二项分布性质研究

二项分布性质研究二项分布定义：二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用表示随机试验的结果。 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(=k)=Cnkpk(1-p)n-k,其中k=1,2,，n. Cnk=n!k!n-k!那么就说这个分布属于二项分布。二项分布也属于自然指数分布族设Xb（n，），其概率函数为P(x)=P(X=x)=Cnxx1-n-x=Cnxexp(lnx(1-)n-x)= Cnxexpxln+(n-x)ln(1-)其中 =lnhx=Cnxx=-(n-x)ln(1-)二项分布数字特征.（1） 二项分布的数学期望为E=np证明：设随机变量，则 应用组合公式得 （2） 二项分布的方差D=npq证明故D=npq二项分布图像以事件A出现的次数为横坐标，以概率为纵坐标，画出二项分布的图象，可以看出： （1）、二项分布是一种离散性分布 （2）、当p=q=0.5时，图象对称；当p不等于q时，图形是偏斜的当p0.5时左偏. (3) 二项分布的形状取决于p和n的大小，高峰在前面研究的最大可能值m处 (4)、n时，只要p不太靠近0或1,它趋近于正态分布N(np,npq） ,一般认为1/2np=5且nq=5时，二项分布就非常接近正态分布二项分布性质 （1）我们来看看概率b(k;n,p)如何随着k的变化而变化的规律写q=1-p,对k1，我们有 = = 1+所以，当k b(k-1;n,p);而当k(n+1)p时，则有b(k;n,p)b(k;n,p)后，则随着k的增大而减小因此b(k;n,p)必可达到其最大值易见，如果m=(n+1)p为整数，则b(m;n,p)= b(m-1;n,p)同为其最大值；而如果(n+1)p不是整数，则b(k;n,p)在k=(n+1)p处取得最大值其中x表示不超过实数x的最大整数我们称使b(k;n,p)达到最大值的正整数m为服从二项分布b(n,p)的随机变量的最大可能值。（2）两个二项分布的和仍然是一个二项分布。若随机变量服从二项分布，则随机变量的数学期望为E.随机变量 的数学期望为E. 而二者和的数学期望为E(+)，经计算E(+)=E+ E，也即两个二项分布的和仍服从二项分布证明：设X服从B(p,m),Y服从B(p,n)(下面(l;0,k)为0到k对l求和)P(X+Y=k)=(l;0,k)P(X=l,y=k-l)=(l;0,k)P(x=l)*P(Y=k-l) =(l;0,k)C(m,l)pl*q(m-l)*C(n,k-l)p(k-l)*q(n-k+l) =(l;0,k)C(m,l)*C(n,k-l)*pk*q(m+n-k) =C(m+n.k)*pk*q(m+n-k) 注：C(m+n.k)=(l;0,k)C(m,l)*C(n,k-l) 为组合公式故X+Y服从B(p,m+n)（3） 当n=1时，只能取0,1，此时我们称该分布为伯努利分布，或两点分布P(X=m)=pmq1-m，m=0，1二点分布b(1,p)主要是用来描述一次伯努利实验