22.3特殊的平行四边形

特殊的平行四边形,复习旧知,前面我们学习了平行四边形、矩形,请同学们回忆平行四边形、矩形有哪些性质.,观察下面的图片,思虑下面的问题：(1)图片中给我们以哪些图形的形象?这些图形有哪些共同特点?(2)什么样的图形是菱形?你能给菱形下个定义吗?,学习新知,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,如图,菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.,(1)图形中有哪些相等的线段?相等的角?,思考,(2)对角线AC,BD有怎样的位置关系?,(3)菱形ABCD是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?,性质定理1:菱形的四条边都相等.,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.,小结,四边形ABCD是菱形,ACBD,CAB=CAD,ACB=ACD,ABD=CBD,ADB=CDB.,性质定理2:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.,平行四边形的面积如何求呢?,追问:菱形的面积如何计算呢?,思考,两条对角线的乘积的一半求菱形的面积.,底乘高,知识拓展,(1)菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在的直线就是它的对称轴.,(2)利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等,它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形,由此可与勾股定理联系,得到对角线和边之间的关系.,例：(教材例3)如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,ABC=60,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).,解:花坛ABCD的形状是菱形,ACBD,ABO=ABC=60=30.在RtOAB中,AO=AB=20=10.BO=花坛的两条小路长:AC=2AO=20(m),BD=2BO=2034.64(m).花坛的面积S菱形ABCD=4SOAB=ACBD=200346.4(m2).,菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质,有关菱形的几何计算问题可以化为特殊三角形(直角三角形、等腰三角形),利用特殊三角形的性质来计算.,总结,例：(补充)如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证AFD=CBE.,解析结合图形证明BCEDCE可得CBE=CDE;由菱形的对边平行可得AFD=FDC,等量代换得AFD=CBE.,证明:四边形ABCD是菱形,CB=CD,CA平分BCD.BCE=DCE.又CE=CE,BCEDCE(SAS).CBE=CDE.在菱形ABCD中,ABCD,AFD=FDC,AFD=CBE.,点评:解决菱形问题时,常常综合运用菱形的性质和全等三角形的知识证明两角相等.,课堂小结,1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,2.菱形的性质:(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.(2)菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.(3)菱形是轴对称图形,有两条对称轴.,3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,也可利用平行四边形的面积公式求菱形的面积.,1.如图,在菱形ABCD中,BAD=120.已知ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是()A.25B.20C.15D.10,检测反馈,解析:AC是菱形ABCD的对角线,BAD=120,BAC=60.AB=BC,ABC是等边三角形.ABC的周长是15,AB=5,菱形ABCD的周长为54=20.故选B.,B,2.(2015吉林中考)如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.,解析:连接BD,AC交于点E,如图所示,根据点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2)可知BDx轴.因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD,AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,所以AC=4,故点C的坐标为(4,4).,(4,4),3.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DHAB于H,连接OH,求证DHO=DCO.,解析:要证明DHO=DCO,根据等角的余角相等,只要证明OHB=ODC即可.可根据菱形的性质,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形中等边对等角,等角的余角相等来完成证明.,证明:四边形ABCD是菱形,OD=OB,COD=90.DHAB于H,DHB=90,2OH=BD=2OB,OHB=OBH.又ABCD,OBH=ODC,OHB=ODC.在RtCOD中,ODC+DCO=90,在RtDHB中,DHO+OHB=90,DHO=DCO.,4.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8,求菱形的周长和面积.,解:如图,四边形ABCD是菱形,AC,BD交于点O,AC=8,BD=6,AB=BC=CD=DA,BD