第1章条件概率,全概率公式(二)ppt课件

.,第一章随机事件与概率（二）,.,本章要点,了解概率论中的一些基本概念:随机试验,样本点,样本空间.事件的关系和运算.了解概率的统计定义和,古典概型.了解概率的公理化定义及相关性质,掌握古,典概型中概率的计算方法.,.,五、条件概率与事件的独立性,1.条件概率,引例,某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的相同牌号的,冰箱台,甲厂生产的台中有台次品.乙厂生产的,台中有台是次品.今工商质检队随机地从库存的,冰箱中抽检一台,那么抽检到的台是次品（记为事件）,的概率有多大？,.,转变为在事件发生的前提下（增加了一个附带条件）,由古典概率的计算,知,若商店有意让质检队从甲厂生产的产品中抽检台,那,么这台是次品的概率又是多少？,容易得到,此时的概率为,注意到这两个概率是不同的,想想为什么?,从甲厂生产的产品中抽取台（记为事件）,则问题,即在“抽到的产品是甲厂生产”的条件下,求事件发生,.,注意到,的概率.,如此概率称为条件概率,记为,从而有关系:,.,下面就几何概率,验证上式的正确性.,设样本空间是某个区域,每个样本点出现的可能性,相同,则由几何概率的计算公式得:,在事件发生的前提下（样本空间从缩小到）,事,件发生的概率为,.,由此得到,.,定义给定一个随机试验,是相应的样本空间,对于,任意两个事件,其中,称,为在已知事件发生的条件下,事件的条件概率.,可以验证,条件概率,满足概率公理化定义中,的条公理.,.,例21某建筑物按设计要求使用寿命超过年的概率为,超过年的概率为,该建筑物使用寿命超过,年后,它将在年内倒塌的概率有多大?,解设事件表示“该建筑物使用寿命超过年”,事件,表示“该建筑物使用寿命超过年”.,由题意,得,又因为,故所求的,条件概率为,.,.,例22某袋中有红球6个,白球4个,取二次球,每次取一,解记分别表示第一、第二次取红球的事件.由条,注意到,此时且,个.求在第一次取到红球的条件下,第二次也取到红球,的概率（不放回）.,件在第一次取红球的条件下第二次取红球的概率为:,.,由得,.,设为事件,且由条件概率公式,变形后有,2.乘法公式,.,进一步地有,设为事件,则,.,例23（机遇问题）,解以表示第人摸到奖券这一事件,则,由乘法公式得,四个人摸到的概率.,设有十人摸一张有奖的奖券,求第,第四人摸到的事件为,.,.,例23设袋中有个红球和个白球.每次随机地从袋,的球,共取了次,试求次取到的都是红球的概率.,解设事件表示第次取到的是红球,则,中取球,然后把原球放进,再放进个与取出的球同色,.,所以,.,独立的意义,问题的引出:设是随机试验,是相应的样本空间,是两个事件.在前面的众多例子中,我们看到,在一,般情况下,事件的发生都会对事件的发生产生影响,但某些情况下,事件的发生与的发生没有任何影响.,用数学公式来反映的话即为:,2.随机事件的独立性,.,例24一袋中装有个4白球,2个黑球,从中有放回取两次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的,又有条件概率公式,每次取一个.求在第一次取到的是白球的条件下,第二次,取到的也是白球的概率.,也是白球,则有,.,即:,上式表明:事件的发生对事件的发生没有任何影响.,再由条件概率公式:,实际上,由于该问题是一个放回抽样问题,常识告诉我们,事件不应该对事件产生影响.