2020年3月高三数学模考试题专题汇编——立体几何

立体几何一、选择题:6(湖北省黄冈市2020年3月份高三年级质量检测理)如图正方体AC中P为棱BB的中点，则在平面BCCB内过点P与直线AC成50角的直线有（ C ）条 A0 B1 C2 D无数(湖北省黄冈市2020年3月份高三年级质量检测文)A, 在平面内有且只有一条直线与直线垂直B 过直线有且只有一个平面与平面垂直C 与直线垂直的直线不可能与平面平行D.与直线平行的平面不可能与平面垂直4. (湖北省武汉二中2020届高三3月测试题)设l、m、n是空间三条直线,、是空间两个平面,则下列选项中正确的是( C )A. 当时,“”是“”的充要条件B. 当且n是l在内的射影时,“mn”是“lm”的必要不充分条件C. 当时,“”是“”的充分不必要条件D. 当且时,“”是“m/n”的既不充分也不必要条件7. (湖北省武汉二中2020届高三3月测试题) 四棱锥PABCD中,BC平面PAB,底面ABCD为梯形,AD/BC,AD=4,BC=8,APD=CPB,满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是( B )A. 圆B. 不完整的圆C. 抛物线D. 抛物线的一部分5.(2020年3月襄樊市高中调研统一测试理)两个正方体M1、M2，棱长分别a、b，则对于正方体M1、M2有：棱长的比为ab，表面积的比为a2b2，体积比为a3b3我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是(A)A两个球B两个长方体C两个圆柱D两个圆锥5.(2020年3月襄樊市高中调研统一测试文)对于平面和直线m、n，给出下列命题：若，则m、n与所成的角相等；若，则；若，则；若m与n是异面直线，且，则n与相交其中真命题的个数是A1B2C3D47. (湖北省孝感市2020届高三3月统考理) 下列命题中正确命题的个数是（ A ） 过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直； 8(湖北省八校2020届高三第二次联考文)半径为1的球面上有A，B，C三点，其中点A与B、C两点间的球面距离均为，B、C两点间的球面距离为，则球心到平面的距离为（ B ）A B C D4(湖北省八市2020年高三年级三月调考理)给出下列四个命题：若直线l平面，l平面，则；各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，则这两个二面角的平面角互为补角；过空间任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面。其中正确的命题的个数有A1B2C3D48(天门市2020届高三三月联考数学试题文)如图在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中， P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F 为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下列 四个值中不为定值的是（ C ）A点到平面的距离B二面角的大小C直线与平面所成的角D三棱锥的体积10(天门市2020届高三三月联考数学试题文)平面、两两互相垂直，点A，点A到、的距离都是3，P是上的动点，P到的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值（ A ）ABCD5(湖北省沙市中学2020届高三三月月考试题)对于不重合的两个平面，给定下列条件：存在直线，使得；存在平面，使内有不共线三点到的距离相等；存在异面直线其中可以确定的有（ B ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. (湖北省宜昌市2020年3月高三年级第二次调研考试理)如图，在正四棱柱中，过顶点在空间作直线，使与直线和所成的角都等于60，这样的直线最多可作 A1条 B2条 C3条 D4 条10D正方体中，连结、，则在中，易得，所以，从而和所成的角大于小于空间中过不同的定点作直线与已知直线成一定条件的角的直线条数相等，因此可作的平行线，让过同一点如图所示，同一平面内角的平分线正好与成的角均为过此时的角平分线作平面，使其垂直于所在的平面，当绕着点在平面内按逆时针方向转动时，与所成的角由增大到90，再由90减小到(还原)，符合条件的直线有2条，同一平面内角的平分线正好与成的角均为过此时的角平分线作平面，使其垂直于所在的平面，当绕着点在平面内按逆时针方向转动时，与所成的角由增大到90，再由90减小到(还原)，符合条件的直线有2条因此符合条件的直线共有4条，即二、填空题:15(湖北省黄冈市2020年3月份高三年级质量检测理)如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分 别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： 直线BE与直线CF异面； 直线BE与直线AF异面； 直线EF/平面PBC； 平面BCE平面PAD 其中正确的有_2_个13.