江西省景德镇市第一中学2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

2020学年江西省景德镇一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出韦恩图,由韦恩图可直接分析出答案。【详解】由题意，可画出韦恩图如下图所示：由图可知，所以选B【点睛】本题考查了集合与集合的基本关系，用韦恩图分析集合间包含关系的应用，属于基础题。2.设，则()A. y3 y1 y2 B. y2 y1 y3 C. y1y2 y3 D. y1 y3 y2【答案】D【解析】试题分析：利用指数函数比较大小.，因为在上单增，所以有，故选D.考点：指数函数的单调性.3.正三棱锥的主视图如图所示，那么该正三棱锥的侧面积是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由主视图可得正三棱锥的底面三角形的边长为2，正三棱锥的高为，再由高和斜高、斜高在底面的射影构成直角三角形，运用勾股定理和侧面积公式，计算可得所求值。【详解】由正三棱锥的主视图可得空间结构体如图所示由正视图可知正三棱锥的高为，底面等边三角形的边长为2即 则 根据三角形AOE为直角三角形可得 所以 所以正三棱锥的侧面积为 所以选D【点睛】本题考查了三棱锥的三视图，根据三视图还原空间结构体并求侧面积问题，属于基础题。4.过P（2，0），倾斜角为120的直线的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线的倾斜角为求出直线的斜率,由此可利用点斜式求出过,倾斜角为的直线的方程.【详解】倾斜角为120的直线的斜率为k=tan120=，过P（2，0），倾斜角为120的直线的方程为：y0=（x+2），整理得：=0故选A【点睛】本题主要直线的倾斜角、考查点斜式方程的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题.5.已知，那么c1与c2的位置关系是（）A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 相离【答案】C【解析】【分析】将两个圆的方程化为标准方程，比较圆心距与两个半径的大小关系即可。【详解】因为所以即圆心坐标为（-1,3），半径因为所以即圆心坐标为（2,-1），半径两个圆的圆心距为 因为所以两个圆相交所以选C【点睛】本题考查了圆的标准方程与一般方程的转化，圆与圆位置关系的判断方法，属于基础题。6.在空间直角坐标系中，已知ABC顶点坐标分别是A（-1，2，3），B（2，-2，3），则ABC是（）三角形A. 等腰 B. 锐角 C. 直角 D. 钝角【答案】C【解析】【分析】根据两点间的距离公式，分别算出AB、AC、BC的长，进而利用勾股定理逆定理判断三角形的形状。【详解】根据两点间距离公式可知 因为 所以三角形ABC是以C为直角顶点的直角三角形所以选C【点睛】本题考查了空间中两点距离公式的简单应用，勾股定理的逆定理判断三角形的形状，属于基础题。7.设x、y、z均为正数，且，（）y=，（）z=log2z，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数与方程的关系，作出对应的函数，利用数形结合进行判断即可。【详解】在同一个坐标系中画出函数 的图象如下图所示由图可知，所以选A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，通过图像比较函数值的大小，属于中档题。8.已知平面平面，平面平面=L点A，AL，直线ABL，直线ACL，直线m，m，则下列结论中ABm，ACm，AC，正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，将各个点、线、面放在正方体中，利用正方体的性质判断各个选项是否正确。【详解】因为平面平面，平面平面=L点A，AL，直线ABL，直线ACL，直线m，m构造一个正方体如下图：由图可知ABm，ACm，正确；AC不正确所以选A【点睛】本题考查了空间点线面的位置关系及命题真假的判断，关键是根据条件构造合适的空间几何体，属于基础题。9.设，若f（a）+f（3a+1）0，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，求出定义域。而为奇函数且在定义域内为增函数，进而利用函数单调性与奇偶性解不等式即可求得a的取值范围。【详解】因为，所以解不等式得又因为=所以函数为奇函数，根据复合函数单调性判断可知在上为增函数因为f（a）+f（3a+1）0，即f（a）- f（3a+1）所以f（a）f（-3a-1）因为在上为增函数所以 ，解不等式组得 所以选C【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析f（x）的奇偶性与单调性，属于中档题。10.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，则异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取BC中点M，链接A1C1，A1M，MC1从而A1MC1是异面直线BB1与CD1所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值。