2016年江西省上饶市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年江西省上饶市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1设集合 A=x| 1 x 3， B=x|6x+8 0，则 AB 等于（ ） A x| 1 x 4 B x|2 x 3 C x|2 x 3 D x| 1 x 4 2设 i 是虚数单位，若复数 为纯虚数，则实数 m 的值为（ ） A 2 B 2 C D 3已知命题 p： x R， 3，则 p 为（ ） A x R， 3 B x R， 3 C x R， 3 D x R， 3 4某高三同学在七次月考考试中，数学成绩如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A 92， 2 B 92， 93， 2 D 93， 函数 f（ x） =（ 2a+1） x+b 与 g（ x） =2（ 1 a） x+2 在（ ， 4上都是递减的，实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 3 B（ ， 3） C 3， ） D（ 3， ） 6在如图所示的算法流程图中，输出 S 的值为（ ） A 11 B 12 C 13 D 15 7下列曲线中，与双曲线 的离心率和渐近线都相同的是（ ） A =1 B =1 C =1 D 第 2 页（共 19 页） 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A B 64 C D 9在约束条件 下，当 t 2 时，其所表示的平面区域面积的取值范围是（ ） A 4， +） B 2， +） C 4， 8 D 2， 4 10过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A B C D 11已知函数 f（ x） =出下列四个命题： （ 1） f（ x）的最大值为 2； （ 2）将 f（ x）的图象向左平移 后所得的函数是偶函数； （ 3） f（ x）在区间 ， 上单调递增； （ 4） f（ x）的图象关于直线 x= 对称 其中正确说法的序号是（ ） A（ 2）（ 3） B（ 1）（ 4） C（ 1）（ 2）（ 4） D（ 1）（ 3）（ 4） 12已知定义在 ， 的函数 f（ x） =） 该函数仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B（ ， ） 2， +） C 0， ） D（ ， 0） ， +） 二、填空题：本大题共四小题。每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 与 的夹角是 120， | |=3， | + |= ，则 | |=_ 14已知数列 公比大于 1 的等比数列，且 a3+0， ，则其前 n 项和 _ 第 3 页（共 19 页） 15等腰 接于抛物线 x， O 为抛物线的顶点，若 面积是 _ 16已知 角 A 的对边 a=2， ，则 上的中线长的最大值是 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17设数列 前 n 项和为 有 ， 2 n+1） n N* （ 1）求 （ 2）求数列 的前 n 项和 18某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者对学校高三年级随机抽取了 100 名学生，调查结果如表： 喜爱 不喜爱 总计 男学生 60 80 女学生 总计 70 30 （ 1）完成如表，并根据表中数据，判断是否有 95%的把握认为 “男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异 ”； （ 2）从以上被调查的学生中以性别 为依据采用分层抽样的方式抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有 1名男生被抽中的概率 附： P（ 9如图，四棱锥 P 侧面 正三角形，底面 菱形， ，点 D 的中点， 0 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 20，求点 B 到平面 距离 20已知直线 l： y= 与椭圆 C： + =1（ 0 b 2） （ 1）若 l 与 C 恒有公共点，求椭圆 C 离心率的取值范围； （ 2）若 b= ，令直线 l 与椭圆 C 的交点为 A、 B，求线段 点 P 的轨迹方程 第 4 页（共 19 页） 21已知函数 f（ x） = a+1） x+a R） （ 1）当 a= ，求 y=f（ x）的单调区间； （ 2）讨论函数 y=f（ x）零点的个数 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的一条切线，切点为 B，直线 是 O 的割线，已知 B （ 1）若 ， 求 的值 （ 2）求证： 选修 4标系与参数方程 23已知直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 4=0， A、 B 两点极坐标分别为（ 1， ）、（ 1， 0） （ 1）求曲线 C 的参数方程； （ 2）在曲线 C 上取一点 P，求 |+| 的最值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x 2|+|x+a|（ a R） （ 1）若 a=1 时，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ 2）若不等式 f（ x） 2x 的解集为 1， +），求 a 的值 第 5 页（共 19 页） 2016 年江西省上饶市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1设集合 A=x| 1 x 3， B=x|6x+8 0，则 AB 等于（ ） A x| 1 x 4 B x|2 x 3 C x|2 x 3 D x| 