《信道编码纠错码》PPT课件

信道编码,第6章,2,6.1纠错编译码的基本原理与分析方法6.2线性分组码6.3卷积码,内容,3,信源编码提高数字信号有效性将信源的模拟信号转变为数字信号降低数码率,压缩传输频带(数据压缩)信道编码提高数字通信可靠性数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生误码。,编码,4,6.1纠错编译码的基本原理与分析方法,5,6.1.1差错和差错控制系统分类,差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有几种不同的定义。码元差错率/符号差错率指在传输的码元总数中发生差错的码元数所占的比例(平均值),简称误码率。是指信号差错概率比特差错率/比特误码率：在传输的比特总数中发生差错的比特数所占比例是指信息差错概率对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确定,6,差错率,根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:在电报传送时,允许的比特差错率约为:104105；计算机数据传输,一般要求比特差错率小于:108109；在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差错率,7,差错图样,为定量地描述信号的差错,定义差错图样EE=CR(模M)最常用的二进制码可当作特例来研究,其差错图样等于收码与发码的模2加,即E=CR或C=RE设发送的码字C1111111111接收的码字R1001001111差错的图样E0110110000差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错的个数叫汉明距离。,0:传输中无错1:传输中有错,8,差错图样,随机差错：差错是相互独立的,不相关存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道突发差错：指成串出现的错误,错误与错误间有相关性,一个差错往往要影响到后面一串字E:0010010000001001110000000,突发长度=4,突发长度=6,9,纠错码分类,从功能角度讲,差错码分为检错码和纠错码检错码：用于发现差错纠错码：能自动纠正差错纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应用场合不同,而侧重的性能参数也不同。,10,纠错码分类,按照对信息序列的处理方法,有分组码和卷积码分组码：将k个信息码元分成一组,由这k个码元按照一定规则产生r个监督码元,组成长度n=k+r的码字,卷积码：先将信息序列分组,不同的是编解码运算不仅与本组信息有关,而且还与前面若干组有关。,k,k,010101010001110,010 xxxx101xxxx010 xxxx,r,n,r,11,纠错码分类,按照码元与原始信息位的关系,分为线性码：所有码元均是原始信息元的线性组合,编码器不带反馈回路。非线性码：码元并不都是信息元的线性组合,可能还与前面已编的码元有关,编码器可能含反馈回路。由于非线性码的分析比较困难,早期实用的纠错码多为线性码,但当今发现的很多好码恰恰是非线性码。,12,纠错码分类,按照适用的差错类型,分成:纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力用码组内允许的独立差错的个数来衡量。纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能力主要用可纠突发差错的最大长度来衡量,13,差错控制系统分类,前向纠错(FEC)：发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠错能力的码。接收端信道译码器对接收码字进行译码,若传输中产生的差错数目在码的纠错能力之内时,译码器对差错进行定位并加以纠正。,14,差错控制系统分类,自动请求重发(ARQ)：发端发送检错码，收端译码器判断当前码字传输是否出错；当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送端重传已发送的码字(全部或部分)。,15,差错控制系统分类,混合纠错(HEC)：是FEC与ARQ方式的结合。发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则经反馈信道请求发端重发这组数据。信息反馈(IRQ)：收端把收到的数据,原封不动地通过反馈信道送回到发端,发端比较发的数据与反馈来的数据,从而发现错误,并且把错误的消息再次传送,直到发端没有发现错误为止。,16,检错与纠错原理,0:晴,1:雨若10,01。收端无法发现错误,00晴,10,01,11,00,11雨,能发现一个错误,禁用码组,插入1位监督码后具有检出1位错码的能力,但不能予以纠正。