高考数学妙招

录 3 1.1分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2向量的换底公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3三次函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.3.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.4迭代函数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1.4.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1.4.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.4.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 1.5焦半径公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 1.5.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 1.5.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.5.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.6抛物线的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 1.6.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 1.6.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1.6.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1.7有次曲线的“垂径定理”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.7.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.7.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 1 2录 1.7.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1.8仿射变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1.8.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1.8.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 1.8.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 1.9定点差法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 1.9.1知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 1.9.2习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 1.9.3习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 1.10 圆锥曲线的切线程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 1.10.1 知识讲解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 1.10.2 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 1.10.3 习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 破解压轴题有效10招 1.1分离变量法 1.1.1知识讲解 分离变量法般来解决含参的不等式或程问题，如： (1) 讨论个含参数 a 的程 fa(x) = 0 在 x D 上的实数解的个数； (2) 对任意实数 x D ，均有 fa(x) 0，求参数 a 的取值范围 下举例说明含参的不等式或程问题的不分离解法以及分离变量法 例题 1.1.1 设函数 f(x) = 1 x ，g(x) = ax2+ bx( a,b R a = 0)若 y = f(x) 的图象 与 y = g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1) 和 B(x2,y2)，则下列判断正确 的是1() A. 当 a 0 时，x1+ x2 0 B. 当 a 0 ，y1+ y2 0 时，x1+ x2 0， y1+ y2 0 解式不分离，也就是将右边化为常数 (往往取 0)注意此时可以利 0 乘以任 何数仍然为 0 对左边进调整 对于本题，可以将问题转化为函数 h(x) = ax3+ bx2 1 1本题为 2012 年考东卷理科数学第 12 题 (选择压轴题) 3 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 4破解压轴题有效10招（兰琦 著）1.1分离变量法 有两个零点1，由于 h(x) 的导函数 h(x) = x(3ax + 2b), 由 h(x) 有且仅有两个零点知 h(x) 的极值点中必有个为零点，于是函数的两个极值点分 别对应点 (0,1) 和 2b 3a,0 ，因此对应的函数图象如下 O x y 2b 3a 1 a 0 时 O x y 2b 3a 1 a 0 时， x1+ x2 0. 当 a 0，且 y1+ y2= 1 x1 + 1 x2 = x1+ x2 x1x2 0) y = a(a 0 时， y1+ y2= t1+ t2 0 ， x1+ x2= 1 t1 + 1 t2 = t1+ t2 t1t2 0. 当 a 0)y = ax + b(a 0 时，有 x1+ x2 0. 1在考范围内，只有基本初等函数和次曲线的凹凸性可以直接使 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 61.1分离变量法 当 a 0， y1+ y2= 1 x1 + 1 x2 = x1+ x2 x1x2 0 0 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 101.3三次函数的性质 记 = b23ac 为三次函数图象的判别式，则判别式判断函数图象：当 0 时，f(x) 为 R 上的单调递增函数； 当 0 时， f(x) 会在中间段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值点 证明f(x) 的导函数为 f(x) = 3ax2+ 2bx + c, 其判别式为 4(b2 3ac) ，进易得结论 性质对称性 如图，f (x) 的图象关于点 P b 3a,f b 3a 对称 (特别地，极值点对应的图象上的点也 关于 P 对称)反之，若三次函数的对称中为 (m,n) ，则其解析式可以设为 f (x) = (x m)3+ (x m) + n, 其中 = 0 P 证明由于 f(x) = a x + b 3a 3 + c b2 3a x + b 3a bc 3a + 2b3 27a2 + d, 即 f(x) = a x + b 3a 3 + c b2 3a x + b 3a + f b 3a , 于是性质得证 例题 1.3.1 设直线 l 与曲线 y = x3+x+1 有三个不同的交点 A,B,C ， 且 |AB| = |BC| = 5 ，求直线 l 的程 解由 |AB| = |BC| 可知 B 为三次函数的对称中，由性质可得 B(0,1)，进不难 求得直线 l 的程为 y = 2x + 1 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 11 例题 1.3.2 1设函数 f (x) = x(x 1)(x a) ， a 1 (1) 求导数 f(x) ，并证明 f (x) 有两个不同的极值点 x1,x2； (2) 若不等式 f (x1) + f (x2) 0 成，求 a 的取值范围 解(1)f(x) 的导函数 f(x) = (x 1)(x a) + x(x a) + x(x 1) = 3x2 2(a + 1)x + a, f(0) = a 0,f(1) = 1 a 0, 于是 f(x) 有两个变号零点，从 f(x) 有两个不同的极值点 (2) 根据性质，三次函数的对称中 a + 1 3 ,f a + 1 3 是两个极值点对应的函数图象 上的点的中点于是 f(x1) + f(x2) = 2f a + 1 3 0, 即 2 a + 1 3 a 2 3 2a + 1 3 0, 结合 a 1，可得 a 的取值范围是 2,+) 性质三切割线性质 如图，设 P 是 f (x) 上任意点 (对称中)，过 P 作函数 f (x) 图象的条割线 AB 与条切线 PT ( P 点不为切点)，A 、B 、T 均在 f (x) 的图象上，则 T 点的横坐标平 分 A、 B 点的横坐标 P B A T 推论 1设 P 是 f (x) 上任意点 (对称中)，过 P 作函数 f (x) 图象的两条切线 PM 、PN ，切点分别为 M 、 P ，则 M 点的横坐标平分 P 、 N 