2016年全国高中数学联赛（陕西预赛）试题附答案

2016 年 全国高中数学联赛 陕西赛区 预赛 试题 （ 4月 24日上午 8:30 11:00） 第一试 一 、选择题 （ 每小题 6分 ，共 48 分给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、 已知集合 = 1 ,2 ,3 1 0 M ， ， ， A 是 M 的子集，且 A 中各元素的和为 8 ，则满足条件的子集 A 共有（ ） A. 8 个 B. 7 个 C. 6 个 D. 5 个 2、 在平面直角坐标系中，不等式组303 2 00 表示 的平面区域的面积是（ ） A. 32B. 3 C. 2 D. 23 3、 设 ,同 一 平面 内 的三个单位向量，且 ，则 ( ) ( )c a c b 的最大值是（ ） A. 12 B. 12 C. 21 D. 1 4、从 1, 2, , 20 这 20 个数中，任取 3 个不同的 数 ，则这 3 个数构成等差 数列的概率为（ ） A. 15B. 110C. 319D. 1385、 ,3 上关于直线 0对 称的相 异两点 ，则 |于（ ） A. 3 B. 4 C. 32 D. 42 6、 如图 ， 在棱长为 1 的 正四面体 ， G 为 的重心， M 是线段 中点，则三棱锥 M 的外接球的表面积为（ ） A. B. 32C. 64D. 687、设 函数 32()f x x a x b x c （ ,零整数） . 若 3()f a a ， 3()f b b ， 则 c 的值是（ ） A. 16 B. 4 C. 4 D. 16 8、 设 非 负 实数 ,a b b c c a a b c ，则 a b b c 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 3 D. 22 A C D B G M 二 、填空题 （ 每小题 8分 ，共 32 分 ） 9、 在数列 111, 9， 且 任意连续三项的和都是 15，则2016a _. 10、 设 ,且满足 424，则 m 的最小值是 _. 11、 设 ( ) ( )f x g x、 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 ( ) ( ) 2xf x g x + ，若对1,2x ，不等式 ( ) (2 ) 0af x g x + 恒成立，则实 数 a 的取值范围是 _. 12、设 ，则函数 ( ) | 2 1 | | 3 2 | | 4 3 | | 5 4 |f x x x x x 的最小值为 _. 第二试 一 、 （ 本题满分 20分 ） 设 ,零实数，且满足 s i n c o s 955 t a o s s i （ 1） 求 ； （ 2） 在 中 ，若 求 2 的 最大值 二 、 （ 本题满分 20 分 ） 已知 直线 : 3 4l y x， 动圆 2 2 2: (1 2 )O x y r r ， 菱形 一个内角为 060 ， 顶点 ,线 l 上 ，顶点 , O 上 ，当 r 变化 时，求菱形 面积 S 的 取值范围 三 、 （ 本题满分 20分 ） 如图， 圆12圆1A 与 圆2圆2B 与 圆1直线 的 外接圆 O 交于 另一点 R 求证 ：R A 四 、 （ 本题满分 30 分 ） 设 函数 1( ) l n ( 1 ) ,f x x a a ， 且 ()小值为 0 ， （ 1） 求 a 的 值； （ 2） 已知数列 a，1 ( ) 2 ( N )f a n ， 设 1 2 3a a a a ， 其中 m 表示 不超过 m 的