2020年高考数学复习：特殊与一般

特殊与一般1什么是特殊化思想：对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2什么是一般化思想：当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:1. 特殊问题一般化：在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.esp1：求证：sin70+sin10sin100sin70-sin10.【分析】 此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinBsinCsinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”. 解： 在中，设、的对边分别是a、b、c，则得a+bca-b. 由正弦定理得=k，故ksinksinBksinCksinA-ksinB， 所以sinA+sinBsinCsinA-sinB. 特殊地：将、代入上面的不等式即得所求证的结论2. 一般问题特殊化：esp2: 如图，在多面体中，已知面是边长的正方形，与面的距离为，则该多面体的体积可能为（）. 解： 本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连、，得四棱锥和三棱锥，这当中，四棱锥的体积易求得，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所以不必计算三棱锥的体积，就可以排除，故选. 特殊问题特殊化：对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题.esp3: 求函数的最大值与最小值. 一般解法： 对一切xR，sinx0都成立， 函数的定义域为. 由 函数的定义域为， 函数的最大值与最小值分别为：，-； 特殊解法：把函数值看成由点（，）和点（sinx，-cosx）构成直线的斜率（如图），由图易求函数的最大值与最小值分别为，. 4.取特殊数值：esp4：（2008重庆卷,理6）若定义在上的函数满足：对任意有,则下列说法一定正确的是（ ）(A) 为奇函数（B）为偶函数(C) 为奇函数（D）为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找与之间的关系，由于所以需要先求出的值，这时需要取特殊值解答。解：令，得，令得，为奇函数，故选答案：5.取特殊函数：esp5:（2008陕西卷，理11.改编）定义在上的函数满足（），则等于（ ）A2B3C6D9分析：由及，可令为特殊值，求出，再取特值研究函数的奇偶性；或直接取满足条件的特殊函数解答。解法一：取，则满足和，选D解法二：中，令，得，再令得，再令，得，令得，再令，得，选D6.取特殊数列：esp6：（2008四川卷，理7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )（） （）（） （）分析：本题中的等比数列只知道，如果再知道公比，数列就可以确定，而选项是范围问题，可取定公比加以排除。解法一：等比数列中 当公比为1时， ； 当公比为时， 从而淘汰（）（）（）故选D；解法二：等比数列中 当公比时，； 当公比时， 故选D；评注：取特殊数列入手淘汰，如果一次不能区分，则需多次取有区分度的值进行排除，直至能辨别出正确答案为止，也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式，前项和公式，以及均值不等式的应用，特别注重均值不等式使用的条件是否具备，不具备就要进行分类讨论。4.取特殊位置：esp7：（2008宁夏区银川一中）如图，边长为的正中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有 （填上所有正确命题的序号） （1）动点在平面上的射影在线段上；（2）三棱锥的体积有最大值；（3）恒有平面平面；（4）异面直线与不可能互相垂直；分析:由于是绕旋转过程中的一个图形,可以转动到特殊位置,需要考虑特殊情况.解: 不论怎样转动,FGA,（1）（3）正确,（2）不再变化,当高最大时,三棱锥的体积有最大值,即当时, 三棱锥的体积有最大值也正确,（4）不正确,由三垂线定理知,当在平面内的射影与平行时就一定垂直.esp8:（福建省八闽高中）某校高三年级老师到外校参观学习2天，留下6位老师值班，记每天上午、下午、晚上各为一“工作时”，则每位老师必须且只需值班一个“工作时”，由于有事，甲老师不能值晚班，乙老师不能值下午班，那么年级值班排法共有（ ）A288种 B312种 C336种 D360种分析：甲老师、乙老师都有特殊要求，应该先满足他们的特殊要求先排，如果先排甲老师，则由于他排在上午和下午会影响到乙老师的排法，所以需要分类讨论。解：先排甲老师有两种情况，（1）甲老师排在上午值班，有2种方法，乙老师排在晚上值班也有2种方法，其余4位老师有种方法，共2224=96种方法。（2）甲老师排在下午值班，有2种方法，乙老师与其他4位老师随便排都可以，有种方法，共有240种方法；由（1）（2）可知共336种方法。评注：本题为排列组合的特殊元素和特殊位置题，按特殊元素和特殊位置优先的原则，分情况讨论。5.取特殊的点:esp9：（2009山东文登三中）已知函数，则的图象是（ ）A B C D分析：可以根据已知函数写出所研究的函数，没有必要画出函数图象，只需取特殊点就可以判断。解：由已知得取特殊值和时，图象所过的点为，结合图形知选D。答案：D6由一般到特殊和由特殊到一般：esp10：（2008湖北卷，理15）观察下列等式：可以推测，当2（）时， .，0分析：本题为找规律题，可以纵观全局，就会发现这些式子的特点，纵向观察，找出规律和共性，得到答案。解：纵向观察每个式子的第一项，可知再看每个式子的第二项，都是，所以，同理，0答案：，0esp11：（2008辽宁卷，理21）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）