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,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,机动目录上页下页返回结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1.设函数,函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,机动目录上页下页返回结束,则,说明:,1)当,即区间换为,定理1仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或,机动目录上页下页返回结束,例1.计算,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,例2.计算,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,例3.计算,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,例4.计算,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,且,例5.计算,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,且,例6.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,机动目录上页下页返回结束,例如.,1),机动目录上页下页返回结束,例7.计算,解:,机动目录上页下页返回结束,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,机动目录上页下页返回结束,例8.计算,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,例9.计算,解:,机动目录上页下页返回结束,例10.计算,解:,机动目录上页下页返回结束,例11.证明,证:令,n为偶数,n为奇数,则,机动目录上页下页返回结束,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例如,公式的应用,机动目录上页下页返回结束,又如,公式的应用,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.,提示:令,则,2.设,求,解:,(分部积分),机动目录上页下页返回结束,练习,P284习题5-31.单数；2.双数；3；4.,备用题,1.证明,证：,是以为周期的函数.,是以为周期的周期函数.,机动目录上页下页返回结
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