点的横坐标，如图 1本题为 2004 年考重庆卷理科数学第 20 题 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 121.3三次函数的性质 PN M 推论 2设 f (x) 的极值为 M ，程 f (x) = M 的两根为 x1、x2( x1 0 为 例， h(t) 的草图如下： t y O a3 a 3a 2 容易得到结论： 当 a 0 时，b ma 时为 1 个公共点，b = ma b = a3+ ma 时为 2 个 公共点， a3+ ma a3+ ma b ma 时为 1 个公共点，b = ma b = a3+ ma 时为 2 个 公共点， ma b 0，如果过点 (a,b) 可作曲线 y = f (x) 的三条切线，证明： a (x1+ x2)2 1 4(x1 + x2)2= 3 4(x1 + x2)2, 于是 x1+ x2= a，进可得 f(x1) = f(x2) (3) 函数 f(x) 的对称中为 a 2 ,a 3 12 + 1 ，于是在对称中处的切线程为 y = a 2 4 ( x a 2 ) a3 12 + 1, 根据性质四的结论 (1)，可得 1 2 2 3 3, 即 a 的取值范围是 2 3 3,+ 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 17 1.3.2习题 习题 1.3.1 1已知函数 f (x) = 1 3x 3 + ax2+ bx，且 f(1) = 0 (1) 试含 a 的代数式表 b ； (2) 求 f (x) 的单调区间； (3) 令 a = 1，设函数 f (x) 在 x1,x2( x1 x2) 处取得极值，记点 M (x1,f (x1)， N (x2,f (x2)，证明：线段 MN 与曲线 f (x) 存在异于 M 、 N 的公共点 习题 1.3.2 已知 f (x) = x3+bx2+cx+d 在 (,0) 上是增函数，在 (0,2) 上是减函数， 且程 f (x) = 0 有三个根，它们从到依次为 ,2, 求 | | 的取值范围 习题 1.3.3 记原点为点 P1(x1,y1)，由点 P1向三次函数 y = x33ax2+bx ( a = 0 ) 的图 象 (记为曲线 C ) 引切线，切于不同于点 P1的点 P2(x2,y2) ，再由点 P2引此曲线 C 的 切线，切于不同于点 P2的点 P3(x3,y3) 如此继续作下去，得到点列 Pn(xn,yn) 试回 答下列问题： (1) 求数列 xn 的递推公式与初始值； (2) 求lim n+ xn，并指出点列 Pn 的极限位置在何处? 习题 1.3.4 已知 f (x) = x3 x，过点 (x0,y0) 作 f (x) 图象的切线，如果可以作出三条 切线，当 x0 (0,1) 时，求点 (x0,y0) 所在的区域积 习题 1.3.5 2已知函数 f(x) = 1 3x 3 + ax2+ bx，且 f(1) = 0 (1) 试含 a 的代数式表 b ，并求 f(x) 的单调区间； (2) 令 a = 1 设函数 f(x) 在 x1,x2( x1 x2) 处取得极值，记点 M(x1,f(x1)， N(x2,f(x2)，P(m,f(m) ，x1 m x2请仔细观察曲线 f(x) 在点 P处的切线 与线段 MP 的位置变化趋势，并解答以下问题： (i) 若对任意的 m (t,x2，线段 MP 与曲线 f(x) 有异于 P 、Q 的公共点，试确定 t 的最值，并证明你的结论； (ii) 若存在点 Q(n,f(n)， x1 n 1 时，函数 f(x) 的单调递增区间为 (,1 2a) 和 (1,+)，单调递减区间为 (12a,1) ；当 a = 1 时，函数 f(x) 的单调递增区间为 R； 当 a 1 时，函数 f(x) 的单调递增区间为 (,1) 和 (1 2a,+)，单调递减区间为 (1,1 2a) (2)(i) t 的最值为 2，证明从略；(ii)m 的取值范围为 (1,3 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 201.4迭代函数法 1.4迭代函数法 1.4.1知识讲解 阶递推数列 an 的递推公式往往函数 an+1= f(an) ，其中 n N表，记 f1(x) = f(x) ，fk+1(x) = f(fk(x) ，其中 k = 1,2, ，并记 a1= f0(a1) ，则有 an= fn1(a1),n = 1,2, , 因此称函数 y = f(x) 为数列的递推函数此时可以将数列看作函数不停迭代时的系列函 数值，这种研究数列的法称为迭代函数法 通常我们通过判断 an+1与 an的关系来研究数列 an 的单调性在平直坐 标系 xOy 中画出数列的递推函数 y = f(x) 的图象，在得到点 (a1,f(a1) 的位置以后，可 以借助直线 y = x 将函数值 f(a1) (也就是 a2)“反射”到 x 轴上，这样就可以较 