第20讲　常见的圆周运动动力学模型

金版教程一轮复习物理（创新版）第20讲常见的圆周运动动力学模型能力命题点一水平面内的圆周运动1向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2几种典型的运动模型运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯(以规定速度行驶)圆锥摆飞车走壁如图所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为m1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时，细线的张力为FT(sin370.6，cos370.8, g取10 m/s2，结果可用根式表示)。求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度为多大？解析(1)小球刚好离开锥面时，小球受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtanmlsin解得0 rad/s。(2)当细线与竖直方向成60角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan60m2lsin60解得 2 rad/s。答案(1) rad/s(2)2 rad/s求解圆周运动问题的“一、二、三、四”1(2019北京期末)(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是()A球A的线速度必定大于球B的线速度B球A的角速度必定等于球B的角速度C球A的运动周期必定小于球B的运动周期D球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力答案BCD解析以A为例对小球进行受力分析，可得支持力和重力的合力充当向心力，设圆锥筒的锥角为，则FN，Fnmm2rmr，A、B质量相等，A做圆周运动的半径大于B做圆周运动的半径，所以球A的线速度必定大于球B的线速度，球A的角速度必定小于球B的角速度，球A的运动周期必定大于球B的运动周期，球A对筒壁的压力必定等于球B对筒壁的压力，A正确，B、C、D错误。2(2019北京期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为v，则()A若火车通过此弯道时速度大于v，则火车的轮缘会挤压外轨B若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压外轨C若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车的轮缘会挤压外轨D若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车对轨道的压力小于火车的重力答案A解析如图所示为火车车轮在转弯处的受力示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定的火车行驶速度为v，则当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心运动的趋势，故其外侧车轮轮缘会与外轨相互挤压，A正确；当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有近心运动的趋势，故其内侧车轮轮缘会与内轨相互挤压，B错误；当火车以速度v通过此弯道时，火车重力与轨道支持力的合力恰好提供向心力，内外轨都无压力，故C错误；设轨道所在斜面的倾角为，当火车以速度v通过此弯道时，由受力可知，Ncosmg，解得：N，所以火车对轨道的压力大于火车的重力，故D错误。能力命题点二竖直面内的圆周运动1概述竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅改变速度的方向，还改变速度的大小，所以一般不研究任意位置的情况，常常研究的是特殊的位置最高点、最低点和与圆心等高的位置。竖直平面内的圆周运动一般可以分为两类：(1)轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。(2)轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。2竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较轻绳模型轻杆模型情景图示最高点受力特征除重力外，物体可能受到向下或等于零的弹力除重力外，物体可能受到向下、等于零或向上的弹力受力示意图力学方程mgFTmmgFNm临界特征FT0，即mgm，即vminv0时F向0，即FNmgv的意义物体能否过最高点的临界速度FN表现为拉力还是支持力的临界速度过最高点的条件最高点的速度v最高点的速度v0过最低点受力分析FTmgm，轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件FTmgm，存在对杆拉力或对管压力最大值问题注：汽车过凸形拱桥最高点相当于杆只有支持力而没有压力的情况，此时mgFNm，过最高点的临界条件是FN0时，v。模型1轻绳模型例1如图所示，一质量为m0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？解析(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mgF1m由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F10联立式得v代入数值得v2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。(2)对小球，由牛顿第二定律得mgF2m将v24 m/s代入得，F215 N。(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F3mgm又F345 N联立式得v34 m/s，所以小球的速度不能超过4 m/s。答案(1)2 m/s(2)15 N(3)4 m/s模型2轻杆模型例2如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是()A小球通过最高点时速度可能小于B小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零C小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大D小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小解析小球在最高点时，杆对球可以表现为支持力，由牛顿第二定律得：mgFm，则得v。则()AA的质量一定小于B的质量BA、B受到的摩擦力可能同时为零C若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力D若增大，A、B受到的摩擦力可能都增大解析当B所受摩擦力恰为零时，受力分析如图，根据牛顿第二定律得：mBgtanmBRsin，解得：B，同理可得：A，物块转动的角速度与物块的质量无关，所以无法判断A、B质量的大小关系，A错误；由于，所以AB，即A、B受到的摩擦力不可能同时为零，B错误；若A不受摩擦力，此时转台的角速度为A，又AB，所以此时物块B的向心力大于其所受摩擦力为零时的向心力，受力分析可知，此时B受沿容器壁向下的摩擦力，C错误；如果转台角速度从A不受摩擦力开始增大，A、B的向心力都增大，所受的摩擦力均沿容器壁向下，且均增大，D正确。答案D(1)分析临界问题时，如果不能确定静摩擦力的方向，可以假设静摩擦力沿某个方向，然后做受力分析求解，根据求出的静摩擦力的正负判断它的方向。(2)物体做圆周运动时，在支持面上滑动时的临界情况常常有两种可能，例如核心综述图c中木块既可能向靠近圆心的方向滑动，也可能向远离圆心的方向滑动，应全面分析，不要漏解。