑了六种固定的电梯钢丝绳模型来估算弯曲刚度及边界条件对其动态特性的影响。因为竖直的钢丝绳不会伸长，就可以模拟为一拉紧的细绳和张紧的梁。Fig.1所示为模拟沿假定为刚性的导轨电梯曳引系统的梁-细绳模型。Fig.2为电梯曳引系统梁-细绳模型合刚度，阻尼系数。在所有的情况中，轿厢的质量记为。因为Fig.1中轿厢质量有限，在Fig.2中就可以处理为一个质点。当如Figs.1(a)和(b)，及Figs.2(a)和(b)中用张紧的梁模拟钢丝绳时，钢丝绳在平面的自由水平振动为： （1）这里下标表示偏微分，为钢丝绳质点时刻位置时的水平位移，为钢丝绳的长度，是钢丝绳单位长度的质量，为弯曲刚度，为位置的钢丝绳张力： （2）为重力加速度。Fig.1(a)中两端固定的钢丝绳的边界条件为： （3） (a) (b) (c) Fig.1. 沿假定为刚性的导轨固定电梯曳引系统示意图 (a)梁两端固定模型 (b)梁两端铰接模型 (c)细绳模型Fig.2.轿厢以质点模拟，悬吊导轨合刚度刚度阻尼系数的固定电梯钢丝绳示意图 (a)梁处固定模型 (b)梁处铰接模型 (c)细绳模型钢丝绳两端铰接，即Fig.1(b)，边界条件为： （4）对于Fig.2(a)与(b)中的钢丝绳模型，处的边界条件与（3）（4）中一样，分别的处的边界条件为： （5）注意（5）中处的弯曲力矩没有出现，这是由于轿厢的转动惯量被忽略了。将代入（1）中可得到Figs.1(c)与2.(c)的方程，对应的处的边界条件为。Figs.1(c)在处的边界条件为，将代入（5）的第二个等式中可得到Figs.2(c)在处的边界条件。由于Figs.1(a)与2(a)中固定端的斜度为零，就不能由设得到Figs.1(c)与2(c)的模型公式。Fig.2中轿厢的质量除提供了标称张力之外，还产生了(5)第二个等式中的惯性力。 Figs.1和2模型中的偏微分方程可通过Galerkin法和采样法分别离散化。由（1）解得采样形式为： （6）这里是测试函数，为广义坐标，是包含的采样数。Fig.1模型的测试函数满足所有的边界条件，除（5）中的力边界条件外Fig.2模型的测试函数也满足其他的边界条件。将（6）代入（1）及（5）第二等式中，用 ，从积分到，配上和边界条件就得到对应Fig.2(a)和(b)模型的离散方程： （7）其中 是广义坐标矢量，分别为质量，刚度与阻尼的对称矩阵： （8） （9） （10）这里上标表示对的微分。将代入（9）中联立（7）（10）得到Fig.2(c)的离散方程。将，代入（8）（9）（10）中联立（7）（10）得到Fig.1(a)和(b)的离散方程；将，代入（8）（9）（10）中联立（7）（10）得到Fig.1(c)的离散方程。因为得出的Fig.1(a)和(b)的离散方程有着同样的形式，所以使用的测试函数满足不同的边界条件。这对Fig.2(a)和(b)也适用。处在均匀张力下两端固定梁的特征函数可作为Fig.1(a)的测试函数。处在均匀张力下两端铰接梁的特征函数可作为Fig.1(b)的测试函数。 两端固定细绳模型的特征函数和两端铰接梁的特征函数一样，用作Fig.1(c)的测试函数。由于测试函数相同，在Fig.1(b)的离散方程中令可得到Fig.1(c)的离散方程。处在均匀张力下悬臂梁的特征函数可作为Fig.2(a)的测试函数。处在均匀张力下单端铰接梁的特征函数可作为Fig.2(b)的测试函数。处在均匀张力下单端固定细绳的特征函数可作为Fig.2(c)的测试函数。注意单端固定梁是刚性的而单端固定的细绳则不是的。由于用到了不同的测试函数，Fig.2(c)的离散方程不能做为一个特例从Fig.2(b)中获得。所有的测试函数都被规格化，在附录A中列出。按正交关系Fig.1的质量矩阵为对角阵。假设Fig.1和2的初始位移与速度分别为及，广义坐标的初始条件为： （11）Fig.1(a)和(b)模型的能量为： （12）对应的Fig.2(a)和(b)为 （13）将代入（12）（13）中分别可得Fig.1(c)和2(c)模型的能量。将（6）代入（12）（13）中可得Fig.1和2模型的能量离散表达式： （14）这里与是相应的质量与刚度矩阵。对（12）（13）微分代入控制方程及边界条件可得对于Fig.1 ，Fig.2 。Fig.2中的的离散表达式为。2.2解与讨论这里用到的参数与Refs. 21,22里提到的相似：kg/m，1.39Nm，756kg，9.81m/s，171m，2093N/m。（7）中无阻尼自然频率及系统的相空间均可由特征值问题 得到。用前述的测试函数可以计算出Figs.1和2模型的前三个自然频率，如 Table 1所示。