【详解】取BC中点M，链接A1C1，A1M，MC1在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4BC=AB=4，MC=2，A1D1=2A1D1MC为平行四边形A1MD1C，同理，B1C1BM，B1C1=BM=2，BB1C1C为平行四边形，BB1C1M，A1MC1是异面直线BB1与CD1所成的角，C1D1DC为等腰梯形，CC1=C1D1=D1D=2，DC=4，CC1D1=120， 又 即为异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为所以选A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，注意运算，属于中档题。11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，则二面角C-B1D-C1的大小的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标表示向量，求出平面CB1D、平面C1B1D的法向量，再计算法向量的夹角，即可得出二面角C-B1D-C1的余弦值。【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1所以 所以 设平面CB1D的法向量为 所以 ，代入坐标令y=1，代入可求得法向量为同理可设平面C1B1D的法向量为 所以 ，代入坐标令i=1，代入可求得法向量为所以 由图可知，二面角C-B1D-C1为锐二面角，所以所以选A【点睛】本题考查了向量法求平面与平面形成的二面角，空间直角坐标系的应用，属于中档题。12.已知函数，则方程|f（x）+g（x）|=1实根个数为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=-f（x）1，分别作出函数的图象，即可得出解。【详解】由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=-f（x）1令h（x）=-f（x）+1，g（x）与h（x）=-f（x）+1的图象如下图所示，两个函数图象有3个交点令（x）=-f（x）-1，则g（x）与（x）=-f（x）-1的图象如下图所示，两个函数图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为5所以选C【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，数形结合的数学思想在解决问题中的应用，对分析、解决问题的能力要求较高，属于难题。二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程log3（1-23x）=2x+1的解x=_【答案】【解析】【分析】由log3（1-23x）=2x+1，知1-23x=32x+1，故3（3x）2+23x-1=0，进而求出方程的解【详解】log3（1-23x）=2x+1，1-23x=32x+1，3（3x）2+23x-1=0，（33x-1）（3x+1）=0，所以 或解得x=-1所以方程的解为x=-1【点睛】本题考查指数，对数的运算性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，属于基础题。14.若圆C：x2+y2-2x-2y+m=0被直线L：（2m+1）x-（m+1）y-m=0截得的弦长为2，则m的值等于_【答案】【解析】【分析】将x2+y2-2x-2y+m=0化为标准方程，得到圆心为和半径，由于直线过定点M（1，1），当圆被直线截得的弦长为2时，可知此弦长为直径，即可求出m的值。【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+m=0可化为（x-1）2+（y-1）2=2-m圆心为（1，1），半径为 直线过定点M（1，1），圆被直线截得的弦长为2，圆的直径为2，即又2-m0，m2，m的值为1【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，属于基础题。15.当x=_时，函数y=x4-2x3+x+2020取得最小值【答案】【解析】【分析】根据函数求得导函数，进而得导函数的零点。根据导函数的符号判断单调区间，可判断使函数取得极小值的x值。【详解】由y=x4-2x3+x+2020，得y=4x3-6x2+1，由y=4x3-6x2+1=0，得4x3-6x2+1=（2x2-2x-1）（2x-1）=0解方程可得或当 或时，y0所以函数的单调递减区间为或单调递增区间为 或所以当时函数取得极小值而当时，函数值当时，函数值所以当时函数取得最小值【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值与最值，化简求值过程较为复杂，属于难题。16.已知空间四边形ABCD的四个顶点都在球O的面上，E、F分别是AB、CD的中点，且EFAB，EFCD，若AB=8，CD=EF=4，则球O的表面积为_【答案】【解析】【分析】由题意，球心O必在EF上，则OF2+22=R2=（4-OF）2+42，即可求得球的半径，进而求得球的表面积。【详解】由题意可知，球心O必在EF上，则OF2+22=R2=（4-OF）2+42所以，由球的表面积公式可得S=4R2=65【点睛】本题考查了空间结构体的外接球的半径、表面积求法，主要是通过分析得出各量之间的关系，属于中档题。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线L1：（3-a）x+（2a-1）y+10=0，直线L2：（2a+1）x+（a+5）y-6=0（1）若L1L2，求a的值；（2）若L1L2，求a的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）两直线垂直，则A1A2+B1B2=0，代入两条直线方程中的A、B即可求得a的值。