第9节棱柱、棱锥有关概念及性质

第9节棱柱、棱锥有关概念及性质,要点疑点考点,一、棱柱,(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱,1.概念,侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；,2.性质,(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.,(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；,3.长方体及其相关概念、性质,(2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，对角线长为l，则l2=a2+b2+c2,(1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体叫长方体.棱长都相等的长方体叫正方体.,二、棱锥,(1)概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫棱锥,1.一般棱锥,(2)性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比,2.正棱锥,(2)性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三边形各等腰三角形底边上的高相等它叫正棱锥的斜高棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一直角三角形,(1)概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥,1.下列四个命题中：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.正确命题的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3,课前热身,A,2.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()(A)至多只有一个是直角三角形(B)至多只有两个是直角三角形(C)可能都是直角三角形(D)必然都是非直角三角形,C,3.命题：底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；所有的侧棱的长都相等的棱锥，一定是正棱锥；各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥，一定是正棱锥；底面多边形内接于一个圆的棱锥，它的侧棱长都相等；一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的有()(A)0个(B)1个(C)3个(D)5个,C,C,4.正三棱锥VABC中，AB=1，侧棱VA、VB、VC两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为()(A)(B)(C)(D),5.长方体三边之和为a+b+c=6，总面积为11，则其对角线长为5；若一条对角线与二个面所成的角为30或45，则与另一个面所成的角为30；若一条对角线与各条棱所成的角为、，则sin、sin、sin的关系为_.,sin2+sin2+sin2=2,能力思维方法,1.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA底面ABCD，ABC=90，PA=AB=BC=2，AD=1(1)求D到平面PBC的距离；(2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小,【解题回顾】求距离时，用了多次转化；求二面角的平面角时，直接用定义，本题有新意.,2.求证：平行六面体的对角线交于一点，且在这点互相平分.,【解题回顾】从本题可得：平行六面体各对角线的平方和等于它的各棱的平方和.,3.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=，且AA1A1C，AA1=A1C.(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；(3)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.,【解题回顾】(3)点B到面A1ACC1的距离，即为三棱锥BAA1C的高，可由三棱锥的体积转换法而求得，即,4.三棱锥S-ABC是底面边长为a的正三角形，A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心.(1)证明三棱锥SABC是正三棱锥；(2)设BC中点为D，若，求侧棱与底面所成的角.,【解题回顾】(1)证明一个三棱锥是正三棱锥，必须证明它满足正三棱锥的定义.(2)在找线段关系时常利用两个三角形相似.,延伸拓展,5.已知直三棱柱ABCA1B1C1，AB=AC，F为BB1上一点，BF=BC=2a，FB1=a.(1)若D为BC中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，求证：EFFC1；(2)若A1B1=3a，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小.,【说明】本例(1)中，由于E在AD上的任意性，给证题带来些迷惑，但若认真分析题意，将会发现EFFC1与E点位置是无关的.,误解分析,2.棱柱、棱锥中的线、面较多，涉及很