Figs.1(a) 2(a)与(b)模型的测试函数，对应于与，分别称为张紧与未张紧梁的特征函数。由于自然频率下交，张紧梁的特征函数的使用就加快Fig.1(a)模型自然频率的相交。时未张紧梁的特征函数可以改善对Fig.2(a)与(b)模型的估计。由于固定端不可以旋转，Figs.1(a)与2.(a)模型的自然频率分别略高于Figs.1(b)与2.(b)的。小弯曲刚度使得对于所有的在精度范围内Figs.1(b)模型的自然频率与Figs.1(c)相同。对Figs.1(a)用到张紧梁的特征函数，可以看到其自然频率与Figs.1(b)和(c)模型的自然频率以相似的速率汇聚。对Figs.2(a)和(b)用到张紧梁的特征函数，可以看到其自然频率与Figs.2(c)模型的自然频率以相似的速率汇聚。当趋近无穷时，Fig.2模型的自然频率趋近于相应的Fig.1模型的自然频率。按附录B中给出的初始位移和0初速度考虑Figs.1和2的无阻尼响应（即）。Figs.1(a)和2(a)模型的初始位移是两端固定梁处于均匀张力下，于处受集中力位移时的系统静偏差。Table 1Figs.1和2的前三个自然频率(rad/s)由在(6)中代入不同的参数得到，这里是梁的张力，其特征函数作为Figs.1(a) 2(a)与(b)的测试函数：相空间数 12310203050100150Fig. 1(a)1st1.8591.8581.7741.7101.6871.6791.6731.6681.6662nd3.5983.5963.4123.3723.3583.3453.3363.3333rd5.3035.1285.0615.0385.0195.0045.0001st1.6661.6641.6641.6641.6641.6641.6641.6641.6642nd3.3333.3283.3283.3283.3283.3283.3283.3283rd5.0024.9914.9914.9914.9914.9914.991Fig. 1(b)1st1.6651.6631.6631.6631.6631.6631.6631.6631.6632nd3.3323.3273.3273.3273.3273.3273.3273.3273rd5.0004.9904.9904.9904.9904.9904.990Fig. 1(c)1st1.6651.6631.6631.6631.6631.6631.6631.6631.6632nd3.3323.3273.3273.3273.3273.3273.3273.3273rd5.0004.9904.9904.9904.9904.9904.990Fig. 2(a)1st1.6361.5331.5321.5061.5011.4991.4981.4971.4962nd1.8981.8871.8511.8441.8421.8401.8381.8383rd3.4803.3973.3743.3663.3603.3553.3541st1.5961.5591.5391.5101.5031.5001.4991.4971.4972nd1.9861.9171.8571.8471.8441.8411.8391.8383rd3.6713.4243.3873.3753.3653.3583.356Fig. 2(b)1st1.6191.5091.4981.4961.4961.4961.4961.4961.4962nd1.8401.8371.8371.8371.8371.8371.8371.8373rd3.3983.3513.3513.3513.3513.3513.3511st1.5961.5591.5391.5101.5031.5001.4981.4971.4972nd1.9851.9171.8571.8471.8431.8411.8391.8383rd3.6703.4243.3863.3743.3653.3583.355Fig. 2(c)1st1.5961.5591.5391.5101.5031.5001.4981.4971.4972nd1.9851.9171.8571.8471.8431.8411.8391.8383rd3.6703.4243.3863.3743.3653.3583.355Figs.1(b)和2(b)模型的初始位移为两端铰接梁处于均匀张力下，于处受集中力位移时的系统静偏差。Figs.1(c)和2(c)模型的初始位移为两端固定的细绳，于处受集中力位移时的系统静偏差。m与m的初始位移如Fig.3所示；相应的对于Figs.1和2模型中m处的位移与速度分别如Figs.4与Figs.5所示，s，其中为3.2节中钢丝绳运动的终止时刻。