曲线和曲面上的积分

1,曲线和曲面上的积分,Green公式和Stokes公式,2,内容提要,Green公式：说明平面上简单闭曲线C的(第二型)曲线积分和C所围区域的积分之间的关系及其对有界区域的推广Stokes公式：R3中双侧曲面S上的(第二型)曲面积分与其边沿的(第二型)曲线积分的关系Gauss公式：Rn中n-1维双侧闭曲面S的(第二型)曲面积分和S所围区域上的积分之间的关系及其对有界区域的推广,3,Green定理,设C是平面R2中的一条分段光滑简单闭曲线,W是C所围成的闭区域(C=W),F=(P,Q)是定义在W上的光滑向量场.规定C的方向为逆时针方向,则下列Green公式成立其中r=(x,y),表示在闭曲线C上沿逆时针的方向积分.,4,Green定理示意图,5,Green定理的证明,Green定理的一般证明是复杂,但思想很简单:就是将W分成满足下列形式的小区域Wk:的并,先在每一个上证明定理,然后加起来.这里仅对上面特殊区域证明定理.设,6,Green定理证明(续1),由公式右端出发,7,Green定理证明(续2),同样的,8,Green定理证明(续3),两式相加就得到,9,Green公式例题1,计算曲线积分其中L是由A(1,1)经B(3,2)到C(2,5),再回到A的三角形闭路解:记W=ABC所围成的区域,此时L的方向是正向.,10,Green公式例题1(续),利用Green公式,11,一般形式的Green定理,设W是平面R2中的有界闭区域,其边界W由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成,F=(P,Q)是定义在W上的光滑向量场.规定W的方向(正向)为:沿该方向前行,区域W保持在左侧,则下列Green公式成立,12,Green定理的推论,梯度场(积分与路径无关)定理:单连通开集中的光滑向量场是梯度场的充要条件区域面积计算公式,13,梯度场定理,单连通开集:设W是一个平面开集.如果任何W中的简单闭曲线C所围的区域都包含在W中,就说W是单连通的.设W是平面上的单连通开集,F=(P,Q)是W中的一个光滑向量场,则存在W中的数值函数使得F=的充分必要条件是,14,梯度场定理证明,条件的充分性：假设条件(*)成立.则连结在W中任意两点的曲线积分仅与初始点和终点有关,因此F是梯度场.条件的必要性：假设F=,则,15,Green公式例题2,计算其中C是绕原点(0,0)按逆时针方向的一条闭曲线.解,16,Green公式例题2(续),注意这个向量场在原点不连续,因此我们不能得到所求的曲线积分为零.记Cr为以原点为心,r为半径的圆周,当r充分小时,Cr包含在C所围成的区域内.由一般形式的Green公式.,17,区域面积计算公式,设W是平面上的有界闭区域,其边界W由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成,则W的面积为,18,Stokes定理,设W是平面上的一个有界单连通闭区域,其边界W为一条分段光滑的简单闭曲线.:为曲面S的正则表示,S=(W)称作曲面S的边界.规定S的方向与S的方向成右手螺旋.设F=(P,Q,R)为S上的一个光滑向量场,则,19,Stokes公式(续1),这个公式称作Stokes公式,其中r=(x,y,z),称作向量场的旋度,也记成curlF.这个公式是Green公式到三维欧氏空间曲面上的推广.设(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v).W=h(t)=(u(t),v(t):ta,b逆时针方向.,20,Stokes公式(续2),下面计算：注意下面记号的省略,21,Stokes公式(续3),由Green公式计算得到,22,Stokes公式(续4),这就有所以,23,Stokes公式(续5),类似地有相加就得到所要的公式#,24,Stokes公式的简单记法,Stokes公式有下面的行列式记法,25,一般形式Stokes定理,设W是平面R2中的有界闭区域,其边界W由有限多条分段光滑的简单闭曲线组成.:R3为单射分片光滑.S=(W),S=(W).F=(P,Q,R)为S上的一个分片光滑向量场,则其中S的方向(侧)与S的方向成广义右手螺旋,即站在S一侧,沿S的方向前行,曲面S保持在左侧.#,26,梯度场定理,单面连通开集:设WR3是开集.如果任何W中的简单闭曲线C,存在分片光滑单射:B2W,(B2