,17,检错与纠错原理,000晴,010,001,111,000,111雨,晴,在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。,100,011,101,110,雨,18,检错与纠错原理,最大似然译码：将接收到的码字译码为与它差别最小的许用码字,并且认为这个许用码字就是它所对应的发送码字,从而在码字的纠错能力内实现自动纠错。纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码。监督码不载信息,只是用来监督信息码在传输中有无差错。纠错编码所提高的可靠性,是以牺牲信道利用率为代价换取的。监督码引入越多,检错、纠错能力越强,但信道的传输效率下降也越多。,19,信道编码在被传输信息中附加一些冗余码,即监督码元,利用附加码元与信息码元间的约束关系加以校验,以检测和纠正错误。信源编码减少了冗余度冗余度是随机的、无规律的信道编码增加了冗余度冗余度是特定的、有规律的,故可利用其在接收端进行检错和纠错。,信道编码,20,传输冗余比特必然要动用冗余的资源。时间：比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或根据收端的反馈重发受损信息组。频带：插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果就占用了更大的带宽。功率：采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。8进制ASK符号的平均功率肯定比4进制时要大,这就是动用冗余的功率资源来传输冗余比特。设备复杂度：加大码长,采用网格编码调制,是在功率、带宽受限信道中实施纠错编码的有效方法,代价是算法复杂度的提高,需动用设备资源。,21,信道编码的基本思想,信道编码按一定规则给数字序列m增加一些多余的码元,使不具有规律性的信息序列m变换为具有某种规律性的数码序列C；码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的；信道译码器利用这种预知的编码规则译码。检验接收到的数字序列R是否符合既定的规则,从而发现R中是否有错,或者纠正其中的差错；根据相关性来检测/发现和纠正传输过程中产生的差错就是信道编码的基本思想。,22,码距与检错、纠错能力,纠错编码的检错纠错能力,要取决于码组的码距码距越大,检错、纠错能力越强。汉明距离：二个码组对应码位码元不同的个数。最小码距dmin：一个码组的集合中任意二个码组间的最小汉明距离。码重W：码组中非0的数目。,23,码距与检错、纠错能力,定理：若纠错码的最小距离为dmin，可以检测出任意小于等于l=dmin1个差错可以纠正任意小于等于个差错,可以检测出任意小于等于l同时纠正小于等于t个差错，其中l、t满足：l+tdmin1tl,24,检错、纠错能力,为检查出个错误，要求最小码距为为纠正个错误，要求最小码距为为纠正个错误，同时检查出个错误，要求最小码距为,25,纠错检错示意图,26,编码效率,编码效率：一个组中信息所占的比重,k：信息码元的数目n：编码组码元的总数目n=k+rr：监督码元的数目,信道编码,第6章,28,6.1纠错编译码的基本原理与分析方法6.2线性分组码6.3卷积码,内容,29,信源编码提高数字信号有效性将信源的模拟信号转变为数字信号降低数码率,压缩传输频带(数据压缩)信道编码提高数字通信可靠性数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生误码。,编码,30,6.1纠错编译码的基本原理与分析方法,31,6.1.1差错和差错控制系统分类,差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有几种不同的定义。码元差错率/符号差错率指在传输的码元总数中发生差错的码元数所占的比例(平均值),简称误码率。是指信号差错概率比特差错率/比特误码率：在传输的比特总数中发生差错的比特数所占比例是指信息差错概率对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确定,32,差错率,根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:在电报传送时,允许的比特差错率约为:104105；计算机数据传输,一般要求比特差错率小于:108109；在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差错率,33,差错图样,为定量地描述信号的差错,定义差错图样EE=CR(模M)最常用的二进制码可当作特例来研究,其差错图样等于收码与发码的模2加,即E=CR或C=RE设发送的码字C1111111111接收的码字R1001001111差错的图样E0110110000差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错的个数叫汉明距离。