高考数学考点16 三角恒等变换

考点16 三角恒等变换1和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：3公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；（3）升幂公式：；（4）辅助角公式：，其中，二、简单的三角恒等变换1半角公式（1）（2）（3）【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：；.（2）和差化积公式：+网；.考向一 三角函数式的化简1化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等2化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂典例1 化简：.【解析】原式.【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值(3)在化简时要注意角的取值范围.1的化简结果为_考向二 三角函数的求值问题1给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)（3）将已知条件代入所求式子，化简求值3给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.4常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15=4530，75=4530.典例2 求下列各式的值：（1）cos+cos-2sincos;（2）sin 138-cos 12+sin 54.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2的值为_典例3 已知tan()=,tan =,且,(0,),则2=ABCD或【答案】C【解析】因为tan 2()=,所以tan(2)=tan2()+=1.又tan =tan()+=,又(0,),所以0.又,所以2”或 “”)；_(用表示).10在斜三角形中，则_.11已知函数，若为函数的一个零点，则_网12已知（1）求的值；（2）求的值13在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为已知点的横坐标为，点的纵坐标为（1）求的值；（2）求的值.14已知,(),函数,函数的最小正周期为(1)求函数的表达式;(2)设,且,求的值15已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若，求的值.16在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.1（2016新课标全国理科）若cos()=，则sin 2=A BC D2（2016新课标全国理科）若，则 A B C1 D 3（2017北京理科）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=_.4（2018新课标全国理科）已知，则_5（2016四川理科）cos2sin2= .6（2016浙江理科）已知，则A=_，b=_7（2018浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=，求cos的值8（2018江苏）已知为锐角，（1）求的值；+网（2）求的值1【答案】2sin4【解析】原式=，因为，所以cos40，且sin4cos4，所以原式=2cos42(sin4cos4)=2sin4.2【答案】1【解析】.3【解析】（1）由，得.，于是. 4【答案】【解析】因为，且，将代入可得.5【解析】（1），即.1【答案】B【解析】cos45cos15sin45sin15.故选B2【答案】A【解析】，故选A3【答案】B【解析】因为锐角，所以，因此，因为，所以，选B4【答案】D【解析】，故选D5【答案】B【解析】因为为锐角，为第二象限角，所以为第二象限角，因此sin，cos，所以 ,因为为锐角，所以 ，2)=cos,选B6【答案】C【解析】由题意得，令，得，当时，故是函数图象的一条对称轴故选C7【答案】D【解析】，从而，则，故选D8【答案】【解析】因为且，所以，所以10【答案】【解析】在 中， ，则 ， ，故答案为.11【答案】【解析】由，化简可得，由，得,又，所以，故，此时：.12【解析】（1）.（2）.13【解析】（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，为锐角，所以cos， 所以cos22cos21 （2）因为点Q的纵坐标为，所以sin 又因为为锐角，所以cos 因为cos，且为锐角，所以sin，因此sin22sincos， 所以sin(2) 因为为锐角，所以02又cos20，所以02，又为锐角，所以2，所以2 14【解析】(1)=,因为函数的最小正周期为,所以,解得,所以(2)由,得,因为,所以,所以,所以=15【解析】（1），令，即， 则，所以的单调递增区间为，.（2），故.16【解析】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，且，所以.所以，因为，所以，所以.1【答案】D【解析】，又，所以，故选D【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系2【答案】A【解析】方法一：由tan =,cos2+sin2=1,得或,则sin 2=2sin cos =,则cos2+2sin 2=+.方法二：cos2+2sin 2=.故选A【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.4【答案】【解析】因为，所以，因此5【答案】【解析】由三角函数的半角公式得，【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而得解6【答案】，【解析】，所以【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简，再用辅助角公式化简，进而对照可得和的值8【解析】（1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，因此，【名师点睛】三角函数求值的三种类型