1(2014全国卷)(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()Ab一定比a先开始滑动Ba、b所受的摩擦力始终相等C 是b开始滑动的临界角速度D当 时，a所受摩擦力的大小为kmg答案AC解析因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，小木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，充当向心力，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得fm2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，先达到最大静摩擦力而滑动，B错误，A正确；当b将要滑动时，由牛顿第二定律可得kmgm2l，可得b ，C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmgml，可得a ，而转盘的角速度 时，小球一定能通过最高点PD当v0时小球一定能通过最高点P，C正确；当v0时，由mvmgh得小球能上升的高度hl，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0Mg，摩擦力方向向左B小滑块在B点时，FNMg，摩擦力方向向右C小滑块在C点时，FN(Mm)g，M与地面无摩擦D小滑块在D点时，FN(Mm)g，摩擦力方向向左答案B解析因为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在A点时，对轨道没有水平方向的作用力，所以物体没有相对地面运动的趋势，即摩擦力为零，当小滑块的速度v时，对轨道A点的压力为零，物体对地面的压力FNMg，当小滑块的速度v时，对轨道A点的压力向上，物体对地面的压力FN(Mm)g，故C错误；小滑块在D点时，类似于B点的分析，地面给物体向左的摩擦力，物体对地面的压力FNMg，故D错误。5如图所示，一倾角为30的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于细线给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，下列说法正确的是()A小球在顶端时，速度大小为B小球在底端时，速度大小为 C小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变D小球运动过程中，地面对斜劈的支持力大于小球和斜劈的重力之和答案B解析小球在顶端时，绳的拉力与重力沿斜面向下的分力的合力提供圆周运动向心力，有：Tmgsin30m，可得绳的拉力越小，小球的速度越小，当绳的拉力为零时，小球有最小速度，其值为：vmin，故A错误；小球由顶端向底端运动时，只有重力对小球做功，根据动能定理有：mg2lsin30mv2mv，代入vmin 可得：v ，故B正确；小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动，其重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向均不断变化，根据牛顿第三定律，以斜劈为研究对象，其受到小球恒定的压力和沿斜面方向不断变化的拉力作用，绳对斜劈的拉力沿水平方向和竖直方向的分量均在不断变化，根据斜劈始终处于平衡状态可知，其所受水平方向的摩擦力大小是变化的，地面对其支持力的大小等于、大于、小于小球和斜劈重力之和的情形都有，故C、D错误。6. (多选)藏族人民手中经常拿着鼓状能转的装置叫做“转经筒”，又称“玛尼”。把经文放在转经筒里每转动一圈等于念诵经文一遍。某人制作了新式的转经筒如图所示，其呈圆锥筒状，且左右系着两段一长一短的绳子挂着相同的小球缓慢加速转动，不计空气阻力。则下列说法正确的是()A当角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒B当角速度慢慢增大时，一定是低的那个球先离开圆锥筒C两个球都离开圆锥筒后，它们一定高度相同D两个球都离开圆锥筒时两段绳子的拉力一定相同答案BC解析当小球刚离开转经筒时，根据牛顿第二定律有：mgtanmLsin2，离开圆锥筒时的临界角速度，可知绳子长的临界角速度较小，当角速度慢慢增大时，一定是低的那个球先离开圆锥筒，故A错误，B正确；两个球离开圆锥筒后，角速度相同，根据知，Lcos相同，即它们的高度相同，故C正确；两个球离开圆锥筒后，由于Lcos相同，绳长不同，则绳子与竖直方向的夹角不同，根据受力分析知，绳子拉力不同，故D错误。7(多选)如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的物体A和B，A和B质量都为m，它们位于圆心两侧，与圆心距离分别为RAr，RB2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()A此时绳子张力为T3mgB此时圆盘的角速度为 C此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外D此时烧断绳子物体A、B仍将随盘一块转动答案ABC解析A、B两物体做圆周运动，B物体所需要的向心力较大，当转速增大到两物体刚好还未发生滑动时，B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心，C正确；当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有Tmg2m2r，以A为研究对象，有Tmgm2r，由以上两式得T3mg，A、B正确；若此时烧断绳子，则A、B所受最大静摩擦力都不足以提供所需的向心力，都将做离心运动，D错误。8. (2017江苏高考)如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是()A物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2FB小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2FC物块上升的最大高度为D速度v不能超过 答案D解析由题意知，F为夹子与物块间的最大静摩擦力，但在实际运动过程中，夹子与物块间的静摩擦力没有达到最大，故物块向右匀速运动时，绳中的张力等于Mg，A错误；小环碰到钉子时，物块做圆周运动，FTMgM，绳中的张力大于物块的重力Mg，当绳中的张力大于2F时，物块将从夹子中滑出，即2FMgM，此时速度v ，故B错误，D正确；由机械能守恒定律知，物块能上升的最大高度h，所以C错误。9(2019天津南开区二模)(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成角，飞行周期为T。则下列说法正确的是()A若飞行速率v不变，增大，则半径R增大B若飞行速率v不变，增大，则周期T增大C若不变，飞行速率v增大，则半径R增大D若飞行速率v增大，增大，则周期T可能不变答案CD解析对飞机在竖直平面内的受力进行分析，如图所示，根据重力和机翼升力的合力提供向心力，得mgtanmmR，解得：v，T2 。若飞行速率v不变，增大，由v知，R减小，由T2 知，T减小，故A、B错误；若不变，飞行速率v增大，由v知，R增大，故C正确；若飞行速率v增大，增大，则R的变化不能确定，则周期T可能不变，故D正确。10(2019四川省树德中学二诊)如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为L的细绳将物块连接在转轴上，细线与竖直转轴的夹角为角，此时绳中张力为零，物块与转台间动摩擦因数为(tan)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，则下列说法正确的是()A转台一开始转动，细绳立即绷直对物块施加拉力B当绳中出现拉力时，转台对物块做的功为mgLsinC当物体的角速度为 时，转台对物块支持力为零D当转台对物块支持力为零时，转台对物块做的功为答案D解析转台一开始转动时，物块与转台之间的静摩擦力提供向心力，随转速的增加，静摩擦力逐渐变大，当达到最大静摩擦力时物块开始滑动，此时细绳绷直对物块施加拉力，A错误；对物块受力分析知，物块离开圆盘前，合力FfTsinm，rLsinNTcosmg根据动能定理知WEkmv2弹力T0，由式解得WfLsi