1 x 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中 不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： A=x| 1 x 3， B=x|6x+8 0=x|2 x 4， AB=x|2 x 3， 故选： C 2设 i 是虚数单位，若复数 为纯虚数，则实数 m 的值为（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 化简复数为 a+形式 ，利用复数的基本概念，列出方程求解即可 【解答】 解：依题意 由复数 为纯虚数可知 ，且 ， 求得 m=2 故选： A 3已知命题 p： x R， 3，则 p 为（ ） A x R， 3 B x R， 3 C x R， 3 D x R， 3 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 【解答】 解：命题为特称命题，则命题的否定是全称命题为： x R， 3， 故选： D 4某高三同学在七次月考考试中，数学成绩如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A 92， 2 B 92， 93， 2 D 93， 考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 【分析】 根据所给的条件，看出七个数据，根据分数处理方法 ，去掉一个最高分 95 和一个最低分 89 后，把剩下的五个数字求出平均数和方差 【解答】 解：由题意知，去掉一个最高分 95 和一个最低分 89 后， 第 6 页（共 19 页） 所剩数据 90， 90， 93， 94， 93 的平均数为 = （ 90+90+93+94+93） =92， 方差 （ 90 92） 2+（ 90 92） 2+（ 93 92） 2+（ 94 92） 2+（ 93 92） 2= 故选： B 5函数 f（ x） =（ 2a+1） x+b 与 g（ x） =2（ 1 a） x+2 在（ ， 4上都是递减的，实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 3 B（ ， 3） C 3， ） D（ 3， ） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据一次函数以及二次函数的单调性得到关于 a 的不等式组，解出即可 【解答】 解：由题意得： ，解得： a 3， 故选： A 6在如图所示的算法流程图中，输出 S 的值为（ ） A 11 B 12 C 13 D 15 【考点】 程序框图 【分析】 据程序框图的流程，写出前 8 次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果 【解答】 解：通过第一次循环得到 s=3， i=4 通过第二次循环得到 s=7， i=5 通过第三次循环得到 s=12， i=6 此时满足判断框中的条件 i 5，执行输出 s=12， 故选 B 7下列曲线中，与双 曲线 的离心率和渐近线都相同的是（ ） 第 7 页（共 19 页） A =1 B =1 C =1 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 双曲线 中 a= ， b=1， c=2 e= = 分别求出 A， B， C， D 离心率和渐近线，再进行比对 【解答】 解：双曲线 中 a= ， b=1， c=2. = ，渐近线 y= x A： e=2，渐近线 y= x，不符合： B： e=2，渐近线 y= x，不符合 C： e= ，渐近线 y= x，符合 D： e= ，渐近线 y= x，不符合 故选 C 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A B 64 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为 4，代入棱锥体积公式，可得答案 【解答】 解：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥， 且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为 4， 其体积 V= 4 4 4= ， 故选 D 第 8 页（共 19 页） 9在约束条件 下，当 t 2 时，其所表示的平面区域面积的取值范围是（ ） A 4， +） B 2， +） C 4， 8 D 2， 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用分类讨论分别求出当 t 取不同值时，对应区域的面积进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 当直线 y+x=t 经过 C（ 2， 0）时，此时 t=2， 当直线 y+x=t 经过 E（ 0， 4）时，此时 t=4， 当 t 4 时，对应的区域为三角形 时 E（ 0， 4）， C（ 2， 0）， 此时三角形的面积为 S（ t） = 2 4=4 为定值， 当 t=24 时，此时平面区域为 此时 B（ 0， 2），此时平面区域的面积最小为 S（ 2） = ， 故对应区域的面积 2 S（ t） 4， 故选： D 10过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由题意设出球的半径，圆 M 的半径，二者与 成直角三角形，求出圆 M 的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比 【解答】 解：设球的半径为 R，圆 M 的半径 r， 由图可知， R2+ 第 9 页（共 19 页） R2= S 球 =4 截面圆 M 的面积为： 则所得截面的面积与球的表面积的比为： 故选 A 11已知函数 f（ x） =出下列四个命题： （ 1） f（ x）的最大值为 2； （ 2）将 f（ x）的图象向左平移 后所得的函数是偶函数； （ 3） f（ x）在区间 ， 上单调递增； （ 4） f（ x）的图象关于直线 x= 对称 其中正确说法的序号是（ ） A（ 2）（ 3） B（ 1）（ 4） C（ 1）（ 2）（ 4） D（ 1）（ 3）（ 4） 【考点】 正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的最 大值、奇偶性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论 【解答】 解：由于函数 f（ x） =2x+ ）， 利用正弦函数的有界性可得它的最大值为 2，故（ 1）正确； 将 f（ x）的图象向左平移 后所得到的函数为 y=2（ x+ ） + =22x+ ）， 显然，所得函数不是偶函数，故（ 2）错误； 在区间 ， 上， 2x+ ， ，故函数 f（ x）单调递增，故（ 3）正确； 令 x= ，求得 f（ x） =2，为函数的最大值，故函数 f（ x）的图象关于直线 x= 对称，故（ 4）正确， 故选： D 12已知定义在 ， 的函数 f（ x） =） 该函数仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 2 B（ ， ） 2， +） C 0， ） D（ ， 0） ， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 若 y=f（ x）仅有一个零点，则函数 g（ x） =）的图象与 y=图象有且仅有一个交点，画出函数的图象，数形结合，可得答案 【解答】 解：令 g（ x） =）， 第 10 页（共 19 页） 则 g（ x） =（ 21）（ ）， 当 x ， ）时， g（ x） 0， g（ x）为减函数， 当 x （ ， ）时， g（ x） 0， g（ x）为增函数， 当 x （ ， 时， g（ x） 0， g（ x）为减函数， 故 g（ x） =）的图象如下图所示： 当 x= 时， g（ x） = 1，此时 a= ， 当 x=0 时， g（ x） =2， 若 y=f（ x）仅有一个零点， 则函数 g（ x） =）的图象与 y=图象有且仅有一个交点， 由图可得： a （ ， ） 2， +）， 故选： B 二、填空题：本大题共四小题。每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 与 的夹角是 120， | |=3， | + |= ，则 | |= 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，解方程即可得到 【解答】 解：向量 与 的夹角是 120， | |=3， | + |= ， 则（ + ） 2=13， 即有 + +2 =13， 即 9+| |2+2 3| |13， 即 | |2 3| | 4=0， 即有 | |=4（ 1 舍去）， 故答案为： 4 14已知数列 公比大于 1 的等比数列，且 a3+0， ，则其前 n 项和 2n 1 【考点】 等比数列的前 n 项和 第 11 页（共 19 页） 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q（ q 1）， a3+0， ， =20，化为： 25q+2=0， 解得 q=2 =8，解得 则其前 n 项和 =2n 1 故答案为： 2n 1 15等腰 接于抛物线 x， O 为抛物线的顶点，若 面积是 16 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设等腰直角三角形 顶点 A（ B（ 利用 B 可求得 x1=而可求得 值，从而可得 S 【解答】 解：设等腰直角三角形 顶点 A（ B（ 则 由 B 得： 2，即（ x1+） =0， 0， 0， 4 0， x1= A， B 关于 x 轴对称 直线 方程为： y=x， 由 解得： 或 ， ， =16 故答案为： 16 16已知 角 A 的对边 a=2， ，则 上的中线长的最大值是 4 【考点】 正弦定理 【分析】 由中线长定理可得： b2+由余弦定理可得： 22=b2+2用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： ，由中线长定理可得： b2+ 由余弦定理可得： 22=b2+2b2+（ b2+化为： b2+34，当且仅当b=c= 时取等号 2 34， 0 m 4， 上的中线长的最大值是 4 第 12 页（共 19 页） 故答案为： 4 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17设数列 前 n 项和为 有 ， 2 n+1） n N* （ 1）求 （ 2）求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由 2 n+1） 21=1，（ n 2），两式相减得 2 n+1） 1，即 是一个常数列，且 =1，问题得以解决， （ 2）先求出 ，再裂项 = =2（ ），即可求前 n 项和 【解答】 解：（ 1）由 2 n+1） 21=1，（ n 2）， 两式相减得 2 n+1） 1， （ n 1） an=1，（ n 2）， = ， 是一个常数列，且 =1， an=n，（ n N*）， （ 2） +2+3+n= ， = =2（ ）， 数列 的前 n 项和为 2（ 1 + + ） =2（ 1 ） = 18某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者对学校高三年级随机抽取了 100 名学生，调查结果如表： 喜爱 不喜爱 总计 男学生 60 80 女学生 总计 70 30 （ 1）完成如表，并根据表中数据，判断是否有 95%的把握认为 “男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异 ”； （ 2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正 好有 1名男生被抽中的概率 附： P（ 13 页（共 19 页） 