,0:传输中无错1:传输中有错,34,差错图样,随机差错：差错是相互独立的,不相关存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道突发差错：指成串出现的错误,错误与错误间有相关性,一个差错往往要影响到后面一串字E:0010010000001001110000000,突发长度=4,突发长度=6,35,纠错码分类,从功能角度讲,差错码分为检错码和纠错码检错码：用于发现差错纠错码：能自动纠正差错纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应用场合不同,而侧重的性能参数也不同。,36,纠错码分类,按照对信息序列的处理方法,有分组码和卷积码分组码：将k个信息码元分成一组,由这k个码元按照一定规则产生r个监督码元,组成长度n=k+r的码字,卷积码：先将信息序列分组,不同的是编解码运算不仅与本组信息有关,而且还与前面若干组有关。,k,k,010101010001110,010 xxxx101xxxx010 xxxx,r,n,r,37,纠错码分类,按照码元与原始信息位的关系,分为线性码：所有码元均是原始信息元的线性组合,编码器不带反馈回路。非线性码：码元并不都是信息元的线性组合,可能还与前面已编的码元有关,编码器可能含反馈回路。由于非线性码的分析比较困难,早期实用的纠错码多为线性码,但当今发现的很多好码恰恰是非线性码。,38,纠错码分类,按照适用的差错类型,分成:纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力用码组内允许的独立差错的个数来衡量。纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能力主要用可纠突发差错的最大长度来衡量,39,差错控制系统分类,前向纠错(FEC)：发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠错能力的码。接收端信道译码器对接收码字进行译码,若传输中产生的差错数目在码的纠错能力之内时,译码器对差错进行定位并加以纠正。,40,差错控制系统分类,自动请求重发(ARQ)：发端发送检错码，收端译码器判断当前码字传输是否出错；当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送端重传已发送的码字(全部或部分)。,41,差错控制系统分类,混合纠错(HEC)：是FEC与ARQ方式的结合。发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则经反馈信道请求发端重发这组数据。信息反馈(IRQ)：收端把收到的数据,原封不动地通过反馈信道送回到发端,发端比较发的数据与反馈来的数据,从而发现错误,并且把错误的消息再次传送,直到发端没有发现错误为止。,42,检错与纠错原理,0:晴,1:雨若10,01。收端无法发现错误,00晴,10,01,11,00,11雨,能发现一个错误,禁用码组,插入1位监督码后具有检出1位错码的能力,但不能予以纠正。,43,检错与纠错原理,000晴,010,001,111,000,111雨,晴,在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。,100,011,101,110,雨,44,检错与纠错原理,最大似然译码：将接收到的码字译码为与它差别最小的许用码字,并且认为这个许用码字就是它所对应的发送码字,从而在码字的纠错能力内实现自动纠错。纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码。监督码不载信息,只是用来监督信息码在传输中有无差错。纠错编码所提高的可靠性,是以牺牲信道利用率为代价换取的。监督码引入越多,检错、纠错能力越强,但信道的传输效率下降也越多。,45,信道编码在被传输信息中附加一些冗余码,即监督码元,利用附加码元与信息码元间的约束关系加以校验,以检测和纠正错误。信源编码减少了冗余度冗余度是随机的、无规律的信道编码增加了冗余度冗余度是特定的、有规律的,故可利用其在接收端进行检错和纠错。,信道编码,46,传输冗余比特必然要动用冗余的资源。时间：比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或根据收端的反馈重发受损信息组。频带：插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果就占用了更大的带宽。功率：采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。8进制ASK符号的平均功率肯定比4进制时要大,这就是动用冗余的功率资源来传输冗余比特。设备复杂度：加大码长,采用网格编码调制,是在功率、带宽受限信道中实施纠错编码的有效方法,代价是算法复杂度的提高,需动用设备资源。,47,信道编码的基本思想,信道编码按一定规则给数字序列m增加一些多余的码元,使不具有规律性的信息序列m变换为具有某种规律性的数码序列C；码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的；信道译码器利用这种预知的编码规则译码。