由上式:,.,和前式相比较,有,为此,我们引入下面概念.,.,定义设为事件,且满足,则称事件是独立的.,独立性,.,定理如果,件是,则事件独立的充分必要条,.,定理下列个命题是等价的:,事件与相互独立;,事件与相互独立;,事件与相互独立;,事件与相互独立.,注意该定理的意义.,.,定义设为事件组,且任取有,则称是相互独立的.,.,当时,事件组独立的含义是:,当成立,则称事件组是两两独立的.,.,例25某项工作交由三个人独立完成,设这三人完成的,解设分别表示第一,第二,第三人完成该工,再设事件表示工作被完成,则因,又,概率分别为求该项工作被完成的概率.,作,则,.,所以,所以,注意求解该类题的一般方法.,.,例26已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为,解事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等价于“100个,且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的.今混合100个人,的血清,试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率,人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.设事件表,则所求概率为:,示“第个人的血清中含有肝炎病毒”,.,即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为0.33.,此例说明,小概率事件在多次的重复试验中会有较大,可能出现.,.,3.独立性在可靠性问题中的应用,可靠性问题是系统设计,产品质量控制中的一类重要,问题.,在以下讨论中,假设各元件是否能正常工作是相互独,立的.,.,解设表示各部件正常,靠度为,因此系统的可靠度为,例27设一个系统由个元件串联而成,第个元件的可,试求这个串联系统的可靠度.,表示系统正常,则系统正常等价于每个部件正常.,这样的问题称为串联系统问题.,.,例28设某台设备由六部件组成,已知该设备出故障,解设表示各部件正常,表示设备正常,又,每个部件都出故障.又,每个部件工作出故障的可能性,为求设备正常工作的概率.,则有,.,该问题称为并联系统问题.,.,例29设一个系统由个元件组成,其连接方式如图所,示,试求这个混合系统的可靠度.,解元件组成一个并联系统,相应的可靠度为,该系统与元件组成一个串联系统,此时可靠度为,.,最后与元件构成并联系统,故相应的可靠度为,.,贝努利试验,目标是相互独立的.,则称这个试验为贝努利试验,相应的数学模型称为贝努,4.贝努利概型和二项概率,甲、乙、丙名射手向同一目标射击,把每个射手的,射击看做是一个试验,共有个试验.,假定每个射手射中,假定个试验的试验结果是相互独,立的,便称这个试验相互独立.,如果在次试验中,我们只关心某个事件是否发生,.,利概型.,通常记,则,如果把贝努利试验独立地重复做次,这个试验合在一,起称为重贝努利概型.,设事件表示“重贝努利试验中事件恰好发生次”,在指定的次试验中发生而其余的为的概率为:,.,注意到,这样的指定方式总共有个,所以所求概率,为,又因为这样的概率仅和数有关,因而上式常常简记,为,通常又称上式为二项概率.,.,例30抛起一枚均匀的硬币次,试求恰出现次正面向,上的概率.,解此时,由公式得,.,例31设某人开车回家,途经6个道口,已知在每个道口,解此为的二项概率.由公式得,1.,2.,遇红灯的概率为0.4,求,1.恰好遇到4个红灯的概率;,2.至少遇到二个红灯的概率.,.,例32某小区有10部电梯,每部电梯发生故障的概率为,解此问题是的二项概率,以表示在,0.2,求在同一时刻有三部电梯发生故障的概率.,同一时刻电梯发生故障的台数,则问题为求概率,由公式得,.,该问题可以进一步延伸为:某小区有200部电梯,每部,电梯发生故障的概率为0.02,电梯发生故障时,物业管理,部门需要派出一名维修工人进行修理.要保证电梯发生,故障时,物业管理部门一定有维修工人可以派遣,则一,个最可靠的方法是,为每一部电梯都安排一个维修人员.,但实际上,没有一个物业管理部门会这样做.