考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）根据表格可得 2 2 列联表中的其它数据，计算 ，对照数表得出结论、； （ 2）确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论 【解答】 解：（ 1） 2 2 列联表： 喜爱 不喜爱 总计 男学生 60 20 80 女学生 10 10 20 总计 70 30 100 = 有 95%的把握认为 “男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异 ”； （ 2）由题意，这 5 名学生中有 4 名男生和 1 名女生，从中抽取 2 名同学的总情况数有 10种，正好有 1 名男生被抽中的情况数有 4 种， 正好有 1 名男生被抽中的概率为 P= = 19如图，四棱锥 P 侧面 正三角形，底面 菱形， ，点 D 的中点， 0 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 20，求点 B 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 用线面垂直的判定定理证明： 平面 （ 2）利用 B 点 B 到平面 距离 【解答】 （ 1）证明： 侧面 正三角形，点 E 为 中 点， 底面 菱形， 0，点 E 为 中点， E=E， 平面 （ 2）解： ， 20， E= ， S = ， 设点 B 到平面 距离为 h， B ， h= 第 14 页（共 19 页） 20已知直线 l： y= 与椭圆 C： + =1（ 0 b 2） （ 1）若 l 与 C 恒有公共点，求椭圆 C 离心率的取值范围； （ 2）若 b= ，令直线 l 与椭圆 C 的交点为 A、 B，求线段 点 P 的轨迹方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）求得直线 l 恒过定点（ 0， 1），再由题意可得（ 0， 1）在椭圆的内部或椭圆上，即有 + 1，解得 b 的范围，再由离心率公式可得范围； （ 2）求出椭圆方程，将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理，即可得到所求中点 P 的轨迹方程 【解答】 解：（ 1） l 与 C 恒有公共点，可得直线 l： y= 恒过定点（ 0， 1）在椭圆的内部或椭圆上， 即有 + 1，解得 b 1， 又 0 b 2，可得 1 b 2， 由 a=2， c2= 则 e= = = （ 0， ， 即有椭圆 C 离心率的取值范围是（ 0， ； （ 2）由题意可得椭圆方程为 + =1， 将直线 y= 代入椭圆方程，可得 （ 1+22=0， 设 A（ B（ P（ m， n）， 可得 x1+ ， 由中点坐标公式可得 m= = ， n= ， 两式相除可得 k= ，代入 可得 第 15 页（共 19 页） 1+2 = ，化简可得 2n=0， 则线段 点 P 的轨迹方程为 2y=0（ x 0） 21已知函数 f（ x） = a+1） x+a R） （ 1）当 a= ，求 y=f（ x）的单调区间； （ 2）讨论函数 y=f（ x）零点的个数 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）求导函数，再进行分类讨论，从而可确定函数 y=f（ x）的单调性与单调区间，求出函数的最小值，从而判断出零点的个数 【解答】 解：（ 1） a= 时， f（ x） x+ f（ x） = ，（ x 0）， 令 f（ x） 0，解得： x 1 或 0 x ，令 f（ x） 0，解得： x 1， 故 f（ x）在（ 0， ），（ 1， +）递增，在（ ， 1）递减； （ 2） f（ x） = （ x 0）， 由 f（ x） =0，得 ， x2=a， a=0 时， f（ x） = x，有一个零点， a 0 时，令 f（ x） 0，解得： x 1，令 f（ x） 0，解得： 0 x 1， f（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， +）递增， f（ x） f（ 1） = a ， 若 a 0，即 a 0 时， 令 有 f（ = （ a+1） x0+ （ a+1） 2+， 另取 x=f（ =（ 1）（ 2a） 0，故有 2 个零点， 若 a =0 即 a= 时，有一个零点， 若 a 0 即 a 时，没有零点； a 0 时， f（ 1） = a 0，又 f（ a） =a（ a 1+ 第 16 页（共 19 页） 不妨令 g（ x） = x 1+ x 0）， g（ x） = ， 令 g（ x） 0，解得； 0 x 2，令 g（ x） 0，解得： x 2， g（ x）在（ 0， 2）递增，在（ 2， +）递减， g（ x） g（ 2） = 2+0，从而 f（ a） 0， 又 f（ 2a+2） = （ 2a+2） 2（ a+1）（ 2a+2） +2a+2） =2a+2） 0， 故此时函数 y=f（ x）只有 1 个零点； 综上： a 时，没有零点， a 0 或 a= 时，一个零点， a 0 时， 2 个零点 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的一条切线，切点为 B，直线 是 O 的割线，已知 B （ 1）若 ， 求 的值 （ 2）求证： 【考点】 相似三角形的性质；与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）根据圆内接四边形的性质，证出 得 此 = =4； （ 2）根 据切割线定理证出 D以 D出 = ，结合 到 以 根据圆内接四边形的性质得 而 得 【解答】 解：（ 1） 四边形 接于 O， 因此 得 = ， 又 ， ， =4； 证明：（ 2） O 的相切于点 B， O 的割线， D C， D得 = ， 第 17 页（共 19 页） 又 得 四边形 接于 O， 因此 得 选修 4标系与参数方程 23已知直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2