检验接收到的数字序列R是否符合既定的规则,从而发现R中是否有错,或者纠正其中的差错；根据相关性来检测/发现和纠正传输过程中产生的差错就是信道编码的基本思想。,48,码距与检错、纠错能力,纠错编码的检错纠错能力,要取决于码组的码距码距越大,检错、纠错能力越强。汉明距离：二个码组对应码位码元不同的个数。最小码距dmin：一个码组的集合中任意二个码组间的最小汉明距离。码重W：码组中非0的数目。,49,码距与检错、纠错能力,定理：若纠错码的最小距离为dmin，可以检测出任意小于等于l=dmin1个差错可以纠正任意小于等于个差错,可以检测出任意小于等于l同时纠正小于等于t个差错，其中l、t满足：l+tdmin1tl,50,编码效率,编码效率：一个组中信息所占的比重,k：信息码元的数目n：编码组码元的总数目n=k+rr：监督码元的数目,51,检错码,奇偶校验码(n，n-1)(k+1，k),偶校验码字,52,6.1概述,误码分类随机信道噪声引入的随机误码，均匀分布突发信道由干扰、快衰落引起的突发误码如何减少误码？从信源编码看，误码引起的性能恶化尽可能小，容错技术从传输看，可采用抗干扰能力强的调制方式，信道特性不理想可采用均衡。特别需要差错控制技术。数字通信中，要求误码率108以下，必须采用差错控制。,53,二元码产生误码的情况,54,6.1.1差错控制分类,需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。引入较大的停顿（不实时）。可以纠正任何错误。,1.反馈检验法,55,2.检错重发法（ARQ）,自动请求重发也需要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿,56,3.前向纠错（FEC）,不需要双向信道不会引入停顿靠纠错编码,57,4.混合纠错（HEC）,需要反馈信道可能会引入停顿靠纠错编码和检错码,58,6.1.2差错控制编码的基本原理,如用三位二进制编码来代表八个字母000A100E001B101F010C110G011D111H不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误如用三位字母传四个字母000A011B101C110D发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。,59,差错控制编码,如用三位字母传二个字母000A111B检二个错误，纠正一个错误。结论具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必须大于信息码组原来的比特数引入余度。,60,码重、码距,码重(weight)一个码组中“1”的数目码距(distance)两个码组之间对应位置上1、0不同的位数，又叫汉明(Hamming)距。10110码重：3011002距离：3,61,检错、纠错能力,为检查出个错误，要求最小码距为为纠正个错误，要求最小码距为为纠正个错误，同时检查出个错误，要求最小码距为,62,63,6.1.3.差错控制编码分类,按功能分检错码纠错码纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除）按信息码元和监督码元之间的校验关系分线性码非线性码按信息码元和监督码元之间的约束方式分分组码卷积码,64,香农理纠错码的理论基础,香农定理存在噪声干扰的信道，若信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息（R为输入到编码器的二进制码元速率），则一定存在一种编码方式，使编码的错误概率随着码长n的增加将按指数下降到任一的值，即P120结论如码长及发送信息速率一定，可以通过增大信道容量，使P减小。如在信道容量及发送信息速率一定，可以通过增加码长，使错误概率下降。,65,分组码,表示：(n,k)n:帧长k/n:编码效率特点监督码只用来监督本帧中的信息位分类线性码信息码与监督码之间为线性关系非线性码不存在线性关系,66,奇偶监督码,偶监督奇监督如果以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查出奇数个错误，但不能检测偶数个错误。最小码距为dmin=2这种码检错能力不高，采用什么方法提高呢？,67,水平奇偶监督码和水平垂直监督码,又叫二维奇偶监督码水平奇偶监督码检码字按行排成方阵，每行采用奇偶监督码，发送时按列的顺序传送，接收时仍将码字排列成发送时方阵形式，然后按行进行奇偶校验。在不增加冗余度时，不仅发现某一行上奇数个错误，而且也能发现不大于方阵行数的突发错误。水平垂直奇偶监督码不仅对行进行奇偶校验，而且也对列进行奇偶校验。,68,分组码(1),分组码的监督方程矩阵形式,6.2线性分组码,69,分组码(2),监督矩阵H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。