幂函数的教学设计与反思灵山中学陈嘉.doc

幂函数的教学设计与反思灵山中学 陈嘉第一部分 教学目标以及重难点1三维教学目标：1）知识与能力：理解幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。 2）过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质。 3）情感，态度和价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。2.教学内容分析：1）教学重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 2）教学难点：从幂函数的图象中概括其性质第二部分 教学流程一、内容归纳：幂函数的图象系练习1：求满足条件的的取值范围（1） （2） （3）二、拓展一：幂函数与图象变换（例4的拓展）导引：我们已经知道：，的图象；，的图象。前面也学习了图象变换，知道一个简单函数通过图象变换后可以得到一些较复杂函数的图象。思考以下两个问题：将的图象右移2个单位，再上移动1个单位，所得函数为_，对称中心为_。将的图象左移2个单位，再下移动1个单位，所得函数为_，对称中心为_。答：，对称中心（？），对称中心（？）如果将这两个结果进行通分整理，所得函数是什么特征？答：前者，后者。那么，一般的线性分式函数是不是由函数平移过来的？问题探讨：若，此时若，特征：（1）平移的结果；（2）对称中心为；（3）过点（若）练习2：设，（1）若，写出对称中心，作其的简图，并求时的取值范围；（2）若在区间上是增函数，且在该区间恒有，求a的取值范围是。 三、拓展二：幂函数与函数叠加（例5的拓展）导引：课本例5实际上是两个幂函数和的叠加。象这样的函数我们称为幂函数型函数，我们也能运用的叠加得到熟悉的函数。如：二次函数多项式函数其他如，再现：判断函数的单调性，并求出它的单调区间（作业册P33第7题）；设，由，可否得到？这些问题在学习函数基本性质和不等式时已经讨论过，当时我们是运用单调性定义、均值不等式等工具来解决的。其实，这些问题都是讨论函数的个别性质，如果我们掌握它的图象特征，反过来对函数性质的把握则会更加全面透彻。问题探讨：讨论的图象特征。由于是奇函数，只需讨论情形即可。当异号时，和在时的单调性一致，则在时是单调函数，通过研究和的趋势，可得其图象。如，在时是增函数，当时，当时，而且在其下方（？），由此可得图象两条渐进线Y轴和，再结合单调性和奇偶性可得函数简图。当同号时，由于同正与同负是轴对称关系，只需研究情形即可。顶点：由，可得时的最低点。渐进线：当，当，且在下方，可得的两条渐渐进线：和Y轴。单调区间：猜想在递减，在递增，并运用定义证明。如，顶点，渐进线为和Y轴，减区间，增区间为。从而得其图象。练习3：（1）求证：函数的图象是中心对称图形。（2）设函数，若在上恒成立，求的取值范围。第三部分 教学反思：这堂课包含三个环节，第一环节幂函数的图象系，是对幂函数图象的归纳；第二环节讨论y=(ax+b)/(cx+d)的图象特征，是对课本例4的拓展；第三环节讨论函数y=mx+n/x的图象，是课本例5的拓展。以下主要反思后面两个拓展的引入、过程及练习的教学。1、关于y=(ax+b)/(cx+d)的教学反思。在引入方面，教学设计时曾考虑先让学生讨论y=(x-1)/(x-2)的图象，再由此引伸到一般情形。但是觉得这个函数离学生已知的函数类型还有些距离，它的直接出现对学生来说有点突然。于是设想：以关注问题的发现为出发点，从两简单的幂函数开始，通过平移变换构造新的函数，发现其结果形式类似，进而对其一般形式y=(ax+b)/(cx+d)的图象特征产生猜想。这是对原有知识进行引伸拓展的一种引入。在过程论证方面，教学设计时有三种考虑：一是探究式（学生论证）；二是讲授式（教师分步讲解）；三是阅读理解式（教师作重点解释）。考虑到学生基础较好，同时也是为了缩短时间，增加容量，选择了第三种。课后反思时不禁自问：如果让学生进行探究学习，亲历论证过程情况会怎样？从学生的认知过程来看，需要解决两个问题：首先要解决的是：函数f(x)=(ax+b)/(cx+d)的图象是否从y=m/x平移过来的？有前面的通分变形作铺垫，学生不难得到了f(x)的分离式（通分的逆过程），从而证实f(x)是从y=b2/x平移过来的。在论证过程中，可能忽略b2=0情形，教师只需提示补充即可。其次是讨论f(x)的对称中心问题。学生可能会遇到困难，因为不知道f(x)的具体平移方向（抓住学生可能出现的各种结果）。这时可以启发观察前面两个具体例子的结果，通过比较，归纳出f(x)的对称中心坐标M(-d/c,a/c)。这个中心坐标是一般问题的形式化结论，让学生通过一般式和具体形式的比较归纳出来更好理解些。其实还可以进一步启迪学生，讨论d/c的符号，归纳出不论是左移还是右移，对称中心横坐标的形式都是-d/c，纵坐标同理。至于图象位置问题。有了对称中心，两条渐进线也知道了，它们把平面划分为四个区域。学生不难理解，既然图象是由y=b2/x平移过来的，那么它落在哪个区域当然是由b2的符号来决定。