a1与 a2的了通过画如下的“蛛图” ，可以将这个过程进下去，从作出对数列单调性与 有界性的判断 O x y x0 x0 a1 a2 a2 a3 a3 a4 a4 a5 a5 a6 从代数的度看，利数列的递推函数的单调性可以将数列的项之间的关系递推下 去，进得到数列的单调性与有界性的严格论述这种代数论述过程般利数学归纳法完 成此外，数列的递推函数 f(x) 的不动点 (程 f(x) = x 的实数根) 在递推过程中往往充 当“中流砥柱”的，因此先求出不动点对后续的解题有重要作 例题 1.4.1 数列 an 满：an+1= 3an 3a2 n， n = 1,2,3, (1) 若数列 an 为常数列，求 a1的值； (2) 若 a1= 1 2 ，求证： 2 3 a2n 3 4 ； (3) 在 (2) 的条件下，求证：数列 a2n 单调递减 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 21 解(1) 数列的递推函数为 f(x) = 3x 3x2解不动点程 x = 3x 3x2，得 x = 0 或 x = 2 3 ，于是符合题意的 a1的值为 0 或 2 3 (2) 如图，将命题加强为 1 2 a2n1 2 3 a2n 3 4. 下数学归纳法证明 O x y 3 4 1 2 2 3 2 3 当 n = 1 时，显然有 1 2 a1 2 3 a2 3 4 ； 假设命题对 n = k ( k N) 成，即 1 2 a2k1 f(a2k) f 3 4 , 即 9 16 a2k+1 2 3 f(a2k) f 3 4 , 即 9 16 a2k+1 2 3 a2k+2 3 4, 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 221.4迭代函数法 因此有 1 2 a2k+1 2 3 a4, 于是归纳基础得证 假设命题对 n = k ( k N) 成，即 a2k1 a2k+2，则有 f (a2k) a2k+4, 于是命题对 n = k + 1 也成 综上所述，命题成，原命题得证 例题 1.4.2 数列 xn 满 x1= 0， xn+1= x2 n+ xn+ c(n N) (1) 证明：xn 是递减数列的充分必要条件是 c 0； (2) 求 c 的取值范围，使 xn 是递增数列1 解(1) 充分性的证明：c 0 时， xn= xn+1 xn= x2 n+ c 0, 所以数列 xn 是递减数列； 必要性的证明：x1= 0 ， x2= c ，xn 递减时，定有 c 0 综上所述，原命题得证 (2) 不难证明 0 xn，即数列 xn 单调递增 情形， c 1 2 此时函数图象如右图，此时 xn 应为摆动数列，考虑反证法 只需要证明数列中存在某项 xk 1 2 即可这是因为，若 xk 1 2, c ，则 xk+1 c， xk+2 c ，则 x k+1 c，均与数列 x n 单调递增盾 也就是说只需要证明若 xn 单调递增，则 xn 的极限为 c，就可以推出盾 事实上， c x n+1 (c x n )(1 c x n ) 0， xn+1= 3(1 + xn) 3 + xn ， n = 1,2,3, ，则（） A. xn 是单调递增的 B. xn 是单调递减的 C. xn 或者是单调递增的或者是单调递减的 D. 以上说法都不正确 习题 1.4.2 已知函数 f(x) = ax（ 0 a 1 ） ， 数列 an 满 a1= f(1)，an+1= f (an) ， n N，则 a2与 a3中，较的是； a20,a25,a30的关系是 习题 1.4.3 已知数列 an 满：a1= 1， an= 1 an+1 1 2 (1) 求证：an 2 3 ； 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 241.5焦半径公式 (2) 求证：|a2n an| 10 27 习题 1.4.4 已知数列 an ， bn 满条件： a1= b1= 1 ， an+1= an+2bn， bn+1= an+bn； 证明：对每个正整数 n ，下式成： (1) a2n1 b2n1 2 a2n b2n ； (2) ? ?an+1 bn+1 2? ? a3， a20 a30 a25 习题 1.4.3 略 习题 1.4.4 略 习题 1.4.5 略 1.5焦半径公式 1.5.1知识讲解 圆锥曲线上的点 P 到其焦点的距离称为焦半径，当 P 点的横坐标已知时，可以由两点 间的距离公式以及圆锥曲线的程推出下列公式： 焦半径公式 (I) 1. 对左、右焦点分别为 F1,F2的椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0 ) 上点 P(x0,y0) 有 |PF1| = a + ex0,|PF2| = a ex0. 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 25 2. 