,70,分组码(3),生成矩阵，通过生成矩阵可以得到生成码组。如果输入码组为0011,71,分组码(4),由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。,72,汉明码,汉明码监督位为位，因此它可以组成种可能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位共要纠正一个错误，必须满足最小码距如果r位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，这种码组称为完备码（取等号时）,73,扩展汉明码,如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督位监督码字由r位增加到r+1位信息位不变码长码结构纠1位错，检测2位错如（8，4），（16，11）,74,扩展汉明码矩阵,如(7,4)(8,4),75,缩短汉明码,(n,k)(n-s,k-s)如(15,11)(12,8)监督矩阵Hs是将原H的前3列去掉缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。,76,能纠t个错误的(n,k)应满足取等号时为完备码不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和dmin有关，dmin越大越好。,77,最小码距界限,上界：汉明界，普洛特金界下界：吉尔伯特界问题：给定码长与编码效率，寻找dmin例：dmin=5,码长=63的分组码设计从汉明界得，因此信息位最多可以取,78,最小码距界限,通过吉尔伯特界求下界线性码k越接近52，效率越高。,79,6.3循环码(Cycliccode),1957年发现特点线性分组码循环性任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组如是循环码的一许用码组则也是一许用码组,80,码多项式表示,码组码多项式码组码多项式左移一位左移位,81,循环码性质,为许用码组，则也是许用码组性质若是长度为n的循环码组，则在按模进行运算后，也是一个循环码组，也就是用多项式除后所得之余式，即为所求的码组。,82,循环码例子,码组左移3位去除得余式如左移3位后，得是许用码组,83,循环码生成多项式g(D),g(D)是D的(n-k)次即r次多项式信息多项式为M(D),k位，(k-1)次多项式,84,Theo.一个(n,k)的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即如(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4如果信息位为010，M(D)=D生成码为0111010,循环码生成多项式g(D),85,生成矩阵G(D),由于k位信息位共有个码组，都可用此法产生，如果现有信息码生成k个码字，且这k个码字都线性无关，用这k个码字作为一个矩阵G的k行构成生成矩阵G(D),86,循环码,(7,3)循环码,87,生成矩阵和监督矩阵,这样构成的循环码并非是系统码系统码的生成矩阵典型形式非系统码系统码生成矩阵监督矩阵,88,非系统码系统码,系统码的码多项式为例如，(7,4)码，1011,89,非系统码系统码,90,寻找生成多项式,Theo.循环码的生成多项式必须能除尽h(D)是监督多项式例：要构成(7,3)循环码，求g(D).解：g(D)应为4阶生成(7,6)循环码生成(7,1)循环码,91,循环码的编码器,原理：按系统码的生成方式以(7,4)码为例,92,循环码的译码器,译码比编码复杂得多译码三步伴随式S的计算由S得到错误图样纠正,93,伴随式的计算,发送码组接收码组误差码组校正子只与E有关，根本是计算校正子,94,6.4BCH码,即约多项式一个m次多项式不能被二元域上任何二次数小于的，但大于0的多项式除尽，如是即约的。本原多项式若m次多项式P(x)除尽的的最小正整数n满足，就称为本原的。如能除尽，但除不尽的。如：是即约的，但不是本原的，因它能除尽。,95,6.4.1本原循环码,由本原多项式构成的码称为本原码。特点码长为它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘而构成。要判定(n,k)的循环码是否存在，只需要判断n-k阶的生成多项式是否能由Dn+1的因式构成。,96,循环码例子,生成多项式的阶次为r,该生成多项式是否是的因此。一个m阶即约多项式一定能除尽如，m5，共有6个5阶即约多项式。再加上因子，是以上7个多项式的乘积。,97,6.4.2BCH码的生成多项式,如果循环码形式的形式为为纠错个数，为最小多项式，为最小公倍数最小码距码长为的BCH码称为本BCH码（侠义）码长为则称为非本原BCH码,98,BCH码,由于g(D)有t个因式，且每个因式的最高次为m，因此监督码元最多有mt位。对于纠t个错误的本原BCH码，其生成多项式纠单个错误的本原BCH码字为汉明码。表1113给