注意小弯曲刚度导致梁固定端附近偏差边界层及集中力来确保满足边界与内在条件。由于小弯曲刚度，Figs.1和2模型的响应在Figs.4与5的范围内是不可分辨的。尽管Figs.5里的最大位移大于Figs.4中的，Figs.11(a)与Figs.12(a)中水平线表示的能量实质上是一样的。不同模型的响应的交点与前面讨论到的自然频率的交点类似。 Fig.3. Figs.1(a)与2(a)的初始位移（折线）；Figs.1(b)与2(b)（点）；Figs.1(c)与2(c)（实线）。展开图中边界附近以折线，m附近以点与折线表示为边界层。 Fig.4.在Fig.2所示相应的初始位移下，Fig.1模型在处质点的位移(a)与速度(b)：折线，Fig.1(a)；点划线，Fig.1(b)；实线，Fig.1(c)； Fig.11(a)模型的能量。所有情况中Fig.1(a)与时的响应均应用张紧梁的特征函数。 Fig.6.(a)所示为在以上初始条件下Fig.1各个模型的低端（即处）的横断力。处的横断力已由Fig.1.(a)中剪切力，Fig.1.(c)中张力的横向分量，Fig.1.(b)中共同决定，对各个模型来说实质上是同一个值。Fig.1.(a)模型低端的弯曲力矩如Fig.6.(b)所示；Fig.1.(b)模型中两端点的弯曲力矩显然趋于零。只有张紧梁的特征函数能够用来估算Fig.1.(a)模型固定端的弯曲力矩及剪切力；未张紧梁的特征函数会涉及高阶收敛微分项及。张紧梁与未张紧梁的特征函数均可用来决定Fig.1.(a)模型中内在点及Fig.1.(b)模型的任意点的横断力，因为这由张力的横向分力决定，包含有一阶微分。在分析累计疲劳损坏时，横断力及弯曲力矩分别与横断及弯曲应力成正比。Fig.5.在Fig.3所示相应的初始位移下，Fig.2模型在处质点的位移(a)与速度(b)：折线，Fig.2(a)；点划线，Fig.2(b)；实线，Fig.2(c)；.Fig.12(a)模型的能量。所有情况中Fig.2(a)与(b)与时的响应均应用未张紧梁的特征函数。 Fig.6.(a)在Fig.3所示相应的初始位移下，Fig.1各个模型低端的横断力：折线，Fig.1(a)；点划线，Fig.1(b)；实线，Fig.1(c)。(b) Fig.1各个模型上端的弯曲力矩。所有情况中Fig.1(a)与时的响应均应用未张紧梁的特征函数。 Fig.7.(a)在Fig.3所示相应的初始位移下，Fig.2各个模型上端的横断力：折线，Fig.2(a)；点划线，Fig.2(b)；实线，Fig.2(c)。(b) Fig.2各个模型上端的弯曲力矩。所有情况中。 Fig.7.(a)所示为Fig.2各个模型在以上初始条件下上端（即）的横断力。与Fig.6(a)相似，处的横断力尽管有不同的表达式，但对于三种模型来说实质上是同一个值。Fig.7.(b)所示为Fig.2(a)各个模型上端的弯曲力矩。注意在这里用到了处于均匀张力，处钢丝绳张力下的一端固定梁的特征函数来计算Fig.2(a)模型上端的剪切力和弯曲力矩。张紧与未张紧梁的特征函数均可用来计算Fig.2(a)模型中内部点及Fig.2(b)模型中任意点的横断力。只有为张紧梁的特征函数能用来决定Fig.2(a)与(b)模型低端的横断力，因为比起张紧梁的特征函数来说，它们满足一个更实际的边界条件。由于测试函数满足，Fig.2(c)模型低端的横断力不能由此决定。3.移动的钢丝绳模型3.1基本公式Figs.8与9为 对应Figs.1与2中固定钢丝绳模型的六种移动钢丝绳模型。在运动中钢丝绳长度可变，轴向速度。当钢丝绳模拟为移动的张紧梁如Figs.8(a)与(b)时，其在固定坐标系上的横向自由振动由21下式决定： (15)Fig.8. 沿假定为刚性的导轨移动电梯曳引系统示意图Fig.9.轿厢以质点模拟，悬吊导轨合刚度刚度阻尼系数的移动电梯钢丝绳示意图这里： (16)为钢丝绳处时刻的瞬时横向位移，为张力： (17)其他的变量在2.1中定义。Figs.8(c)与9(c)模型的控制方程由(15)代入得出。各个模型的边界条件可由2.1中相应的固定模型(5)，将分别用代替即可，(16)中定义了与。同样Figs.8(c)与9(c)模型不能作为Figs.8(a)与9(a)模型的特例所得到。轿厢的质量提供张力与Fig. 9模型的力边界条件中的内力。Galerkin法与采样法经修改后用来离散化Figs.8与9模型的控制偏微分方程。(15)的解为以下形式： (18)这里为时间的测试函数，其他的变量在2.1中已定义。紧接着Ref21 在Figs.8与9模型上用到固定梁与长度的细绳的瞬时特征函数。它们作为相应的固定钢丝绳模型满足同样的边界条件并且已规格化为。