行列式的计算技巧和方法总结

计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式2、三阶行列式=例1计算三阶行列式解 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式 下三角形行列式 对角行列式 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若 则 .性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3 用数乘行列式的某一行(列), 等于用数乘此行列式, 即第行(列)乘以,记为(或).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,.则 .性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数乘第行加到第行上,记作; 以数乘第列加到第列上，记作.2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若, 则例3（1）（第一、二行互换）.（2）（第二、三列互换）（3）（第一、二两行相等）（4）（第二、三列相等）例4（1）因为第三行是第一行的倍.（2）因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若, 则 又 .例6 设 求解 利用行列式性质，有例7（1）（2）.例8 因为而.因此.注: 一般来说下式是不成立的.例9（1）,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式.解 先将第一行的公因子3提出来：再计算例11 计算解 例12计算解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式. 注：仿照上述方法可得到更一般的结果:例13 计算 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使中的零元素增多. 例14 计算解 从第4行开始，后一行减前一行： 三、 行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在阶行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的阶行列式,称为中元素的余子式, 记为, 再记称为元素的代数余子式.引理（常用） 一个n阶行列式D , 若其中第i行所有元素除外都为零，则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即或 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即或 2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在阶行列式中,任意选定行列, 位于这些行和列交叉处的个元素,按原来顺序构成一个阶行列式, 称为的一个阶子式,划去这行列, 余下的元素按原来的顺序构成阶行列式,在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标.注：行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.定理2 (拉普拉斯定理) 在阶行列式中, 任意取定行(列),由这行(列)组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式.例15求下列行列式的值:（1） （2）解 (1) (2) 例16计算行列式 解 例17计算行列式 解 例18求证 .证 例19设 D中元素的余子式和代数余子式依次记作和,求及.解 注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即 又按定义知, 例20 用拉普拉斯定理求行列式 的值.解 按第一行和第二行展开 每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效