高三理科数学春季系统班第08讲三视图与球（理） 课程资料（解析版）

【高考地位】 球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目而且球相 关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧还有球的截面 的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的题 目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现 【方法点评】 类型一 球的内切问题 使用情景：有关球的内切问题 解题模板：第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论. 例 1如图 1 所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 （1）求两 球半径之和； （2）球的半径为多少时，两球体积之和最小 【答案】 （1） 33 2 R ； （2）当 4 33 rR时，体积之和有最小值 图 1 【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的 球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图 2 的截面图，在图 2 中，观察R与r和棱长间的关系即可 【变式演练 1】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半 径为r的铁球， 这时水面恰好和球面相切 问将球从圆锥内取出后， 圆锥内水平面的高是多少？ 【答案】球取出后，圆锥内水平面高为r 3 15 【解析】 又 球圆锥水 VVV，则 333 3 4 3 9 1 rrx，解得rx 3 15 答：球取出后，圆锥内水平面高为r 3 15 【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部 分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解 考点：空间几何体的体积； 【变式演练 2】在四面体SABC中，,2,2ABBC ABBCSASC，二面角 SACB的余弦值是 3 3 ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A8 6 B6 C24 D6 【答案】B 【解析】 考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积. 【变式演练 3】把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面 放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离 【答案】 3 62 2 【解析】由题意，四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高 3 62 ) 3 3 2(2 22 h而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且 三个球心到桌面的距离都为 1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 3 62 2 【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组 成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2 考点：空间几何体的球体积和表面积. 【变式演练 4】已知三棱锥SABC，满足,SA SB SC两两垂直，且2SASBSC，Q 是三棱锥SABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为 . 【答案】 4 3 3 【解析】 考点：三棱锥的外接球 【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为 平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb， PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R 2a2b2c2求解 类型二 球的外切问题 使用情景：有关球的外切问题 解题模板：第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论. 例 2. 正三棱锥ABCP的侧棱长为l，两侧棱的夹角为2，求它的外接球的体积 【答案】 32 2 334sin 2(34sin) l )sin43(2 sin433 sin 3 4 1 2 3 4 2 23 3 2 l l V球 【点评】解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解 决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每 个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系求 球半径，是解本题的关键 例 3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为 （ ） A 243 16 B 81 16 C 81 4 D 27 4 【答案】A 【解析】 考点：球的表面积和体积. 【变式演练 5】已知CBA、是球O的球面上三点，2AB，32AC， 60ABC， 且棱锥ABCO的体积为 3 64 ，则球O的表面积为（ ） A10 B24 C36 D48 【答案】D 【解析】 试题分析：在ABC中，由正弦定理 sinsin ACAB ABCACB ,即 0 2 32 sin60sinACB ,所以 1 sin 2 ACB,ABAC,所以 00 30 ,90ACBCAB, 1 2 2 32 3 2 ABC S ， 由 4 6 3 O ABC V 得球心O到平面ABC的距离为2 2,由于ABC为直角三角形,设斜边 BC中点为M,则OM 面ABC,在Rt OMB中,球的半径 22 2 3ROBOMMB,所以球O的表面积 2 448SR,选 D. 考点：1.正弦定理；2.三棱锥体积公式；3.球表面积公式. 【思路点晴】本题主要考查了空间思维能力，空间几何体性质等，属于中档题. 本题先利用 解三角形判断三角形ABC的形状,求出 0 90CAB,算出三角形ABC的面积,由棱锥 ABCO的体积， 求出球心到平面ABC的距离.斜边BC中点M也是三角形ABC的外接圆 圆心,所以OM 面ABC,再在Rt OMB中,求出球的半径,再算出表面积. 【变式演练 6】已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，其中ABCD为正方形， PAD为等腰直角三角形，2PAPD，则四棱锥PABCD外接球的表面积为（ ） A10 B4 C. 16 D8 【答案】D 【解析】 试题分析：因为PAD为等腰直角三角形，2PAPD,故2ABAD,则点P到平 面ABCD的距离为1,而底面正方形的中心O到边AD的距离也为1,则顶点P正方形中心O 的距离2PO,正方形的外接圆的半径为2,故正方形ABCD的中心是球心,则球的半径 为2,所以该几何体外接球的表面积824 2 S,应选 D. 考点：几何体的外接球的面积与计算. 