注意Fig.9(b)模型的测试函数含有一个刚性模量。因为该测试函数21,22可以表示为： (19)这里，在附录A中给出，为单位长度的相应固定梁或细绳的规格化特征函数。规格化的长度的张紧梁瞬时特征函数不能像(19)那样分解，不能用来作为Figs.8(a)，9(a)与(b)的特征函数。将(18)与(19)代入(15)中及处的力边界条件，用乘控制方程，从积分到，用边界条件与的正交性，可得到Fig.9(a)与(b)模型的离散化方程： (20)这里对称的质量，刚度，阻尼矩阵为： (21) (22) (23)这里为 Kronecker delta，斜对称回转循环矩阵： (24) (25)Fig.9(c)模型的离散方程由(20)-(25)给出，其中(22)里。Fig.8(a)与(b)模型的离散方程由(20)-(25)给出，其中(21)里，(22)里，(23)里。Fig.8(c)模型的离散方程由Fig.8(a)与(b)加以中。Fig.8(c)模型的离散方程能由Fig.8(b)代入；Fig.9(c)模型的离散方程不能作为Fig.9(b)模型的特例所得到。假如Fig.8与 Fig.9模型的初始位移及速度分别由及，这里，广义坐标的初始条件为： (26) (27)Fig.8(a)与(b)模型的振动能量为： (28)Fig.9(a)与(b)模型的振动能量为： (29)Fig.8(c)与9(c)模型的振动能量由(28)与(29)分别给出，其中。将(18)(19)代入(28)得到Fig.9(a)与(b)模型的振动能量： (30)这里由(21)给出：Fig.9(c)模型的离散表达式由(30)-(32)给出，(32)中。Fig.8(a)与(b)模型的离散表达式由(30)-(32)给出，其中与(31)。Fig.8(c)模型的离散表达式由Fig.8(b)模型的离散表达式中代入给出。Fig.8与9模型振动能量的变化率按照Refs.21,23控制量与系统观点计算得出。从控制量的观点来看的变化率能体现在考虑中的系统动态稳定性，且应用莱布尼茨法则可由对微分而得Fig.9(a)： (33)Fig.9(b)： (34)同样的Fig.9(c)由(34)代入，Fig.8各个模型的由相应的Fig.9模型代入而得。的离散表达式为： (35)这里 (36)对于Fig.8各个模型。 对于Fig.9(c)由(37)代以给出，对于Fig.9(a) 由(37)最后两个条件代以，Fig.8各个模型的由Fig.9相应的模型代以。3.2结果与讨论 这里用到的参数和2.2中用到的一样。Fig.1023所示为向上运动的资料，其中与2.2里的一样，并且相应的模型的初始条件也相同，Figs.8与9模型的无阻尼响应(即)按计算在figs.11与12中分别显示。Fig.9模型的振动能量比Fig.8模型的小并且当趋近于无穷时(即N/m)接近相等。Figs.8(a)与9(a)模型的除固定端外的任意点与Fig.9(c)模型的低端的横断力能被计算出。Fig.8(c)模型的离散表达式实质上与通过对有限微分得出的一样(未显示出来)。Figs.8(a)与9(a)模型的的离散表达式这里不能使用，因为不能由为张紧梁的特征函数所决定。由于(34)中第二个条件比第一个大得多，Fig.8(b)与9(b)模型的离散表达式实质上与通过对有限微分得出的一样。虽然当时Figs.9(c)模型的的离散表达式能用，但当不能用，因为不能由满足的测试函数决定。 Fig.10.电梯钢丝绳上升运动的资料：(a),(b),(c),(d).Fig.11.Fig.8模型的无阻尼响应：(a)振动能量，(b)m处质点的位移，(c) m处质点的速度，。(a)中的水平线显示Fig.1固定钢丝绳模型的能量：折线，Figs.8(a)与1(a)；点划线，Figs.8(b)与1(b)；实线，Figs.8(c)与1(c)。 Fig.12.Fig.9模型的无阻尼响应与处在最理想悬吊刚度与阻尼系数下Fig.9(a)模型的响应：(a)-(c)如Fig.11。(a)中的水平线显示Fig.2固定钢丝绳模型的能量：折线，Figs.9(a)与2(a)；点划线，Figs.9(b)与2(b)；粗实线，Figs.9(c)与2(c)。Fig.9(a)处于与下模型的响应如(a)-(c)中的细实线所示。 在以上的初始条件及运动资料下，Fig.9(a)模型的平均振动能量，定义为，这里s，与与其他参数未改变如Fig.13所示。有着最理想的悬吊刚度及阻尼系数N/m，N/s，从1.22J减到0.33J。处于与Fig.9(a)模型的响应如
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