2.4磁场的“高斯定理”磁矢势

1,磁场的“高斯定理”磁矢势,一、磁通量,为了研究磁场的性质，仿照电场的情况，引入磁通量的概念。通过磁场中面元dS的磁感应通量（即磁通量）定义为,它的直观意义是：穿过面元dS的磁感应线的条数。,对于任意曲面S，通过它的磁通量为,正如电通量代表电力线的数目一样，磁通量也可理解为磁感应线的数目，这样，磁感应强度B就是通过单位垂直面积的磁感应线数目，即磁感应线的数密度。所以磁感应线密集的地方磁感应强度大，在磁感应线稀疏的地方磁感应强度小。,对于闭合曲面，一般规定外法线为正，所以穿出曲面的磁通量为正，进入曲面的磁通量为负。,国际单位制中磁通量的单位为特斯拉米2（Tm2)，又称韦伯（Wb）。即1Wb=1Tm2,二、高斯定理,由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以对于任何一个闭合曲面，若有多少条磁力线进入闭合曲面，就必然有多少条磁力线穿出闭合曲面，因此通过任意闭合曲面的磁通量m恒为零，这就是稳恒磁场高斯定理，其表达式为,磁场高斯定理是表征磁场性质的一条重要定理，它说明稳恒磁场是无源场，与静电场的性质不同。,4,高斯定理的证明,证明：单个电流元Idl的磁感应线：以dl方向为轴线的一系列同心圆，圆周上B处处相等；,磁感应管：由一束磁感应线围成的管状区域。,单个电流元Idl的磁感应线所围成的磁感应管为横截面相等的环状磁感应管。,5,考察任一磁感应管(正截面为dS)，取任意闭合曲面S，磁感应管穿入S一次，穿出一次。,结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零,6,推广到任意载流回路的磁场,一个电流元产生的磁场可看成由许多磁感应管组成有的穿入又穿出，有上述结论有的没穿过S，磁通量为零任意载流回路由许多电流元串联而成，由叠加原理得结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总磁通量恒等于零。,补充：矢量场的通量和散度高斯定理,矢量场沿曲面的积分称为通量，其中的方向为面元的法线方向。,矢量场在P点的散度或定义为,式中是闭合曲面包围的体积。矢量场的散度是标量场。,矢量场的高斯定理：矢量场通过任意闭合曲面的通量，等于该矢量的散度在所包围体积内的积分，即,补充：矢量场的环量和旋度斯托克斯定理,矢量场沿曲面的积分称为环量，其中的方向为线元的切线方向，顺着回路的走向。,式中是闭合回路包围的面积。是的右旋单位法线矢量。矢量场的旋度也是矢量场。,矢量场的斯托克斯定理：矢量场在任意闭合回路的环量，等于该矢量的旋度在以为边界的曲面上的积分，即,称为劈形算符或纳布拉算符，是一个矢量微分算符。称为拉普拉斯算符。,算符及相关公式,在直角坐标系中的表达式,10,磁高斯定理的微分形式,利用数学的高斯定理,说明恒磁场的散度为零无源场,11,磁矢势,然而磁场的主要特征：无源（无散）磁高斯定理其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势,无源场,有旋场,非保守场一般不引入标势,12,磁高斯定理表明：对任意闭合面,磁通量仅由曲面S1和S2的共同边界线L所决定,可能找到一个矢量A，它沿L作线积分等于通过S的通量,数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，对于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间的分布也构成矢量场，简称矢势,13,根据矢量分析,对任意矢量A有,矢势的特点,其实标势也不唯一，零点可选,如：对于任意标量场的梯度，有,描述同一个磁感应强度B,类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取通常选库仑规范:A=0,14,找电流产生的磁场中磁矢势的表达式,电流元的磁矢势p112式（2.55)任意闭合回路的磁矢势式（2.56)例题9例题10例题11,两种办法,电动力学的做法,普通物理的方法,15,电流元的磁矢势,设磁矢势a与电流元平行（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范A=0的结果）a只有z分量,以电流元为轴,取柱坐标（、z),取闭合环路L,只有这一段积分有贡献,？,取无穷远处的磁矢势为0,16,计算通过L的通量,场点P和回路L在0的平面内通过L的磁感应通量为：,消去dl,17,上式为电流元所产生的磁场中矢势的一个表达式矢势表达式不唯一任意闭合载流回路L1在空间某点的矢势,电流在导线截面上均匀分布,电流回路,假如电流在载流截面上不均匀分布,矢势公式的应用举例,例题9：一对平行无限长直导线，载有等量反向电流I先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）设矢势A只有z分量无限长Az与z无关轴对称Az与无关Az只是的函数：AzAz(),取回路,求磁通量,一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差,两根无限长载流直导线的磁矢势矢量叠加（如图）,叠加得P点总矢势,取Q零点,例题10：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在界面上均匀分布的电流I，求磁矢势rR：导线外部同例题9，取Q点在导体表面，外部任意点P与Q点的矢势差为,21,求矢势小结,依据公式(a)求矢势的基本步骤根据对称性，假设一个矢势的方向取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出积分号，或积分好算）算出通过回路