2009年广州高三数学一模理科数学试题

.2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理 科） 2009.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。 考试用时120分钟。注意事项： 1答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式, 其中是锥体的底面积, 是锥体的高.如果事件、互斥，那么.如果事件、相互独立，那么.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1函数的最小正周期为 AB.C. D. 2已知i（1i）（i为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D.万元4已知过、两点的直线与直线平行，则的值为A. B. C. D. 5阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“:=”)，若输出的的值等于,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 A? B. ? C. ? D. ? 6已知：关于的不等式的解集是R，：，则是的 A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件7在中，若，则自然数的值是A7 B8 C9 D10 8在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅一个零点的概率为A B C D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（912题）9. 若，则 .10若d=1, 则实数的值是 . 11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm.12已知数列的前项和为，对任意N都有，且（ N），则的值为 ，的值为 . （二）选做题（1315题，考生只能从中选做两题） 13（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为_ .14.（几何证明选讲选做题）已知是圆（为圆心）的切线，切点为，交圆于两点，则线段的长为 . 15（不等式选讲选做题）已知R，且，则实数的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分） 已知的内角所对的边分别为且.（1）若, 求的值;(2) 若的面积 求的值. 17.（本小题满分14分） 甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和, 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响.（1）求的值；（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为，求的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4, 在三棱锥中，平面，,分别是棱的中点，连接. (1) 求证: 平面平面;(2) 若, 当三棱锥的体积最大时, 求二面角的平面角的余弦值. 图419(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人人数为名（N）.（1）设完成型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，应取何值？20（本小题满分14分）已知动圆过点，且与圆相内切.（1）求动圆的圆心的轨迹方程；（2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，D，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由 21. (本小题满分14分)已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且.(1) 求数列和的通项公式;(2) 设是数列的前项和, 问是否存在常数,使得对任意N都成立,若存在, 求出的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分 题号12345678答案ABCDACBD二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1315是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分9 10 11 12-1；4 13141 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） （本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）解: (1), 且, . 由正弦定理得. . (2) . . 由余弦定理得,. 17（本小题满分14分） （本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力）解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件，“乙射击一次,击中目标”为事件，“甲射击一次,未击中目标”为事件，“乙射击一次,未击中目标”为事件，则，. 依题意得， 解得. 故的值为. （2）的取值分别为. ， ， 的分布列为024 18（本小题满分14分） （本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1) 证明: 分别是棱的中点， 是的中位线. . 平面平面 平面. 同理可证 平面. 平面,平面,平面/ 平面. (2) 求三棱锥的体积的最大值, 给出如下两种解法:解法1: 由已知平面, , . 三棱锥的体积为 . 当且仅当时等号成立，取得最大值,其值为, 此时. 解法2：设，在Rt中，. 三棱锥的体积为 . , 当，即时，取得最大值，其值为，此时. 求二面角的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作,垂足为, 连接. 平面，平面平面, 平面. 平面, . , 平面.平面, . 是二面角的平面角. 在Rt中, .在Rt中,.二面角的平面角的余弦值为. 解法2:分别以所在直线为轴, 轴, 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则. . 设n为平面的法向量, 即令, 则.为平面的一个法向量. 平面的一个法向量为,. 二面角的平面角的余弦值为. 19（本小题满分12分）（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工型零件450个，则完成型零件加工所需时间N，且. （2）生产150件产品，需加工型零件150个， 则完成型零件加工所需时间N，且.设完成全部生产任务所需时间为小时，则为与的较大者.令，即，解得. 所以，当时，；当时，.故. 当时，故在上单调递减，则在上的最小值为（小时）； 当时，故在上单调递增，则在上的最小值为（小时）； ，在上的最小值为.答：为了在最短时间内完成生产任务，应取. 20（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）解：（1）圆， 圆心的坐标为，半径.，点在圆内. 设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，即. 圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为, 则.所求动圆的圆心的轨迹方程为. (2)由 消去化简整理得：.设，则. 由 消去化简整理得：.设，则,. ，即，.或.解得或. 当时,由、得 ，Z,的值为 ，;当，由、得 ，Z,.满足条件的直线共有9条 21（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力）解: (1) 是关于的方程N的两根, 求数列的通项公式, 给出如下四种解法: 解法1: 由,得, 故数列是首项为,公比为的等比数列., 即. 解法2: 由,两边同除以, 得, 令, 则.故 .且也适合上式, 即. 解法3： 由，得， 两式相减得. 当为正奇数时, . 且也适合上式. 当为正偶数时, . 且也适合上式. 当N时，. 解法4：由，得，. 猜想