现在的问题,是,如果我们要求以95%的把握保证当电梯发生故障时,物业部门有维修人员可以派遣,则应该聘用多少名维修,人员？,.,若以表示发生故障的电梯台数,表示聘用的维修人,即要找到适当的使上式成立.若用公式进行计算,员数,则问题为,则问题是比较复杂的.在下一章中,我们寻找更好的方,法来解决该问题.,.,例33甲、乙两名选手进行比赛,已知甲的实力较强,每盘棋获胜的概率为,假定每盘棋的胜负是相互独立,的,在下列种情况下,试求甲最终获胜的概率.,采用三盘比赛制;,采用五盘比赛制;,采用九盘比赛制.,解每盘比赛只有“甲胜”（记作）与甲负（记作）,两种结果，此为一个贝努利概型.,.,.,1.完备事件组,六、全概率公式和贝叶斯公式,设为随机试验,为相应的样本空间,则称该事件组为完备事件组.,为事件组,若满足,.,是一个完备事件组.,例34设而,注完备事件组实质上是样本空间的一个划分.,.,2.全概率公式与逆概率公式,贝叶斯公式,全概率公式,定理设个事件构成样本空间的一个划,分,是一个事件,当时,当时,.,公式称为贝叶斯公式或逆概率公式,.,不合格率分别为,机地取了一台.,求该产品为不合格品的概率;,顾客开箱测试后发现冰箱不合格,但这台冰箱的厂标,例35某商店有台相同型号的冰箱待售,其中台,是甲厂生产的,台是乙厂生产的,台是丙厂生产的,一位顾客从这批冰箱中随,已经脱落,试问这台冰箱是甲厂、乙厂、丙厂生产的概,率各为多少?,.,解以分别表示“顾客买到的冰箱是甲厂、乙,厂、丙厂生产的”,由全概率公式得:,则,是样本空间的一个划分,且,再设表示“买到的是不合格品”,则,.,由贝叶斯公式:,.,注意对一个较为复杂的由多种“原因”形成的概率问,题,使用全概率公式是一个很好的选择.,.,例36甲袋中有红球6个,白球3个,乙袋中有红球5个,白,解以分别表示从甲袋及乙袋中取到的是红球,则,由全概率公式得,球4个,今随机地从甲袋中取一球放入乙袋,再从乙袋中,取一球,求从乙袋中取红球的概率.,.,注意该概率的具体意义.,.,例37设有三箱产品,其中甲箱有产品120件,次品率,随机取一箱,再取一件,取到的是次品;,开箱后混放,从中取一件,取到的是次品;,乙箱有100件,次品率丙箱有200件,次品率求以,下概率:,在第二种情况下,发现是次品,该产品是由乙厂生产,的.,.,解设表示从甲、乙、丙三箱中取产品,表,由于是随机取箱,所以,示取到的是次品,则,由全概率公式,又,.,由于第二个问题是开箱后混放产品,故取到各箱产品,的概率就不同了,此时产品总数为420件,所以,.,再由全概率公式得,.,因,由贝叶斯公式,.,例37一批产品中,由甲、乙、丙三厂共同生产的,其中,解以分别表示从甲、乙、丙三厂取产品,则,又设表示取到的是次品,则,甲厂的产品占次品率为乙厂的产品占,次品率为丙厂的产品占次品率今随机,地抽取一产品,已知取到的是次品,则该产品是由乙厂,生产的概率是多少?,.,及,由全概率公式,得再由公式得,.,例38某架飞机有可能飞过三城市上空,飞过甲地的概,解设表示飞机飞过甲、乙、丙三城市的上空,率为0.2;飞过乙地的概率为0.5;飞过丙地的概率为0.3;,当飞机飞过城市,有可能被击落,击落的概率分别为,现已知飞机被击落,问飞机在哪个城市上,空被击落的可能性最大？,表示飞机被击落,则由已知条件得:,.,及,则由全概率公式得,再由贝叶斯公式得:,.,.,所以,在乙城市上空被击落的可能性最大.,.,例39三人独立向一飞机射击,命中率分别为,解设分别表示第一、二、三人击中飞机,则,又设表示有一人击中飞机,则,已知飞机被一人击中而被击落的概率为0.4,如果被二人,击中,被击落的概率为0.7,三人击中,则飞机一定被击,落.,求飞机被击落的概率.,.,上式中的事件是两两互不相容的,因而有,设表示飞机被击落,则由已知条件得,及和最后设表示有三人,同理,设表示有二人击中飞机,则有,.,击中飞机,则有及由全概率,公式得,.,例40（桥式系统）,设一个系统由个元件组成,连接,方式如下图.,每个元件的可靠度都是,每个元件是否,正常工作是相互独立的,试求这个桥式系统的可靠度.,当元件正常时,系统相当于下图所示一个混联系统:,解记表示元件处于正常工作,表示系统正常.,.,因而可靠度为,若不发生时,系统如下图所示的混联系统:,.,因而可靠度为,由全概率公式得,.,.,七、部分作业解答,.,1.2化简下列各式,解,.,1.3某建筑物倒塌（记为事件）的原因有以下三个:,1.