对左、右焦点分别为 F1,F2的双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1( a,b 0) 上点 P(x0,y0) 有 |PF1| = |ex0+ a|,|PF2| = |ex0 a|. 3. 对焦点为 F 的抛物线 y2= 2px(p 0) 上点 P(x0,y0) 有 |PF| = x0+ p 2. 但是在多数情况下不会直接给出圆锥曲线上的点 P 的横坐标，因此上述焦半径公式并不 实可以利圆锥曲线的焦准定义，或余弦定理推出下列公式： 焦半径公式 (II) 1. 对左、右焦点分别为 F1,F2的椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 ( a b 0) 上点 P(x0,y0) 有 |PF1| = b2 a ccos ,|PF2| = b2 a + ccos, 其中 , 为焦半径 PF1,PF2与 x 轴正半轴所成的 2. 对左、右焦点分别为 F1,F2的双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1( a,b 0) 上点 P(x0,y0) 有 |PF1| = b2 |a + ccos|,|PF2| = b2 |a ccos|, 其中 , 为焦半径 PF1,PF2与 x 轴正半轴所成的 3. 对焦点为 F 的抛物线 y2= 2px(p 0) 上点 P(x0,y0) 有 |PF| = p 1 cos , 其中 为焦半径 PF 与 x 轴正半轴所成的 由于焦点弦长是两条焦半径长度之和，因此又可以推出下列公式： 焦点弦公式 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 261.5焦半径公式 1. 对椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1( a b 0 ) 的焦点弦 AB ，设其倾斜为 ，有 |AB| = 2ab2 a2 c2cos2 . 2. 对双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1 ( a,b 0) 的焦点弦 AB ，设其倾斜为 ，有 |AB| = 2ab2 |a2 c2cos2|. 3. 对焦点为 F 的抛物线 y2= 2px( p 0) 的焦点弦 AB ，设其倾斜为 ，有 |AB| = 2p sin2 . 此外还可以得到个常性质：圆锥曲线的焦点弦被焦点所分成的两段线段长的调和平 均数为定值 (即焦半径的倒数和为定值)，且该定值为圆锥曲线的半通径长 这些和焦点相关的公式以及性质对研究圆锥曲线中和焦点相关的何量有很作，同 时这些公式以及性质的证明也是学习解析何的重要基础习题，请读者完成 1.5.2习题 习题 1.5.1 椭圆 x2 12 + y2 3 = 1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中 点在 y 轴上，求 |PF1| |PF2| 的值 习题 1.5.2 椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的右焦点为 F ，直线 x = a2 c 与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满线段 AP 的垂直平分线过点 F ，求椭圆离率的取值范围 习题 1.5.3 椭圆 x2 8 + y2 4 = 1， M,N,P,Q 为椭圆上四个不同的点，MN,PQ 都不和 x 轴垂直，且分别过 F1,F2， MN PQ，求证： 1 |PQ| + 1 |MN| 为定值 习题 1.5.4 椭圆 x2 3 + y2 2 = 1 的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F1的直线交椭圆于 B,D 两点，过 F2的直线交椭圆于 A,C 两点，AC BD ，求四边形 ABCD 积的取值范围 1.5.3习题答案 习题 1.5.1 7 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 27 习题 1.5.2 设 P(x0,y0) ，则有 |PF| = |FA|，即 a ex0= a2 c c, 解得 x0= a2 c + a a3 c2 . 又因为 x0 a,a，所以有 a a2 c + a a3 c2 0 ) ，有下列性质： 1. 抛物线的任意条割线的横截距是该直线与抛物线的两个交点的横坐标的等中项 2. 抛物线的条割线与条切线平，那么割线与抛物线的两个交点的纵坐标的算术平 均数为切点的纵坐标 3. 