(2020年3月襄樊市高中调研统一测试理)顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB = 1，AA1 = ，则A、C两点间的球面距离为 13. (2020年3月襄樊市高中调研统一测试文)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 12. (湖北省孝感市2020届高三3月统考理)已知矩形中，沿将矩形折成一个二面角，则四面体的外接球的表面积为_.；12(湖北省八市2020年高三年级三月调考理)一个半径为1的球内切于正三棱柱，则该正三棱柱的体积为_。12 (湖北省沙市中学2020届高三三月月考试题)四面体ABCD的外接球的球心在棱CD上，且CD=2,则在外接球球面上A、B两点的球面距离是 13(湖北省宜昌市2020年3月高三年级第二次调研考试理)如图，是球面上三点，且，若球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .13由余弦定理得，观察数据间的关系，易知为直角在面上的射影为中点，从而在中， 三、解答题:18(湖北省黄冈市2020年3月份高三年级质量检测文理)（本题满分12分） 如图，在直三棱柱中，,AC=BC CC，D为 AB的中点. （1）求证： （2）求二面角BBCD的余弦值的大小。18.解：（1）连接BC交BC于E，连接DE，BCCC， （6分） （2）作BF于F，连接EF又设 又（12分）ABCD17.(2020年3月襄樊市高中调研统一测试理) (本大题满分12分)在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC = CD = 1(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求二面角CABD的大小；(3)若直线BD与平面ACD所成的角为，求的取值范围ABCDH17方法一(1)证：CDAB，CDBC，CD平面ABC2分又CD平面ACD，平面ACD平面ABC 4分(2)解：ABBC，ABCD，AB平面BCD，故ABBDCBD是二面角CABD的平面角 6分在RtBCD中，BC = CD，CBD = 45即二面角CABD的大小为45 8分(3)解：过点B作BHAC，垂足为H，连结DH平面ACD平面ABC，BH平面ACD，BDH为BD与平面ACD所成的角 10分设AB = a，在RtBHD中，又，12分ABCDxyz方法二(1)同方法一4分(2)解：设以过B点且CD的向量为x轴，为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a，则A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)平面ABC的法向量 = (1，0，0)设平面ABD的一个法向量为n = (x，y，z)，则取n = (1，1，0) 6分二面角CABD的大小为458分(3)解： = (0，1，a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)设平面ACD的一个法向量是m = (x，y，z)，则可取m = (0，a，1)，设直线BD与平面ACD所成角为，则向量、m的夹角为故10分即又，12分18. (湖北省武汉二中2020届高三3月测试题)正方形ABCD边长为3,点E、F分别在AB、CD上且AE=2EB,CF=2FD,将直角梯形AEFD沿EF折起到的位置,使点在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上.(1)判断直线与直线的位置关系并证明； (2)求二面角的大小； (3)求.18(湖北省孝感市2020届高三3月统考理)（本小题满分12分）如图，、分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（）求证：平面；（）在棱上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由。18【解】【法一】（）在线段上取中点，连结、.则，且，是平行四边形3，又平面，平面，平面.5（）由，得平面.过点作于，连结.则为二面角的平面角8在中，由，得边上的高为，又，.11在棱上时，二面角总大于.故棱上不存在使二面角的大小为的点. 12【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，则、.、.4（）且平面，平面.5（）取，则，.，即为面的一个法向量7同理，取，则，.，为平面的一个法向量9，二面角为. 又，二面角大于. 11在棱上时，二面角总大于.故棱上不存在使二面角的大小为的点. 1218(湖北省八校2020届高三第二次联考文) (本题满分12分)如图，已知正三棱柱的各棱长都为，为棱上的动点()当时，求证： () 若，求二面角的大小 () 在()的条件下，求点到平面的距离 18. 