高等数学第二学期内容复习

高等数学第二学期内容复习,第九章：多元函数微分法及其应用,定义、多元函数、多元函数的极限和连续、偏导数、全微分、方向导数和梯度、极值,定理、有界闭区域上连续函数的最大和最小值、有界闭区域上连续函数的介值定理、混合偏导数相等定理、偏导数与全微分的关系定理可微偏导数存在偏导数连续可微、极值存在的必要条件和充分条件定理,公式、多元复合函数的求导法则,）设，,则,）设，,）设,则,则,5）设,则,4）设，,则,）设是由方程所确定的隐函数，三元函数有连续偏导数，且,、隐函数的求导公式,）设是由方程所确定的隐函数，且二元函数有连续偏导数，且,其中为方向的方向角,、方向导数的计算公式,设在其可微点处沿任意方向的方向导数都存在，且,、多元函数极值的求法,）无条件极值,求二元函数极值的步骤：,（）对每一个驻点求出,（）解方程组得驻点,（）判断的符号,为极大值,为极小值,不是极值,不能判断,）条件极值（拉格朗日乘数法）,求二元函数在条件,下的极值的步骤：,（）令,其中为待定常数,（）令,（）判断上述点是否为极值,求解,重要结论,、一切多元初等函数在其定义区域内连续,、在点处具有偏导数的函数,在该点取极值的必要条件是,、,、二元函数在点处的连续、可微、偏,导数及方向导数等概念之间的关系,第十章：重积分,定义、二重积分、三重积分,、（为的面积）,、,、,、,性质（二重积分与三重积分类似）,、在上，若有,则,、在上，若有,则,（估值公式）,、（积分中值定理）设在有界闭区域,上连续，,则至少存在一点使,公式,、二重积分计算公式,4）极坐标系下的二重积分,2）柱面坐标系下,2、三重积分计算公式,1）直角坐标系下,4）截痕法,3）球面坐标系下,第十一章：曲线积分与曲面积分,定义1、第一类曲线积分（对弧长）2、第二类曲线积分（对坐标）,3）第一类曲面积分（对面积）4）第二类曲面积分（对坐标）,（对弧长的曲线积分与方向无关）,性质,、曲线积分的性质,（对坐标的曲线积分与方向有关）,、曲面积分的性质,（表示与取相反侧的有向曲面）,其中是的正向边界,定理,1、（Green公式）设函数和,在分段光滑的闭曲线所围成的闭区域上具,有一阶连续偏导数，,则有Green公式,、（两类曲线积分间的关系）,其中，和表示曲线的切,向量的方向角,、（积分与路径无关的充要条件）,设函数和在单连通区域内具,有一阶连续偏导数，,则下列四条相互等价,）在内与路径无关,）在内存在一个函数，使,其中,为内任一取定的点,）,其中为内任一分段光滑的闭曲线,）在内，等式恒成立,、（两类曲面积分之间的关系）,其中是有向曲面上点,处法向量的方向余弦,、（Gauss公式）设空间的有界闭区域是,由分片光滑的闭曲面所围成，,在上具有一阶连续偏导数，,函数,则有Gauss公式,其中曲面积分取的外侧,公式、对弧长的曲线积分计算公式）注意：定积分的下限一定小于上限空间曲线的计算类似,、对坐标的曲线积分计算公式）化成定积分（）（）,、对面积的曲面积分的计算公式,）应用Green公式计算平面曲线积分,）应用积分与路径无关的条件计算曲线积分,如果光滑曲面的方程为和,可类似得到其它两个公式,、对坐标的曲面积分的计算公式,）化成二重积分,其中为曲面的法线方向与轴正向的夹角,当是锐角时，取正号；,当是钝角时，取负号。,如果曲面方程是由和给出,可类似得到计算公式,）应用Gauss公式，化成三重积分计算,、向量场的有关公式,）通量公式,通量,其中是上点处指定侧的单位法向量,）散度）旋度,第十二章:无穷级数,定义1、常数项级数2、级数的敛散性3、函数项级数4、收敛域、和函数5、幂级数6、幂级数的收敛半径、和函数,7、泰勒级数、麦克劳林级数展开8、函数展开成傅立叶级数,性质1、级数的各项乘以不为0的常数后，不影响级数的敛散性。2、两个收敛级数的和仍为收敛级数。3、去掉或增加级数的有限项不影响级数的敛散性。4、收敛级数加括号后所得级数仍收敛。5、收敛级数的一般项趋于0（级数收敛的必要条件）。,6、幂级数在收敛区间（-R，R）内的,和函数连续。,7、幂级数的和函数在收敛区间,（-R，R）内可积且有逐项积分公式,注意：逐项积分后，收敛半径不变。,8、幂级数的和函数在收敛区间,（-R，R）内可导且有逐项求导公式,注意：逐项求导后，收敛半径不变。,定理,1、正项级数收敛性的判别法,1）（比较审敛法）设有两个正项级数,和，,若已知收敛，则也收敛；,且,若已知发散，则也发散。,比较审敛法的极限形式,若,则正项级数和有相同的敛散性。,2）（比值审敛法）设正项级数，,若,当时，级数收敛；当时，级数发散,3）（根值审敛法）设正项级数，,若,当时，级数收敛；当时，级数发散,2、交错级数的判别法（Leibniz定理）,若交错级数满足,则级数收敛，且和。,）任意项级数的判别法,若任意项级数的绝对值级数收敛，,则收敛，并称其为绝对收敛；,若收敛，而发散，,称条件收敛,）Fourier级数,收敛定理（Dirichlet收敛定理）设是以,为周期的函数，,在上,（）连续或至多有有限个第一类间断点,（）至多有有限个极值点