过抛物线外点引抛物线的两条切线，那么该点的纵坐标是两个切点的纵坐标的算术 平均数 由抛物线的平均性质可以得到下的定义： 取与抛物线相切的直线，平移动直线使之与抛物线相交直穷远处，在平移过程中切点 以及弦的中点形成的轨迹是条与抛物线对称轴平的射线这条射线称为抛物线的直径 类似地，我们也可以定义般圆锥曲线的直径，这种定义式是顿提出的 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 29 抛物线的切线三形性质 A B C C B A F H A B C C B A F A B C C B AB 1. 切线三形1的外接圆过抛物线的焦点 2. 切线三形的垂在抛物线的准线上 3. 切线三形的积是切点三形积的半 4. 抛物线的焦点到切线三形三个顶点的距离之积与到切点三形三个顶点的距离之积 相等 5. 对切点三形，可以视切线三形为割线应“Menelaus 定理” ，即在图中有 AB BC CA AB BC CA = 1. 证明设抛物线的程为 E : x2= 2py ，A (2pa,2pa2) ，B (2pb,2pb2) ，C (2pc,2pc2) ， 则 三条切线的程分别为 BC: 2ax y 2pa2= 0, CA: 2bx y 2pb2= 0, AB: 2cx y 2pc2= 0, 进可联解得 A(p(b + c),2pbc),B(p(c + a),2pca),C(p(a + b),2pab). 因此，三形 ABC外接次曲线的程为 LALB+ LBLC+ LCLA= 0, 1抛物线的三条切线所围成的三形称为切线三形，对应的三个切点形成的三形称为切点三形 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 301.6抛物线的性质 其中 LA、LB、 LC分别为 A、 B 、C 处切线程的左侧代数式将其整理为 Ax2+ By2+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 的形式，其中 A = 4(ab + bc + ca), B = 1 + + , C = 2(a + b) + (b + c) + (c + a), 为了使得该程表圆，令 A = B ，C = 0 ，从解得 = (1 + 4a2) (b c) (1 + 4c2)(a b) , = (1 + 4b2) (c a) (1 + 4c2)(a b) , 于是三形 ABC外接圆的程为 cyc (1 + 4c2) (a b) (2ax y 2pa2)(2bx y 2pb2) = 0, 将抛物线的焦点坐标 F ( 0, p 2 ) 代左边，有 cyc ( 1 + 4c2)(a b) ( p 2 2pa2 )( p 2 2pb2 ) = p2 4 (1 + 4a2)(1 + 4b2)(1 + 4c2) cyc (a b) = 0, 因此性质 1 得证 根据之前的结果，有 AH : y 2pbc = 1 2a x p(b + c), BH : y 2pca = 1 2b x p(c + a), 从可得垂 H 的纵坐标满 2a(y 2pbc) 2b(y 2pca) = p(b + c) p(c + a), 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 31 即 y = p 2 ，因此性质 2 得证 根据之前的结果，有 SABC= 1 2 ? ? ? ? ? 111 2pa2pb2pc 2pa22pb22pc2 ? ? ? ? ? = 2p2?(a b)(b c)(c a)?, SABC= 1 2 ? ? ? ? ? 111 p(b + c)p(c + a)p(a + b) 2pbc2pca2pab ? ? ? ? ? = p2?(a b)(b c)(c a)?, 因此性质 3 得证 根据之前的结果，有 FA2 FB2 FC2= cyc (2pa)2+ (p 2 2pa2 )2 = p2 cyc 2a2+ 1 2 2 , FA2 FB2 FC2= cyc (p(b + c)2+ (p 2 2pbc )2 = p2 cyc 2b2+ 1 2 2c2+ 1 2 , 因此性质 4 得证 为了证明性质 5，先引 引理过点 P(x0,y0) 作次曲线 Ax2+By2+Dx+Ey+F = 0 的割线 PMN : y = kx+m， 其中 M,N 在次曲线上，那么 PM PN = (1 + k2) ? ?Ax 2 0+ By20+ Dx0+ Ey0+ F A + Bk2 ? ?. 从可以得到切线长的计算公式，进可以推得更般的结论（对般圆锥曲线均成） ，篇 幅所限，此处从略 破解压轴题有效10招（兰琦 著） 该文档是极速PDF编辑器生成， 如果想去掉该提示,请访问并下载： 321.6抛物线的性质 1.6.2习题 习题 1.6.1 点 P 到点 A 1 2,0 ,B(a,2) 及到直线 x = 1 2 的距离都相等，如果这样的点 恰好只有个，求 a 的值 习题 1.6.2 在平直坐标系 xOy 中，动点 E 到定点 (1,0) 的距离与它到直线 x = 1 的距离相等 (1) 求动点 E 的轨迹 C 的程； (2) 设动直线 l : y = kx