解法一 公理化法（1）当时，取的中点，连接，因为为正三角形，则，由于为的中点时，平面,平面,.4分（2）当时，过作于,如图所示，则底面,过作于,连结，则,为二面角的平面角，又,又，,即二面角的大小为.8分(3)设到面的距离为，则,平面,即为点到平面的距离，又，即解得，即到平面的距离为.12分解法二 向量法以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则（1）由得，则，4分（2） 当时，点的坐标是设平面的一个法向量，则即取，则，又平面的一个法向量为又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.8分（3）设到面的距离为，则到平面的距离为.12分18(湖北省2020年3月高三八校第二次联考理科)（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱各棱长都为，为棱上的动点。（）试确定的值，使得；（）若，求二面角的大小；（）在（）的条件下，求点到面的距离。【法一】（）当时，作在上的射影. 连结.则平面，是的中点，又，也是的中点，即. 反之当时，取的中点，连接、.为正三角形，. 由于为的中点时，平面，平面，.4（）当时，作在上的射影. 则底面.作在上的射影，连结，则.为二面角的平面角。又，.，又，.，的大小为.8（）设到面的距离为，则，平面,即为点到平面的距离，又，.即，解得.即到面的距离为.12【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则、.（）由得，即，即为的中点，也即时，.4 （）当时，点的坐标是. 取.则，.是平面的一个法向量。又平面的一个法向量为.，二面角的大小是.8（）设到面的距离为，则，到面的距离为.1218(湖北省八市2020年高三年级三月调考理)（本小题满分12分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，PDCD，且PA=2，E点满足求证：PA平面ABCD； 求二面角EACD的大小；HOSFEPDCBA在线段BC上是否存在点F使得PF面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由。18解：证明：在正方形ABCD中，ABBC又PBBC BC面PAB BCPA同理CDPA PA面ABCD4分在AD上取一点O使AO=AD，连接E，O，则EOPA，EO面ABCD过点O做OHAC交AC于H点，连接EH，则EHAC，从而EHO为二面角EACD的平面角6分在PAD中，EOAP在AHO中HAO45，HOAOsin45=，tanEHO，二面角EACD等于arctan8分当F为BC中点时，PF面EAC，理由如下：AD2FC，又由已知有，PFESPF面EAC，EC面EACPF面EAC，即当F为BC中点时，PF面EAC12分19(天门市2020届高三三月联考数学试题文)（本小题满分12分）已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且DAB=60，AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点。 （1）求证：直线MF平面ABCD； （2）求证：平面AFC1平面ACC1A1； （3）求平面AFC1与与平面ABCD所成二面角的大小。19解法一： （1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点。2分又M是线段AC1的中点，故MFAN。3分又MF平面ABCD，AN平面ABCD。MF平面ABCD。5分 （2）证明：连BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1可知A1A平面ABCD，又BD平面ABCD， A1ABD。四边形ABCD为菱形，ACBD。又ACA1A=A，AC，AA平面ACC1A1。BD平面ACC1A1。7分在四边形DANB中，DABN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形故NABD，NA平面ACC1A1，又因为NA平面AFC1平面AFC1ACC1A1 （3）由（2）知BDACC1A1，又AC1ACC1A1，BDAC1，BDNA，AC1NA。又由BDAC可知NAAC，C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。10分在RtC1AC中，tan，12分故C1AC=30平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30或150。12分解法二：设ACBD=0，因为M、O分别为C1A、CA的中点，所以，MOC1C，又由直四棱柱知C1C平面ABCD，所以MO平面ABCD。在棱形ABCD中，BDAC，所以，OB、OC、OM两两垂直。故可以O为原点，OB、OC、OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴如图建立空间直角坐标系若设|OB|=1，则B（1，0，0），B1（1，0，2），A（0，0），C（0，0），C1（0，2）。3分 （1）由F、M分别为B1B、C1A的中点可知：F（1，0，1），M（0，0，1），所以（1，0，0）=又不共线，所以，MFOB。MF平面ABCD，OB平面ABCD，MF平面ABCD。6分 （2）（1，0，0）为平面的法ACC1A1的法向量。 设为平面AFC1的一个法向量则由得令y=1，得z=，此时9分由于，所以，平面AFC1平面ACC1A1。10分 （3）为平面ABCD的法向量，设平面AFC1与平面ABCD所成的二面角的大小为，则所以=30或150。即平面AFC1与平面ABCD