地震（记为事件）；2.台风（记为事件）;3.暴,雨（记为事件）.已知台风时必有暴雨,试用简明的,形式表达下列事件,解,.,1.6已知件产品中有是不合格品,今从中随机地抽,件,试求:,产品中恰有不合格品的概率;,产品中至少有一件不合格的概率.,解以表示取到的件产品中恰有件是次品,则取,法总数为,而取到的产品中恰有件是次品的取法,数为,因而所求的概率为,.,以表示取到的产品中至少有一件是次品,则表示,取到的产品都是正品.所以所求概率为,.,所求概率为:,中取,相应的取法数是,1.7一个口袋里装了球,编号分别是,今随机,地从袋取只球,试求:,最小号码是的概率;,最大号码是的概率.,解以表示取到的最小号码是此意味着另外球从,.,记事件表示“最大号码是”，则同样地有,.,1.11设是两个事件,已知,试求,解因,所以,.,1.12设是个事件,已知,试求中至少有个发生的概率和全不发,生的概率.,解,.,.,1.14一盒子中装有只晶体管,其中有只是不合格品.,现在做不放回抽样,连接取次,每次随机地取只,试,求下面事件的概率:,只都是合格品;,只是合格品,是不合格品;,至少有只是合格品.,解连续两次取产品的所有可能的取法总数是,以表示取到的都是合格品,则取法总数是,.,所以,以表示取到的产品中有一个是合格品,则取法数为,所以,以表示取到的产品中至少有一个是合格品,则表,示取到的产品中全部是不合格品.因而,.,所以,.,1.15一商店出售晶体管,每盒装只.已知每盒中有,只为不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式.顾客,买一盒晶体管,如果随机地取只,发现是不合格品,商,店要立刻把只合格的晶体管放入盒中.不合格的那只,晶体管就不再放回.,顾客在一只盒子中随机地先后取,只晶体管进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.,解以表示第次取到的是不合格品,则由已知条件,得:,.,由乘法公式得,.,1.16设是两个相互独立事件,已知,求,解由,独立性,由此得,.,1.18设一名情报员能破译一份密码的概率是,试,问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概,率大于,解设总共使用名情报员破译密码.则密码被破译的,概率为,又由已知条件,即,所以要使用名情报员.,.,1.20有个元件,每个元件的可靠度都是试求下,列系统的可靠度:,每个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并,连;,每两个元件并联成一个子系统,再把这个子系统串,连.,解个元件串联之后的可靠度为:,所以两个子系统并联之后的可靠度为,.,两个元件并联后构成的子系统的可靠度为,因而个这样的子系统串联后所形成的系统的可靠度为,.,1.22名篮球运动员独立地投篮,每个运动员投篮的命,中率都是,他们各投篮一次,试求:,恰有次投中的概率;,至少有次投中的概率;,至多有次投中的概率;,解该问题是一个,的二项概率.,.,所以,.,1.24某厂生产的钢琴中有可以直接出厂,剩下的,经调试后,其中可以出厂,被定为不合格品,不能出厂.,该厂现生产了架钢琴,假定各钢琴,的质量是相互独立的,求:,任意一架钢琴能出厂的概率;,恰有架不能出厂