（2）两条直线平行，则A1 B2 =B1 A2，且截距不等，代入即可求得a的值。【详解】解：（1）L1L2则（2a+1）+（2a-1）（a+5）=0，解得a=，（2）L1L2则（3-a）（a+5）=（2a-1）（2a+1），解得a=或a=-2，、当a=-2时，l1与l2重合，不满足题意，故a=【点睛】本题考查了两条直线平行、垂直时一般方程中系数的的相互关系，注意平行时对截距也有要求，属于基础题。18.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点（1）求证EG平面A1BC1；（2）求证：E、F、G、H四点共面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可得FGCD1，CD1A1B，从而FGA1B，进而FG平面A1BC1，再求出EF平面A1BC1，从而平面EFG平面A1BC1，由此能证明EG平面A1BC1。（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，可得出NHEF，进而可证明E、F、G、H四点共面【详解】证明：（1）正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点，FGCD1，CD1A1B，FGA1B，FG平面A1BC1，A1B平面A1BC1，FG平面A1BC1，同理，EF平面A1BC1，EFEG=E，平面EFG平面A1BC1，EG平面EFG，EG平面A1BC1（2）延长FG，交DC于M，连结MH，交BC于N，则N是BC的中点，NHACA1C1，NHEF，E、F、G、H四点共面【点睛】本题考查线面平行、四点共面的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题。19.已知（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（2）设g（x）=f（x）-a，若函数g（x）没有零点，求实数a的取值范围【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，分析可得f（-x）+f（x）=0，由函数奇偶性的定义分析即可；（2）根据题意，分析可得函数g（x）=f（x）-a没有零点，则方程f（x）=a没有实根，求出函数f（x）的值域，即可得a的取值范围。【详解】解：（1）根据题意，其定义域为（-，0）（0，+），则f（-x）=+=+，则f（x）+f（-x）=+=1-1=0，则函数f（x）为奇函数；（2）函数g（x）=f（x）-a没有零点，则方程f（x）=a没有实根，对于f（x）=+，当x0时，2x1，则2x-10，则有+，则在（0，+）上，f（x），又由函数f（x）为奇函数，则当x0时，f（x）-，故函数f（x）的值域为（-，-）（，+）；则当-a时，f（x）=a无实根，此时函数g（x）没有零点【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数零点的判断，关键是分析函数的奇偶性，属于中档题。20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AB=1，DC=2，E是棱DC的中点；侧面PAD是正三角形，侧面PAD底面ABCD（1）求证：PEBD；（2）求点A到平面PBD的距离【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结AC，交BD于点O，取AD中点F，连结EF，交BD于点G，连结PG，推导出ACBD，EFBD，PFAD，从而PF平面ABCD，进而PFBD，又EFBD，从而BD平面PEF，由此能证明BDPE。（2）根据题意易得BDPG，由等体积法VP-ABD=VA-PBD，可求出点A到平面PBD的距离。【详解】证明：（1）连结AC，交BD于点O，取AD中点F，连结EF，交BD于点G，连结PG，在梯形ABCD中，AB=1，BC=，CD=2，ABC=DCB=90，tanACB=，tanBDC=，ACB=BDC，ACBD，EFAC，EFBD又平面PAD平面ABCD，PFAD，PF平面ABCD，PFBD，又EFBD，PEEF=E，BD平面PEF，BDPE解：（2）由（1）可知，又BD平面PEF，BDPG，FG=，PF=，PG=，=，VP-ABD=VA-PBD，点A到平面PBD的距离h=【点睛】本题考查线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题。21.已知二次函数（1）求f（x）在0，1上的最小值g（a）的解析式；（2）时，比较g（a）与g（1-a）的大小并说明理由【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）二次函数f(x)x22(2a1)x+5a24a+2的图象是开口向上，且以直线x=2a-1为对称轴的抛物线。分类讨论对称轴与区间的关系，分析出函数的单调性，可得f（x）在0，1上的最小值g（a）的解析式；（2）时，结合中结论，利用作差法，可比较g（a）与g（1-a）的大小。【详解】解：（1）二次函数的图象是开口朝上，且以直线x=2a-1为对称轴的抛物线，当2a-10时，函数在0，1上为增函数，此时g（a）=f（0）=；当02a-11时，函数在0，2a-1上为减函数，在2a-1，1上为增函数，此时g（a）=f（2a-1）=；当2a-11时，函数在0，1上为减函数，g（a）=f（1）=；综上可得：g（a）=；（2）时，1-a，故g（1-a）=，当时，g（a）=；g（a）-g（1-a）=-2（2a-1）（a-1）0，此时g（a）g（1-a）当a1时，g（a）=；g（a）