【变式演练 6】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其 中18AB，24BC、30AC，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积 【答案】 1 27 【点评】涉及到球的截面的问题，总是使用关系式 22 dRr解题，我们可以通过两个量 求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量例如，过球O表面上一点A引 三条长度相等的弦AB、AC、AD， 且两两夹角都为60， 若球半径为R， 求弦AB的长度 由 条件可抓住BCDA是正四面体，A、B、C、D为球上四点，则球心在正四面体中心， 设aAB ，则截面BCD与球心的距离Rad 3 6 ，过点B、C、D的截面圆半径 ar 3 3 ，所以 222 ) 3 6 () 3 3 (RaRa得Ra 3 62 考点：空间几何体的球体积和表面积. 【高考再现】 1. 【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱 111 ABCABC内有一个体积为V的球，若 ABBC， 6AB ，8BC ， 1 3AA ，则V的最大值是（ ） （A）4 （B） 9 2 （C）6 （D） 32 3 【答案】B 【解析】 【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向： （1）根据几何体的结构特征，变 动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； （2）将几何体平面化，如利用展开图，在平 面几何图中直观求解； （3）建立函数，通过求函数的最值来求解 2. 【2016 高考新课标文数】 【2016 高考新课标文数】在封闭的直三棱柱 111 ABCABC内有一个体积为V的球，若 ABBC，6AB ，8BC ， 1 3AA ，则V的最大值是（ ） （A）4 （B） 9 2 （C）6 （D） 32 3 【答案】B 【解析】 试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底 面都相切时，球的半径取得最大值 3 2 ，此时球的体积为 33 4439 ( ) 3322 R，故选 B 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积 【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向： （1）根据几何体的结构特征，变 动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； （2）将几何体平面化，如利用展开图，在平 面几何图中直观求解； （3）建立函数，通过求函数的最值来求解 3. 【2015 高考新课标 2， 理 9】 已知 A,B 是球 O 的球面上两点， AOB=90,C 为该球面上的动点， 若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A36 B.64 C.144 D.256 【答案】C 【考点定位】外接球表面积和椎体的体积 B O A C 【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质， 正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题 【反馈练习】 【河南省新乡市 2017 届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知一个圆锥内接 于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上） ，若球的半径5R ，圆锥的高是底面半径的 2 倍，则圆锥的体积为_ 【答案】 128 3 【解析】 试题分析：设圆锥底面半径为r，高为2r.依题意有 22 2RrRr，解得4r ，所以圆 锥的体积为 2 1128 48 33 . 考点：圆锥与球 【湖南永州市 2017 届高三第一次模拟，10】设三棱柱 111 ABCA B C的侧棱与底面垂直， 90BCA，2BCCA，若该棱柱的所有顶点都在体积为 32 3 的球面上，则直线 1 B C与直 线 1 AC所成角的余弦值为（ ） A 2 3 B 2 3 C 5 3 D 5 3 【答案】B 【解析】 考点：三棱柱外接球、异面直线所成角 【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、 四个面都是直角三角形的三棱锥. 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相 等的三棱锥. 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. 若三棱 锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 【河南省开封市 2017 届高三上学期 10 月月考数学（理）试题】如图,已知一个八面体的 各条棱长均为 1, 四边形 ABCD 为正方形，则下列命题中的假命题是 A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是 60 o或 90o； B. 四边形 AECF 是正方形； C. 点 A 到平面 BCE 的距离为 6 4 ; D. 该八面体的顶点在同一个球面上. 【答案】C 【解析】 试题解析：因为八面体的各条棱长均为 1, 四边形 ABCD 为正方形，相邻两条棱所在的直线所 成的角是 0 60,而象 AE 与 CE 所成的角为 0 90,A 正确；四边形 AECF 各边长均为 1， 2 EFAC，所以四边形 AECF 是正方形；2DB，该八面体的顶点在同一个球面上， D 正确； 设 A 到平面 BCE 的距离为 h,由 BCEAABCDE VV 2， 所以h 4 3 3 1 2 2 2 11 3 1 ， 解得 3 6 h，C 错误； 考点：空间几何体中点、线、面的位置关系. 4. 【山西大学附中 2017 届高三第二次模拟测试数学（理）试题】正三棱锥的高为 1，底面边 长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积 【答案】)625(8)26(44 22 RS球， 33 )26( 3 4 3 4 RV球 RR36 3 1 323 3 1 136 3 1 得：26 332 32 R， )625(8)26(44 22 RS球 33 )26( 3 4 3 4 RV球 【点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半 径R来求出R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法比如： 四个半径为R的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个 球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R2，四个球心构成一个棱长 为R2的正四面体，可以计算正四面体的高为RR 3 62 2 3 6 ，从而上面球离开桌面的高 度为RR 3 62 2 考点：空间几何体的球体积和表面积. 5. 【湖南省郴州市 2017 届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】已知棱长为 3 的 正四面体ABCD，E、F是棱AB、AC上的点， 且FCAF2，AEBE2 求四面体AEFD 的内切球半径和外接球半径 【答案】四面体AEFD的内切球半径为 8 6 ，外接球半径为 2 10 ) 4 35 4 33 2 33 2 3