《材料力学I第六章》PPT课件

1,第6章简单的超静定问题,2,6-1超静定问题及其解法,.关于超静定问题的概述,(b),3,图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程一次超静定问题。,(b),4,图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC，但只有三个独立的静力平衡方程一次超静定问题。,超静定问题(staticallyindeterminateproblem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。,5,.解超静定问题的基本思路,基本静定系(primarystaticallydeterminatesystem),例1,6,7,于是可求出多余未知力FN3。,由位移相容条件，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：,8,补充方程为,于是可求出多余未知力FC。,例2,9,.注意事项,(1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。,(2)求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。,(3)无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。,10,(4)“多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。,如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。,11,6-2拉压超静定问题,.拉压超静定基本问题,举例说明拉压超静定问题的解法。,12,求图a所示等直杆AB的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。,例题6-1,13,1.有两个未知约束力FA,FB（图a），但只有一个独立的平衡方程FAFBF=0故为一次静不定问题。,例题6-1,14,2.取固定端B为“多余”约束，FB为多余未知力。相当系统如图b所示，它应满足相容条件为DB0，利用叠加法得DBF+DBB=0，参见图c，d。,例题6-1,15,3.利用胡克定律后可得补充方程为,由此求得,所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。,例题6-1,16,得FA=F-Fa/l=Fb/l。,4.由平衡方程FA+FB-F=0,例题6-1,5.利用相当系统（图b）求得DC。,17,拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为DlAC+DlBC0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件DB0代替相容条件。2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以DBBFBl/EA，而不用DBBFB(l+DBF)/EA，A为在F力作用下变形后横截面的面积。,例题6-1,18,求图a所示结构中1,2,3杆的内力FN1,FN2,FN3。AB杆为刚性杆，1,2,3杆的拉压刚度均为EA。,例题6-2,19,1.共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。,例题6-2,解：,20,2.取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2为多余未知力。得基本静定系如图c。,例题6-2,21,3.由变形图（图d）可得变形相容条件为,例题6-2,22,4.利用胡克定律，由(1)(2)式可得补充方程：,解得FN1=2FN3,(3)FN2=2FN1=4FN3(4),例题6-2,23,5.AB杆受力如图b所示，MA=0得,联立求解得,例题6-2,24,II.装配应力和温度应力,(1)装配应力,超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。,25,图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点A处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。,(a),26,求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a),列出补充方程,由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为,(拉力）,(a),27,至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。,由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。,而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为,28,两根相同的钢杆1、2，其长度l=200mm，直径d=10mm。两端用刚性块连接在一起如图a所示。将长度为200.11mm，亦即De=0.11mm的铜杆3（图b）装配在与杆1和杆2对称的位置(图c)，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20mm30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。,例题6-3,29,1.装配后有三个未知的装配内力FN1,FN2,FN3，如图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：,(d),所以这仍然是一次静不定问题。,例题6-3,解：,30,2.变形相容条件(图c)为,这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。,例题6-3,31,3.利用胡克定律由(2)式得补充方程,例题6-3,32,4.联立求解(1)和(3)式得,所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。,例题6-3,33,5.各杆横截面上的装配应力如下：,例题6-3,34,求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。,例题6-3,35,(2)温度应力,也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。,36,两端与刚性支承连接的等截面杆如图a所示。试求当温度升高Dt时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。,例题6-4,37,1.若AB杆仅A端固定，B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长Dlt，而不会产生内力。当A、B均为固定端时，Dlt受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力FA和FB。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。,(b),例题6-4,解：,38,2.以刚性支撑B为“多余”约束，FB为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt，由“多余”未知力FB产生的缩短变形DlF分别如图c、d所示。,例题6-4,39,3.变形相容条件是杆的总长度保持不变，即,例题6-4,40,4.将(2)式代入(1)，得,例题6-4,41,5.由(3)式解得,例题6-4,42,6.杆的横截面上的温度应力为,例题6-4,43,若该杆为钢杆。l=1.210-5/(C)，E=210109Pa，则当温度升高Dt=40时有,（压应力）,例题6-4,44,两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。,例题6-5,6-3扭转超静定问题,45,1.有二个未知的反力偶矩MA，MB，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次超静定问题。,例题6-5,解：,46,2.以固定端B为“多余”约束，反力偶矩MB为“多余”未知力。在基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB(如图c)；它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角jB=0，利用叠加法可得,(c),例题6-5,47,可由平衡方程求得为,3.根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程,求得,例题6-5,48,4.杆的AC段横截面上的扭矩为,(c),例题6-5,49,图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。,例题6-6,50,实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程Ta+Tb=Me(1)故为一次超静定问题。,例题6-6,解：,51,2.位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面的扭转角相等。在图b中都用j表示（设A端固定）。,例题6-6,52,3.利用物理关系由(2)式得补充方程为,例题6-6,53,4.联立求解(1)式和(3)式得：,例题6-6,54,5.实心铜杆横截面上任意点的切应力为,空心钢杆横截面上任意点的切应力为,切应力沿半径的变化情况如图c所示。,例题6-6,55,由图c可见，在r=ra处，taA的情况进行分析。此时，支座B相对于支座A、C沉陷后的点A1、C1的连线有位移,77,于是，如以支座B1作为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在荷载q和“多余”未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是,78,于是得补充方程,由此解得,其中的wB按叠加原理有(参见图c、d):,79,再由静力平衡方程可得,80,(2)梁的上,下表面温度差异的影响,图a所示两端固定的梁AB在温度为t0时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至t1，底面温度升高至t2，且t2t1，从而产生约束力如图中所示。,由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。,l,81,现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。,它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。,82,如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：,83,式中一些符号的意义见图c、d、e。,84,现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。,从上面所示的图a中取出的微段dx,当其下表面和上表面的温度由t0分别升