（在这个环节的教学中不应急于提出由一个定点（0,b/d）可确定位置，可留下一个伏笔。在练习2(1)时学生可能直接套用上述结论形式，直接写出对称中心，由于还没作分离，不知道b2的符号，作图时可能存在困惑）。在难度不是很大的情况下，让学生探讨一些一般性问题的形式化结论，对提高其数学思维素养是有意义的。我想这个过程实际上就是一个“问题解决”的过程。在今后课题实践中，“问题解决”的设计模式应该成为拓展教学的主要方式之一。练习2的设计问题。考虑构造一个过定点的曲线系（幂函数的图象实际是过定点(1,1)的曲线系，这里上升到一次分式函数），其特征是：图象过一个定点B(m,n)，对称中心M(d,y0)在一条定直线x=d上滑动（m,n,d是常量，y0是参数），这个函数的一般形式是：f(x)=y0(x-m)+n(m+d)/(x+d)给常量赋上简单的值：m=0,n=2,d=2后，y0改写为a，得函数f(x)=(ax+4)/(x+2)，此时定点是B(0,2),中心是M(-2,a)。当渐进线y=a滑动到定点下方时，要求讨论一个具体函数的某些性质，即练习2(1)。当渐进线y=a滑动到定点上方时，要求讨论曲线系满足某些特征时参数的取值范围，即练习2(2)。这是一类典型的数形结合问题，曲线特征（几何）与参数范围（代数）的关系是形与数的对应关系。原先考虑使用多媒体来展示，当参数a变化时图象系的生成过程，使学生能够直观地看到双曲线单调性、相对于渐进线的位置和开口宽阔程度的变化，但没来得及做。练习2的教学反思与思考。练习2(1)时，课堂上出现两种解法情形：一部分学生采用分离系数法，画出图象；另部分学生根据上面的形式化结论马上写出对称中心M(-2,-3)，并画出两条渐进线，但往下就卡住了，不知道把图象画在哪个区域。这时教师强调，可以通过检验一个定点B(0,2)所处的区域来确定图象的位置。练习2(2)时，教师指导，由于有了对称中心M(-2,a)和定点B(0,2)，只需分析渐进线y=a与定点B(0,2)的位置关系，就知道曲线系的单调性变化情况，然后将曲线特征的限定转化为参数的限定即可。课后曹土清老师提示：采用分离系数法更具一般性，对不是过定点的曲线系也适合。我想确实如此，如f(x)=(ax+a2)/(x+2)的图象是不过定点的曲线系，此时应分离系数f(x)=a+(a2-2a)/(x+2),再令(a2-2a)0，求得其解。这里出现两种解法，一是运用拓展教学的过程方法（分离系数法），二是运用拓展教学的结论形式（直接写出中心坐标）和题目的特殊性（过定点）。将这个情形上升到一般，这使我想到基础课程的教学目标与拓展教学的目标问题。前者的三维目标已经明确，不仅掌握知识与技能，还关注过程与方法等，后者该如何把握呢？拓展教学涉及到两个关键的目标要素：一是过程与方法，二是拓展结论。如果把对“过程与方法”的掌握程度区分为理解与不理解（或更进一步的亲历与不亲历），在“拓展结论”的掌握程度中区分出掌握结论形式（定量描述）与掌握结论特性（定性描述），则其可组合为四种形式：理解过程与方法，掌握结论形式；理解过程与方法，掌握结论特性；不理解过程与方法，掌握结论形式；不理解过程与方法，掌握结论特性。显然，后两种目标形式是纯粹识记性的，对高中数学教学来说一般不适合。第一种目标形式已经达到基础课程的要求程度，对拓展教学来说只能是个选择性的目标形式（如柯西不等式，可选择此目标）。而第二种应该成为拓展教学要重点关注的目标形式。如，假设这堂课的这个环节的教学已经达到了上述第二种目标，解答练习2时，学生就知道函数的图象形状是双曲线，是从y=m/x平移过来的（掌握结论特性），更进一步的，还知道通过分式的分离可以得到它的对称中心和图象位置（理解过程与方法）。与不知道这个结论特性（不进行拓展教学）相比，站的层面就高些。我想，对这堂课来说（或更多的拓展课来说），与基础课程教学相比，拓展教学能达成这个目标是合适的。2、关于y=mx+n/x的教学反思。在引入方面，先通过例5说明通过y=mxk的叠加（函数运算），可以得到一些我们熟知的函数，接着 “再现”做过的作业、练习，至此学生已经关注上函数y=mx+n/x了。这是对原有知识进行一般化拓展的一种引入。在过程探究方面，课后反思觉得，这个环节几乎没有做教学设计。从学生的认知过程来看，与函数f(x)=(ax+b)/(cx+d)不同，不仅涉及到m,n的符号分类讨论，还涉及到顶点、渐进线和单调性的分析。显然课堂上采用的演绎式的学法是缺乏考虑的。课堂上做探究学习也不切实际（或安排为研究性学习较合适，这个函数再加上它的拓展y=mxk+n/(xk)可以作一个课题）。处理这个环节，比较合适的办法应该是讲授式，先研究实例，再归纳出一般情形。练习3的设计反思与改进。在设计练习3时，应该以对函数图象的理解和运用为主线，如果在练习3（1）中再加上一小问：作出函数y=x+1/(x-1)的图象，把练习3（2）讨论的区间(0,+)改为不包含顶点的区间(1,+)，则会更扣紧本课的教学意图。或者考虑使用以下这个题：求函数f(x)=(ax2+2)/x,(a0)在区间(0,a)上的最小值（这是从二次函数的一类典型问题改编过来的），从知识的运用与解题的思想方法上看，更切合拓展教学的意图。