等腰三角形的判定与反证法

1.等腰三角形(2)等腰三角形的判定,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点一等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为:等角对等边.拓展归纳(1)判定一个三角形是等腰三角形还可以用等腰三角形的定义,即“有两条边相等的三角形是等腰三角形”.(2)“等边对等角”与“等角对等边”的区别:“等边对等角”是等腰三角形的一个性质,即因为有了两条边相等,进而得到两个角相等;“等角对等边”是等腰三角形的一种判定依据,即因为有了两个角相等,进而可以判定这两个角所对的边相等,所以这个三角形是等腰三角形.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,例1如图所示,在ABC中,AB=AC,DEBC,交AB于点D,交AC于点E.求证:ADE是等腰三角形.分析:ADE=AEDAD=AEADE也是等腰三角形.证明:AB=AC,B=C.DEBC,ADE=B,AED=C.ADE=AED.AD=AE.ADE是等腰三角形.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点二反证法先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.拓展归纳用反证法证明的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立;(2)从这个假设出发,应用正确的推理方法,得出与定义、基本事实、已证定理或已知条件相矛盾的结果;(3)由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,例2求证:若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线也平行.分析:此题由于已知条件较少,可考虑用反证法证明.已知ab,bc,求证:ac.证明:假设直线a不平行于直线c,则直线a与直线c相交于点P,如图所示.又ab,bc,则过点P作了两条直线与已知直线b平行.这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾”.因此,假设是错误的.所以ac.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点三等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.定理2:有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.拓展归纳(1)定理1是由等腰三角形的判定“等角对等边”推出来的,运用时要注意是三个角都相等,不是两个角相等.(2)定理2中的一个角是60,可以说是顶角为60,也可以说是底角为60.(3)等边三角形的判定方法有3种,即定义和2个判定定理.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,例3如图,延长ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到的DEF为等边三角形.(1)求证:AEFCDE;(2)求证:ABC是等边三角形.分析:(1)需要根据AE=AB,AC=BF,证出AF=CE.再结合已知条件即可证出AEFCDE.(2)由(1)中的三角形全等,可得出FEA=EDC,再结合DEF是等边三角形,可知DEF=60,从而得出ACB=60,同理可得BAC=60,那么ABC=60.因而ABC是等边三角形.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,证明:(1)BF=AC,AB=AE,AF=CE.DEF是等边三角形,EF=DE.又AE=CD,AEFCDE.(2)由AEFCDE,得FEA=EDC.BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF,DEF是等边三角形,DEF=60,ACB=60.由AEFCDE,得EFA=DEC,DEC+FEC=60,EFA+FEC=60.BAC=EFA+FEC=60.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,BAC=ACB.ABC=60.ABC是等边三角形.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点四含30角的直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.拓展归纳这个定理的使用前提是“在直角三角形中”,只知道三角形中有一个角为30,不能得到“这个角所对的边等于另一边的一半”.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,例4如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC,并且AD=BD.求证:AC=AB.分析:证明AC=AB的关键是证明B=30.由角平分线的定义及直角三角形的两锐角互余推出B=30.证明:AD=BD,B=BAD.又AD平分BAC,BAC=2BAD=2B.C=90,BAC+B=90.B=30.AC=AB.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,拓展点一,拓展点二,拓展点一角平分线+平行线等腰三角形例1如图,已知ABC,ACB的平分线交于点F,过点F作DEBC,交AB于点D,交AC于点E.(1)求证:BD+EC=DE;(2)若AB=15,AC=12,求ADE的周长.分析:由DEBC,BF平分ABC,可以推出BDF是等腰三角形;同理CEF是等腰三角形.同时注意周长的转化,进而使问题获解.,拓展点一,拓展点二,(1)证明:DEBC,DFB=CBF.BF平分ABC,ABF=CBF.ABF=DFB.BD=DF.同理EF=CE.BD+EC=DF+EF,即BD+EC=ED.(2)解:ADE的周长为:AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=15+12=27.,拓展点一,拓展点二,拓展点一,拓展点二,拓展点二构造含30角的直角三角形解决问题例2如图,在ABC中,BD是AC边上的中线,DBBC于点B,ABC=120.求证:AB=2BC.分析:,拓展点一,拓展点二,证明:如图,延长BD到点E,使DE=BD,连接AE.DBBC,CBD=90.BD是AC边上的中线,AD=DC.,AEDCBD(SAS).EA=BC,AEB=CBD=90.ABC=120,CBD=90,ABD=30.BC=AB.AB=2BC.,拓展点一,拓展点二,P8问题解如图所示,过点A作ADBC于点D,则ADB=ADC=90.,ABDACD(AAS),AB=AC,有两个角相等的三角形是等腰三角形.,P9随堂练习1.解BDE是等腰三角形.理由如下:BD平分ABC,ABD=DBC.DEBC,DBC=EDB.EBD=EDB.BE=DE.BDE是等腰三角形.,习题1.31.证明ADBC(已知),1=B(两直线平行,同位角相等),2=C(两直线平行,内错角相等).1=2(已知),B=C.AB=AC(等角对等边).2.证明AB=AC,B=C(等边对等角).EPBC,B+BFP=90,E+C=90,BFP=CEP.AEF=AFE.AE=AF(等角对等边).AEF是等腰三角形.,3.提示(1)分两种情况讨论.作法:当为顶角时,作MON=;在OM,ON上分别截取OA=OB=a;连接AB,得AOB为所求(图略).当为底角时,作线段BC=a;分别以B,C为顶点,BC为一边在BC同侧作ABC=ACB=,边BA,AC交于一点A,得ABC为所求(图略).(2)此时只能为顶角.作法:作MON=;在OM,ON上分别截取OA=OB=a;连接AB,得AOB为所求(图略).,4.解AB=1810=180(kn).NBC=A+C,C=NBC-A=84-42=42.C=A.BC=AB=180(kn).答:从B处到灯塔C的距离是180kn.,P12随堂练习解CDAB,B=60,BCD=30.又BD=1,BC=2BD=2.ACB=90,B=60,A=30,AB=2BC=4.AD=AB-BD=4-1=3.,习题1.41.证明DEBC,ADE=B,AED=C.ABC为等边三角形,A=B=C=60.A=ADE=AED=60.ADE是等边三角形.2.解在RtABC中,ACB=90,A=30,答:BC的长为3.7m,DE的长为1.85m.,3.解(1)DEF是等边三角形.如图,ABC是等边三角形,1=60.BCEF,1=2=60.ABDF,2=F=60.同理,E=D=60.DEF是等边三角形.ABE,ACF,BCD也都是等边三角形.点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点.,证明:EFBC,EAB=ABC,FAC=ACB.ABC是等边三角形,ABC=ACB=60.EAB=FAC=60.同理可证,EBA=DBC=60,FCA=DCB=60.又AB=BC=CA,知ABEBCDCAFABC,EA=AF.A为EF的中点.同理知B,C分别为DE,DF的中点.(2)DEF为等边三角形,DE=EF=FD,D=E=F=60.而A,B,C分别为EF,DE,DF的中点,则AEB,BOC,CFA是全等的等边三角形.AB=BC=CA.ABC为等边三角形.,求证:BAC=30.证明:延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.BCA=90,